苏教版不等式习题精选(含答案详解)

(苏北四市二模)已知集合2

{|(1),}A x x a a x a =+≤+∈R ,a ∃∈R ,使得集合A 中所有整数的元素和为28,则a 的范围是__________.

答案：[7,8)

（2012年兴化）不等式

lg 0x

x

<的解集是 答案： 答案：}10{<

（2012年兴化）已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3,f m f n +=则m n +的最小值为

答案：7

说明：由已知条件可得)1,2(4)1)(2(>>=--n m n m ，下面有如下几种常见思路： 思路1（消元）：由4)1)(2(=--n m 得214+-=

n m ，则=+n m 21

4

+-+n n ，下面既可以用函数方法（求导），也可以用不等式方法求解。

思路2:令s n m =+，则n s m -=，代入4)1)(2(=--n m 后用判别式法，求出最值后要注意检验。

思路3：注意4)1)(2(=--n m 与待求式之间的关系，我们有：

73)1)(2(23)1()2(=+--≥+-+-=+n m n m n m ，

(第13题)

（南师附中最后一卷）如图，线段EF 的长度为1，端点E 、F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动．当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨道为G.若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则l －S 的最大值为____________．

答案：5π4

（南师附中最后一卷）记F(a ，θ)＝a 2＋2asin θ＋2

a 2＋2acos θ＋2

，对于任意实数a 、θ，F(a ，θ)的最大值

与最小值的和是__________．

答案：4

（苏锡常二模）设实数，若不等式对任意都成立，

则的最小值为 .

答案：803

-

（南京二模）已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-≥+.2,1,2y y x y x 则目标函数y x z +-=2

的取值范围是

6≤n 08)2(2≥--+n x xm []2,4-∈x n

m n m 344-

_________

答案：[－4，2]

（泰州期末）8.已知，为常数，且的最大值为，则= ▲ . 答案：

（南京三模）9.在直角坐标系xOy 中，记不等式组30270260y x y x y -≥⎧⎪

+-≤⎨⎪-+≥⎩

表示的平面区域为D ．若

指数函数x

y a =（a ＞0且1a ≠）的图象与D 有公共点，则a 取值范围是 ▲ ． 答案

:)+∞

（苏州调研）设,a b 均为大于1的自然数,函数()(sin ),()cos f x a b x g x b x =+=+,若存在实数m ,使得()()f m g m =,则a b +=________.

解析：本题考查三角函数的恒等变形，解不等式，函数1

y x x

=+

的性质。 由题设知方程(sin )cos a b x b x +=+

)x b ab α+=-有实数根，

∴||1≤，整理得22

21211(1)2

a b a a a

+≤=+-+-，∵2a ≥，∵2

5b ≤，又∵b 为大于1的自然数,∴2b =，从而得2a =，∴4a b +=。

（南京一模）设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距

)0,0(>>=+b a t b a t ab 2t 22

离的最小值 .

解析：本题考查椭圆的几何性质，基本不等式。

由题设知22

2221441,1a b a b a +=∴=-，∴椭圆的中心到准线的距离2a d c =，

由44

4222

2222

2

22

(1)

251

a a a a a d a c a

b a a a -===

=----， 令2

5(0)a t t -=>

得2(5)(4)20

99t t d t t t

++==++≥+

（当且仅当t =号）

∴2d ≥

2（说明：（1）说明2

50a ->不是很容易的；（2）需熟知求函数2ax bx c

y ex f

++=+的最值。）

（常州期末）已知a b c ，，均为正实数，记11max a M b bc c ac a b ⎧⎫

=+++⎨⎬⎩⎭

，，，则M 的最小

值为 ．

解析：本题考查基本不等式，新背景问题的理解能力。

111max max a a M b bc c b c ac a b ac b ⎧⎫⎧⎫

=+++≥++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，

由11(

))()()4a a b c c b ac b ac b ++=++≥≥+(+知1max 2a b c ac b ⎧⎫

++≥⎨⎬⎩⎭

，，

又显然1a b c ===时，2M =，∴M 的最小值为2。

（镇江）不等式2

2

8()a b b a b λ+≥+对于任意的,a b R ∈恒成立，则实数λ的取值范围为 。

解析：本题考查换元消元的思想方法和二次函数的性质。 当0b =时，R λ∈；

当0b ≠时，原不等式可化为2()()80a

a b b

λλ-+-≥，由2

4(8)0λλ∆=--≤解得

84λ-≤≤，∴实数λ的取值范围为84λ-≤≤。

（扬州期末）已知,,x y z R ∈，且222

1,3x y z x y z ++=

++=，则xyz 的最大值是 ．

解析：本题考查多变量问题，一元二次方程，不等式，轮换对称式，导数的运用，最值问题，消元思想，换元法。是一道难度较大的习题。