二4_单纯形法的进一步讨论精品PPT课件
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x1 , x2
2x2 0
24 8
解: 把原问题化为标准型
max z 3 x1 4 x2
2x1 x2 x3
max w 2 x1 3 x 2
0.5 x1 0.25 x 2 x 3
4
s.t.
x1 x1
3 x2 x2
x4 36 10
x1 , x 2 , x 3 , x4 0
对第二个约束添加
人工变量 x5 ，对第 三个约束添加人工
变量 x6 . 对目标函数 添加 -Mx5 -Mx6
单纯形法的进一步讨论
• 大 M 法的计算步骤
步 1 把线性规划问题化为标准型;
步 2 如果第 i 个约束为 “≥” 或 “=”，则在该约束的左端加上非负的 人工变量 xn+i，并在目标函数中加上 (– M xn+i), 其中 M 是一个足
够大的正数; 步 3 用单纯形法求解这个新的线性规划问题。如果最终表中所有的人工
变量都等于零，则求得的最优解即为原问题的最优解；如果最终表 中仍存在非零的人工变量，则原问题无可行解。
max w 2 x1 3 x2 Mx5 Mx6
0.5 x1 0.25 x2 x3
4
s.t.
x1 x1
3 x2 x2
x4 x5
36
x6 10
x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 , x6 0
XB x1
x2
x3 0.5 0.25
x5 1
3
x6 1
1
-w 2M-2 4M-3
3
0 -1 1 0 20 20/3
1
0 0 0 1 10 10
-w 2M-2 4M-3 0 -M 0 0 30M
单纯形法的进一步讨论
C -2 -3 0 0
CB XB x1
x2 x3
0 x3 5/12 0 1
-3 x2 1/3 1 0
-Mx6 2/3 0 0
-w (2M-3)/3 0 0
-M -M
x4
4
s.t.
x
1
,
x1 x1 x2
,x
3
,
3 x2 x2
x4
0
x4 20 10
对第二个约束添加
人工变量 x5 ，对第 三个约束添加人工
变量 x6 . 对目标函数 添加 -Mx5 -Mx6
单纯形法的进一步讨论
max w 2 x1 3 x2 Mx5 Mx6
0.5 x1 0.25 x2 x3
单纯形法的进一步讨论
• 举例
用大 M 法求解下列线性规划问题
min z 2 x1 3 x 2
0.5 x1 0.25 x 2 4
s.t.
x
1
,
x1 x1 x2
0
3 x2 x2
20 10
解: 把原问题化为标准型
max w 2 x1 3 x 2
0.5 x1 0.25 x 2 x 3
单纯形法的进一步讨论
把上例的第二个约束的右端改为36，则原问题变为
min z 2 x1 3 x 2
0.5 x1 0.25 x 2 4
s.t.
x1 x1
3 x 2 36 x 2 10
x1 , x 2 0
用大M法可 识别该问题 无可行解
其中 M 是一个任意大的正数.
解: 把原问题化为标准型
4
s.t.
x1
x1 x1 , x2
,x
3
,
3 x2 x2
x4 , x5
,
x6
x4 0
x5
x6
20 10
其中 M 是一个足够大的正数.
建立如下单纯形表：
C -2 -3 0 0 -M -M
CB 0 -M -M
XB
x3 x5 x6
x1
0.5
1
1
x2
x3 x4 x5 x6 b
R
0.25 1 0 0 0 4 16
第 II 阶段：
将第 I 阶段计算得到的最终表除去人工变量，经整理后得到 的单纯形表作为第 II 阶段的初始单纯形表，继续用单纯形法 求解以求得原问题的最优解。
单纯形法的进一步讨论
• 举例
用两阶段法求解下列线性规划问题
max z 3 x1 4 x2
2x1 x2 6
s.t.
2 x1 x1
步 2 在化标准型时，如果第 i 个约束为 “≥” 或 “=” , 则在该约束的左端加上 非负的人工变量 xn+i;
步 3 把原问题的目标函数转化为： min w=( 所有人工变量之和 )，用单纯形 法求解新的线性规划问题。
单纯形法的进一步讨论
结果为下面两种情形之一：
情形 1 如果 w* > 0 ，则原问题无可行解； 情形 2 如果 w * =0 ，则原问题有基可行解，转入第二阶段；
0 1 0 -1/2 1/2
1 0 0 1/2 -1/2
x6
-5/8
-1/2
3/2
bR
1/4 5 5
-w 0 0 0 -1/2 (1-2M)/2 (3-2M)/2 25
单纯形法的进一步讨论
因此，原问题的最优解与最优值分别为： X*=(5, 5)T， z*=25. 用大M法识别不可行的线性规划问题
如果在大 M 法的最终单纯形表中仍存在非零的人工变量，则 原线性规划问题无可行解。
单纯形法的进一步讨论
如何求解下面的问题???
min z 2x 1 3x 2
0.5x 1 0.25x 2 4
s.t.
x1 x1
3x 2 20 x 2 10
x1, x 2 0
(1) 大M法 (2) 两阶段法
如何识别没有可行解的线性规划问题???
单纯形法的进一步讨论
1 大 M 法 (Big M Method)
x5
x6 b
1/12 -1/12 0 7/3
R 28/5
-1/3 1/3
0 20/3
20
1/3 -1/3 1 10/3
5
(M-3)/3 (3-4M)/3 0 (60+10M)/3
C -2 -3 0 0 -M -M
CB 0 -3 -2
XB
x3 x2 x1
x1 x2 x3 x4
x5
0 0 1 Biblioteka Baidu1/8 1/8
1 -4M +3
b
R
1.5
6
10
6M+30
由大M法得到的最优解为 X * (0,10,1.5, 0, 6, 0)T
因此，原线性规划问题无可行解。
人工变量 >0
单纯形法的进一步讨论
2 两阶段法 (Two-Phase
• M两e阶t段ho法d的)计算步骤
第 I 阶段：
步 1 把线性规划问题化为标准型;
x3 x4 x5 x6 b R 1 0 0 0 4 16 0 -1 1 0 36 12 0 0 0 1 10 10 0 -M 0 0 46M
单纯形法的进一步讨论
XB x1
x2 x3
x3 0.25 0 1
x5 -2
00
x2 1
10
-w -2M +1 0 0
x4
x5
00
-1 1
00
-M 0
x6
-0.25 -3
2x2 0
24 8
解: 把原问题化为标准型
max z 3 x1 4 x2
2x1 x2 x3
max w 2 x1 3 x 2
0.5 x1 0.25 x 2 x 3
4
s.t.
x1 x1
3 x2 x2
x4 36 10
x1 , x 2 , x 3 , x4 0
对第二个约束添加
人工变量 x5 ，对第 三个约束添加人工
变量 x6 . 对目标函数 添加 -Mx5 -Mx6
单纯形法的进一步讨论
• 大 M 法的计算步骤
步 1 把线性规划问题化为标准型;
步 2 如果第 i 个约束为 “≥” 或 “=”，则在该约束的左端加上非负的 人工变量 xn+i，并在目标函数中加上 (– M xn+i), 其中 M 是一个足
够大的正数; 步 3 用单纯形法求解这个新的线性规划问题。如果最终表中所有的人工
变量都等于零，则求得的最优解即为原问题的最优解；如果最终表 中仍存在非零的人工变量，则原问题无可行解。
max w 2 x1 3 x2 Mx5 Mx6
0.5 x1 0.25 x2 x3
4
s.t.
x1 x1
3 x2 x2
x4 x5
36
x6 10
x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 , x6 0
XB x1
x2
x3 0.5 0.25
x5 1
3
x6 1
1
-w 2M-2 4M-3
3
0 -1 1 0 20 20/3
1
0 0 0 1 10 10
-w 2M-2 4M-3 0 -M 0 0 30M
单纯形法的进一步讨论
C -2 -3 0 0
CB XB x1
x2 x3
0 x3 5/12 0 1
-3 x2 1/3 1 0
-Mx6 2/3 0 0
-w (2M-3)/3 0 0
-M -M
x4
4
s.t.
x
1
,
x1 x1 x2
,x
3
,
3 x2 x2
x4
0
x4 20 10
对第二个约束添加
人工变量 x5 ，对第 三个约束添加人工
变量 x6 . 对目标函数 添加 -Mx5 -Mx6
单纯形法的进一步讨论
max w 2 x1 3 x2 Mx5 Mx6
0.5 x1 0.25 x2 x3
单纯形法的进一步讨论
• 举例
用大 M 法求解下列线性规划问题
min z 2 x1 3 x 2
0.5 x1 0.25 x 2 4
s.t.
x
1
,
x1 x1 x2
0
3 x2 x2
20 10
解: 把原问题化为标准型
max w 2 x1 3 x 2
0.5 x1 0.25 x 2 x 3
单纯形法的进一步讨论
把上例的第二个约束的右端改为36，则原问题变为
min z 2 x1 3 x 2
0.5 x1 0.25 x 2 4
s.t.
x1 x1
3 x 2 36 x 2 10
x1 , x 2 0
用大M法可 识别该问题 无可行解
其中 M 是一个任意大的正数.
解: 把原问题化为标准型
4
s.t.
x1
x1 x1 , x2
,x
3
,
3 x2 x2
x4 , x5
,
x6
x4 0
x5
x6
20 10
其中 M 是一个足够大的正数.
建立如下单纯形表：
C -2 -3 0 0 -M -M
CB 0 -M -M
XB
x3 x5 x6
x1
0.5
1
1
x2
x3 x4 x5 x6 b
R
0.25 1 0 0 0 4 16
第 II 阶段：
将第 I 阶段计算得到的最终表除去人工变量，经整理后得到 的单纯形表作为第 II 阶段的初始单纯形表，继续用单纯形法 求解以求得原问题的最优解。
单纯形法的进一步讨论
• 举例
用两阶段法求解下列线性规划问题
max z 3 x1 4 x2
2x1 x2 6
s.t.
2 x1 x1
步 2 在化标准型时，如果第 i 个约束为 “≥” 或 “=” , 则在该约束的左端加上 非负的人工变量 xn+i;
步 3 把原问题的目标函数转化为： min w=( 所有人工变量之和 )，用单纯形 法求解新的线性规划问题。
单纯形法的进一步讨论
结果为下面两种情形之一：
情形 1 如果 w* > 0 ，则原问题无可行解； 情形 2 如果 w * =0 ，则原问题有基可行解，转入第二阶段；
0 1 0 -1/2 1/2
1 0 0 1/2 -1/2
x6
-5/8
-1/2
3/2
bR
1/4 5 5
-w 0 0 0 -1/2 (1-2M)/2 (3-2M)/2 25
单纯形法的进一步讨论
因此，原问题的最优解与最优值分别为： X*=(5, 5)T， z*=25. 用大M法识别不可行的线性规划问题
如果在大 M 法的最终单纯形表中仍存在非零的人工变量，则 原线性规划问题无可行解。
单纯形法的进一步讨论
如何求解下面的问题???
min z 2x 1 3x 2
0.5x 1 0.25x 2 4
s.t.
x1 x1
3x 2 20 x 2 10
x1, x 2 0
(1) 大M法 (2) 两阶段法
如何识别没有可行解的线性规划问题???
单纯形法的进一步讨论
1 大 M 法 (Big M Method)
x5
x6 b
1/12 -1/12 0 7/3
R 28/5
-1/3 1/3
0 20/3
20
1/3 -1/3 1 10/3
5
(M-3)/3 (3-4M)/3 0 (60+10M)/3
C -2 -3 0 0 -M -M
CB 0 -3 -2
XB
x3 x2 x1
x1 x2 x3 x4
x5
0 0 1 Biblioteka Baidu1/8 1/8
1 -4M +3
b
R
1.5
6
10
6M+30
由大M法得到的最优解为 X * (0,10,1.5, 0, 6, 0)T
因此，原线性规划问题无可行解。
人工变量 >0
单纯形法的进一步讨论
2 两阶段法 (Two-Phase
• M两e阶t段ho法d的)计算步骤
第 I 阶段：
步 1 把线性规划问题化为标准型;
x3 x4 x5 x6 b R 1 0 0 0 4 16 0 -1 1 0 36 12 0 0 0 1 10 10 0 -M 0 0 46M
单纯形法的进一步讨论
XB x1
x2 x3
x3 0.25 0 1
x5 -2
00
x2 1
10
-w -2M +1 0 0
x4
x5
00
-1 1
00
-M 0
x6
-0.25 -3