苏教版不等式习题精选(含答案详解)

(苏北四市二模)已知集合2{|(1),}A x x a a x a =+≤+∈R ,a ∃∈R ,使得集合A 中所有整数的元素和为28,则a 的范围是__________.答案：[7,8)（2012年兴化）不等式lg 0xx<的解集是 答案： 答案：}10{<<x x（2012年兴化）已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3,f m f n +=则m n +的最小值为答案：7说明：由已知条件可得)1,2(4)1)(2(>>=--n m n m ，下面有如下几种常见思路： 思路1（消元）：由4)1)(2(=--n m 得214+-=n m ，则=+n m 214+-+n n ，下面既可以用函数方法（求导），也可以用不等式方法求解。

思路2:令s n m =+，则n s m -=，代入4)1)(2(=--n m 后用判别式法，求出最值后要注意检验。

思路3：注意4)1)(2(=--n m 与待求式之间的关系，我们有：73)1)(2(23)1()2(=+--≥+-+-=+n m n m n m ，(第13题)（南师附中最后一卷）如图，线段EF 的长度为1，端点E 、F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动．当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨道为G.若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则l －S 的最大值为____________．答案：5π4（南师附中最后一卷）记F(a ，θ)＝a 2＋2asin θ＋2a 2＋2acos θ＋2，对于任意实数a 、θ，F(a ，θ)的最大值与最小值的和是__________．答案：4（苏锡常二模）设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为 .答案：803-（南京二模）已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+.2,1,2y y x y x 则目标函数y x z +-=2的取值范围是6≤n 08)2(2≥--+n x xm []2,4-∈x nm n m 344-_________答案：[－4，2]（泰州期末）8.已知，为常数，且的最大值为，则= ▲ . 答案：（南京三模）9.在直角坐标系xOy 中，记不等式组30270260y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为D ．若指数函数xy a =（a ＞0且1a ≠）的图象与D 有公共点，则a 取值范围是 ▲ ． 答案:)+∞（苏州调研）设,a b 均为大于1的自然数,函数()(sin ),()cos f x a b x g x b x =+=+,若存在实数m ,使得()()f m g m =,则a b +=________.解析：本题考查三角函数的恒等变形，解不等式，函数1y x x=+的性质。

由题设知方程(sin )cos a b x b x +=+)x b ab α+=-有实数根，∴||1≤，整理得2221211(1)2a b a a a+≤=+-+-，∵2a ≥，∵25b ≤，又∵b 为大于1的自然数,∴2b =，从而得2a =，∴4a b +=。

（南京一模）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距)0,0(>>=+b a t b a t ab 2t 22离的最小值 .解析：本题考查椭圆的几何性质，基本不等式。

由题设知222221441,1a b a b a +=∴=-，∴椭圆的中心到准线的距离2a d c =，由4442222222222(1)251a a a a a d a c ab a a a -====----， 令25(0)a t t -=>得2(5)(4)2099t t d t t t++==++≥+（当且仅当t =号）∴2d ≥2（说明：（1）说明250a ->不是很容易的；（2）需熟知求函数2ax bx cy ex f++=+的最值。

）（常州期末）已知a b c ，，均为正实数，记11max a M b bc c ac a b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭，，，则M 的最小值为 ．解析：本题考查基本不等式，新背景问题的理解能力。

111max max a a M b bc c b c ac a b ac b ⎧⎫⎧⎫=+++≥++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，由11())()()4a a b c c b ac b ac b ++=++≥≥+(+知1max 2a b c ac b ⎧⎫++≥⎨⎬⎩⎭，，又显然1a b c ===时，2M =，∴M 的最小值为2。

（镇江）不等式228()a b b a b λ+≥+对于任意的,a b R ∈恒成立，则实数λ的取值范围为 。

解析：本题考查换元消元的思想方法和二次函数的性质。

当0b =时，R λ∈；当0b ≠时，原不等式可化为2()()80aa b bλλ-+-≥，由24(8)0λλ∆=--≤解得84λ-≤≤，∴实数λ的取值范围为84λ-≤≤。

（扬州期末）已知,,x y z R ∈，且2221,3x y z x y z ++=++=，则xyz 的最大值是 ．解析：本题考查多变量问题，一元二次方程，不等式，轮换对称式，导数的运用，最值问题，消元思想，换元法。

是一道难度较大的习题。

解法一：（合理猜想）由题设知222(1)3x y x y ++--=， 整理得2210x xy y x y ++---=，①①式与目标式(1)xy x y --均为关于,x y 的轮换对称式，故可大胆猜想在x y =时，取得最值。

当x y =时，由①式解得1x y ==或13x y ==-， 当1x y ==时，11(1)1xyz =⨯⨯-=-， 当13x y ==-时，1155()()33327xyz =--=。

所以xyz 的最大值是527，xyz 的最小值是－1。

解法二：令,x a b y a b =+=-对解法一中的①式换元变形，整理得223210a b a +--=，222232()()[1()()]()(12)(321)(12)881xyz a b a b a b a b a b a a a a a a a =+--+--=--=+---=-+-，令32()881f a a a =-+-，则2()2416f a a a '=-+，由()f a '＝0解得0a =或23a =， ∴min max 25()(0)1,()()327f a f f a f ==-==。

（徐州四市）已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22284,a b c ++=则实数ｂ的取值范围是【答案】解：不妨设,(0)a b d c b d d =-=+≥， 由222()()84b d b b d -+++=整理得223422d b =-，再由2()0b d b b d d -+>+⎧⎨≥⎩得2271686168b b ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，解之得b <≤（南师大信息卷）若为正实数，则的最大值是. 提示：.答案：3(南通三模)已知圆心角为120o 的扇形AOB 的半径为1，C 为 AB 的中点，点D 、E 分别在半径OA 、OB 上。

若222269CD CE DE ++=,则OD OE +的最大值是 ▲ . 解析：考查函数思想、最值问题解法，以及解三角形的知识。

设y OE x OD ==,，（解法一）由余弦定理得221CD x x =+-，221CE y y =+-，xy y x DE ++=222，由926222=++DE CE CD 得： 98)()(222=++-+xy y x y x ，∴22)2(398398)()(2y x xy y x y x ++≤+=+-+，解得340≤+≤y x ，所以32==y x 时，y x +的最大值为34。

（解法二）22226()()()9OD OC OE OC OE OD -+-+-= ，2282()(||||)||||9OD OE OD OE OD OE +-++= ，98)()(222=++-+xy y x y x以下同解法一（解法三，小题小做）以上同，98)()(222=++-+xy y x y x 由于,x y 具有可交换性，当x y =时，x y +最大，即282520,93x x x ---=。

OD OE +最大值是43。

答案：43,,x y z 222xy yz x y z+++222221122x y y z +++≥BA（南师大信息卷）已知关于x 的不等式. (1)当时，求此不等式的解集； (2)当时，求此不等式的解集. 解：(1) 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.(2) 当时,不等式可化为，当时，解集为 当时，解集为 时，解集为0)1(22>++-+ax a x x 2=a 2->a 2=a 0)2)(1(2>--+x x x {}212|><<-x x x 或2->a 0))(1(2>--+a x x x 12<<-a {}|21;x x a x -<<>或1=a {}|21;x x x >-≠且1>a 当{}|21.x x x a -<<>或。