第2章-导热基本定律和稳态导热
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第2章-导热理论基础以及稳态导热
第二章 导热基本定律及稳态导热1、重点内容：① 傅立叶定律及其应用；② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。
2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法3、了解内容：多维导热问题第一章介绍传热学中热量传递的三种基本方式：导热、对流、热辐射。
根据这三个基本方式，以后各章节深入讨论其热量传递的规律，理解研究其物理过程机理，从而达到以下工程应用上目的：基本概念、基本定律:傅立叶定律,牛顿冷却定律,斯忒藩—玻耳兹曼定律。
① 能准确的计算研究传热问题中传递的热流量 ② 能准确的预测研究系统中的温度分布导热是一种比较简单的热量传递方式,对传热学的深入学习必须从导热开始，着重讨论稳态导热。
首先，引出导热的基本定律，导热问题的数学模型，导热微分方程；其次，介绍工程中常见的三种典型（所有导热物体温度变化均满足）几何形状物体的热流量及物体内温度分布的计算方法。
最后，对多维导热及有内热源的导热进行讨论。
§2—1 导热基本定律一 、温度场1、概念温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。
由傅立叶定律知：物体导热热流量与温度变化率有关，所以研究物体导热必涉及到物体的温度分布。
一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。
即：),,,(τz y x f t =其中z y x ,,为空间坐标，τ为时间坐标。
2、温度场分类1）稳态温度场（定常温度场）：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式),,,(z y x f t =。
2）稳态温度场（非定常温度场）：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式),,,(τz y x f t =。
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。
3、等温面及等温线1）等温面：对于三维温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。
2）等温线（1）定义：在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。
传热学-第二章-导热基本定律及稳态导热
dQx qx dydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
ห้องสมุดไป่ตู้
qxdx
qx
qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的
方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热
流密度 q
直角坐标系中：
q
q
q qx i qy j qz k
q q cos
二、导热基本定律(Fourier’s law）
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上， 发现导热基本规律 —— 傅里叶定律
3、时间条件
说明在时间上导热过程进行的特点
x
y
z
直角坐标系：（Cartesian coordinates）
grad t t i t j t k
x
y
z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
热流密度矢量 （Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
第2章-导热理论基础以及稳态导热2
导热微分方程式
t t t t & c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
非稳态项 扩散项 源项
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。
t t t t & c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
（１）第一类边界条件：已知导热体边界上的温度值： 稳态导热： tw= const 非稳态导热： tw = f (τ) 例： x=0, t =tw1 x=δ, t =tw2
（2）第二类边界条件: 已知物体边界上热流密度值：
t qw ( ) w 根据傅里叶定律： n t qw ( )w n
t4
r1
r2
r3
推广到n层壁的情况:
q
t 1 t n 1
n
i 1
i i
本章作业
P88
复习题 4，6
2-2，2-7，2-18, 2-22
RA=δ/λ − 单位面积上导热热阻, [m2∙℃/W]
q （t1 t2） t
上式体现了q, λ, δ,Δt 四个变量的关系， 已知其中任意三个，可求另一个
2. 多层平壁 • 多层平壁：由几层不同材料组成 例：房屋的墙壁— 白灰内层、 水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成
t ( ) w h(tw tf ) n
是第一类和第二类边界条件的线性组合
2.2.3 导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同 时傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ 0 K）时的导热不适用。
导热基本定律
qxdydz
qx
qx x
dxdydz
qx dxdydz
同理在y,z方向热量差
x y
ydy
qy y
dxdydz
z
zdz
qz z
dxdydz
如单位体积内热源生成的热量为 Φ ，则微元体内产生的
热量：
Φ dxdydz
微元体内热量的增加（内能的增加）为：
c t dxdydz
代入能量平衡方程：
c t [( t )] [( t )] [( t )] Φ x x y y z z
▪ 4、定解条件的数学表达
初始条件（initial condition）--初始时刻的状态表
示为： t =0 =f (x,y,z)
边界条件（boundary condition）--边界上的温度分 布或换热条件，分为三类： 第一类边界条件：规定了边界上的温度值（变量值）
温度分布 t = 0 =f (x,y,z) 〈2〉 边界条件（boundary condition）：边界上的温
度分布或换热条件。
边界条件的分类：
第一类边界条件：规定了边界上的温度值（变量值）
0 tw f ( )
第二类边界条件： 规定了边界上的热流密度（变 量梯度）
0
(
t n
)
w
f
( )
q y dy
qy dx qz
dz qxdx
dy
微元体热平衡
导入微元体的总热量-导出微元体的总热量 + 微元微元体内产生的热量 = 体内的热量增加
X方向导入热量
x qxdydz
导出热量
xdx qxdxdydz
qxdx 用Taylor级数展开
第二章导热基本定律及稳态导热
d 边界条件：第一类
o x
控制
根据上面的条件可得：
方程
c t x( x t)Φ ddx2
t
2
0
第一类边条：
边界 条件
t
x
t1
x 0,
x
,
t t1 t t2
t2
o
直接积分，得：
ddxtc1 tc1xc2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1
线性
t
t2t1
xt1
分布
dt
t2t1
带入Fourier 定律
4 、保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
5 、超级保温材料
采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成
热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
由此可见ɑ物理意义： ① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温 度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。 所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指 标，亦称导温系数。
2 、导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时 傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ -273 ℃ ）时的导热不 适用。
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和 其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源 情况，考察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
o x
控制
根据上面的条件可得：
方程
c t x( x t)Φ ddx2
t
2
0
第一类边条：
边界 条件
t
x
t1
x 0,
x
,
t t1 t t2
t2
o
直接积分，得：
ddxtc1 tc1xc2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1
线性
t
t2t1
xt1
分布
dt
t2t1
带入Fourier 定律
4 、保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
5 、超级保温材料
采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成
热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
由此可见ɑ物理意义： ① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温 度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。 所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指 标，亦称导温系数。
2 、导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时 傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ -273 ℃ ）时的导热不 适用。
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和 其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源 情况，考察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
第二章 导热的基本定律及稳态导热
第二章导热的基本定律及稳态导热从本章开始将深入的讨论三种热量传递方式的基本规律。
研究工作基本遵循经典力学的研究方法，即提出物理现象、建立数学模型而后分析求解的处理方法，对于复杂问题亦可在数学模型的基础上进行数值求解或试验求解。
采用这种方法，我们就能够达到预测传热系统的温度分布和计算传递的热流量的目的。
导热问题是传热学中最易于用数学方法处理的热传递方式。
因而我们能够在选定的研究系统中利用能量守恒定律和傅立叶定律建立起导热微分方程式，然后针对具体的导热问题求解其温度分布和热流量。
最后达到解决工程实际问题的目的。
2－1 导热的基本概念和定律1温度场和温度梯度1.1温度场由于热量传递是物质系统内部或其与环境之间能量分布不平衡条件下发生的无序能量的迁移过程，而这种能量不平衡特征，对于不可压缩系统而言，可以用物质系统的温度来表征。
于是就有“凡是有温差的地方就有热量传递”的通俗说法。
因此，研究系统中温度随时间和空间的变化规律对于研究传热问题是十分重要的工作。
按照物理上的提法，物质系统内各个点上温度的集合称为温度场，它是时间和空间坐标的函数，记为yxft=2－1(τz),,,式中,t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -- 为时间坐标。
如果温度场不随时间变化,即为稳态温度场，于是有yxft=2—2(z,),稳态温度场仅在一个空间方向上变化时为一维温度场,t=2—3f)(x稳态导热过程具有稳态温度场,而非稳态导热过程具有非稳态温度场。
1.2等温面温度场中温度相同点的集合称为等温面,二维温度场中则为等温线,一维则为点.取相同温度差而绘制的等温线(对于二维温度场)如图2-1所示,其疏密程度可反映温度场在空间中的变化情况。
等温面不会与另一个等温面相交,但不排除十分地靠近,也不排除它可以消失在系统的边界上或者自行封闭。
这就是等温面的特性。
1.3温度梯度温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量。
按照存在温差就有热传的概念,沿着等温面方向不存在热量的传递。
传热学(第二章)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
边界条件：r=r1时，t=t1；r=r2时，t=t2 对（2-25）式积分两次，得其通解： t = c1 ln r + c2 将边界条件代入通解，确定积分常数
t2 − t1 t −t c2 = t1 − ln r 2 1 ln( r2 / r ) ln( r2 / r ) 1 1 t −t t = t1 + 2 1 ln( r / r ) （2-26） 1 ln( r2 / r ) 1 dt λ t1 − t2 q = −λ = （2-27） dr r ln( r2 / r ) 1 c1 =
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁、圆筒壁、
• 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp ∂τ r ∂r ∂r) r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 （2-25）
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为 （2-29） 29） 与分析多层平壁—样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 − t4 ) Φ= （2-30） ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数，无内热源的空心球壁。内、外半径为r1、r2，其内外表面均匀 恒定温度为t1、t2，球壁内的温度仅沿半径变化，等温面是同心球面。 由傅立叶定律得： dt 各同心球面上的热流率q不相等，而热流量Φ相等。 Φ = −4πr2λ dr dr ⇒Φ 2 = −4πλdt r
传热学第二章
△n
Δn0 Δn n
温度梯度和热流密度
•温度梯度是向量，垂直于等温面， 正向朝着温度增加的方向；
•温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。
t t n m
温度梯度的解析定义：
温度场 t f (x, y, z) 中点(x, y, z) 处的温度梯度：
gradt t i t j t k x y z
温度梯度垂直于等温面吗？
设等温面方程： t f (x, y, z) c 在点 (x, y, z)处,等温面的法线向量n n ( t , t , t ) x y z gradt 平行于 n
梯度方向垂直于等温面。
两个定义一致，解析定义便于计算
（4） 热流密度
热流密度是指单位时间经过单位面积所传递的热量，用 q 表示，单位为 W / m2。
根据上面的条件可得：
x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t z
)
qv
(cp t)
d 2t dx2
0
第一类边界条件：
x 0,t t1
x ,t t2
直接积分：
dt dx
c1
带入边界条件：
t c1x c2
c1
t2
t1
c2 t1
t
t2
t1
x
t1
dt t2 t1
dx
带入傅里叶定律得
t y
qz
t z
对于一维导热问题：
q dt
dx
3 导热系数
导热系数的定义式可由傅立叶定律的表达式得出
q t n
n
(1)物理意义：
表示了物质导热能力的大小，是在单位温度梯度作用下 的热流密度。工程计算采用的各种物质的导热系数值都是由 专门实验测定出来的。
东南大学传热学 第二章 导热基本定律及稳态导热
第二章 导热基本定律 及稳态导热
本章重点讨论稳态导热问题。为此首先介绍 一些相关的基本知识，如温度场、温度剃度、 导热基本定律等；然后应用这些基本知识推 导出求解导热问题的微分方程；最后应用这 些微分方程求解常见的导热问题。
第一节 导热基本定律
温度场
• 定义：某一瞬间物体内的温度分布，称为温度场。 • 分类 1.按温度是否随时间而变化可分为 稳态温度场：物体内温度不随时间的变化而变化的温度场 非稳态温度场：物体内的温度随时间变化而变化的温度场 2.按温度随空间的变化可分为 一维温度场：温度只在一个方向有变化的温度场 二维温度场：温度在两个方向有变化的温度场 三维温度场：温度在三个方向有变化的温度场 • 表示：三种表示方法
n x y z
导热基本定律
• 傅立叶定律：单位时间内通过单位截面积所传 递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的 温度变化率，即温度剃度，其比例系数为导热 系数。
• 表示型式： A t n
n
导热系数
•
定义：
q
t n
n
• 物理意义：单位时间单位面积当温度变化率为1时，由导
热所传递的热量
• 影响因素：主要是物质的种类和物质所处的状态
第三节 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的导热
通过 平壁导热
通过 圆筒壁导热
通过 球壳导热
通过变导热 系数物体 的导热
单层平壁 多层平壁 单层圆筒壁 多层圆筒壁 单层球壳 多层球壳
通过单层平壁的导热
通过单层 平壁的导热
物理模型
数学描写
温度分布
热流量计算
数学描写
d 2t dx2 x
数学描写
温度分布
热流量计算
物理模型
本章重点讨论稳态导热问题。为此首先介绍 一些相关的基本知识，如温度场、温度剃度、 导热基本定律等；然后应用这些基本知识推 导出求解导热问题的微分方程；最后应用这 些微分方程求解常见的导热问题。
第一节 导热基本定律
温度场
• 定义：某一瞬间物体内的温度分布，称为温度场。 • 分类 1.按温度是否随时间而变化可分为 稳态温度场：物体内温度不随时间的变化而变化的温度场 非稳态温度场：物体内的温度随时间变化而变化的温度场 2.按温度随空间的变化可分为 一维温度场：温度只在一个方向有变化的温度场 二维温度场：温度在两个方向有变化的温度场 三维温度场：温度在三个方向有变化的温度场 • 表示：三种表示方法
n x y z
导热基本定律
• 傅立叶定律：单位时间内通过单位截面积所传 递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的 温度变化率，即温度剃度，其比例系数为导热 系数。
• 表示型式： A t n
n
导热系数
•
定义：
q
t n
n
• 物理意义：单位时间单位面积当温度变化率为1时，由导
热所传递的热量
• 影响因素：主要是物质的种类和物质所处的状态
第三节 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的导热
通过 平壁导热
通过 圆筒壁导热
通过 球壳导热
通过变导热 系数物体 的导热
单层平壁 多层平壁 单层圆筒壁 多层圆筒壁 单层球壳 多层球壳
通过单层平壁的导热
通过单层 平壁的导热
物理模型
数学描写
温度分布
热流量计算
数学描写
d 2t dx2 x
数学描写
温度分布
热流量计算
物理模型
第二章-导热理论基础-1
一般而言：
λ固 > λ 液 > λ 气 λ 金属 > λ 非金属
一定温度范围内， ∝ f (t ) ，可写成：λ = λ0 ⋅ (1 + bt ) λ 即，导热系数是温度的线性函数。 由于热能的传输在固体中体现为自由电子的迁移和晶格振动 波，于是 λ固 = λe + λl
晶格分量 电子分量 对于金属： e λ
∂t qx = −λ ⋅ ∂x ∂t q y = −λ ⋅ 或 ∂y ∂t q z = − λ ⋅ ∂z
2-1-6 导热系数
q qx =− 定义： λ = − gradt ∂t ∂x
物理意义： 物体中单位时间、单位温降通过单位面积的导
W 热量；为表征物质导热能力的系数。 m ⋅ ℃
如果初始时刻物体各部分的温度相同，可以把初始条件改 写为： t τ =0 = t0 = const
（4）边界条件 ）
①第一类边界条件 已知任何时刻物体边界的温度值 第一类边界条件—已知任何时刻物体边界的温度值 第一类边界条件
tw = const t s = tw = tw = f (τ )
dτ 时间内，微元体内部产生的能量为：
& E g = qv ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ
dτ 时间内，微元体贮存能的变化量为：
∂t dE = ρc p ⋅ dxdydzdτ ∂τ
根据能量守恒： 可得
Ein + E g − Eout = dE
∂t ∂q x ∂q y ∂q z = ρc p ∂x + ∂y + ∂z + qv & ∂τ
∂t −λ ∂x
= h t f − t (0 , τ )
λ固 > λ 液 > λ 气 λ 金属 > λ 非金属
一定温度范围内， ∝ f (t ) ，可写成：λ = λ0 ⋅ (1 + bt ) λ 即，导热系数是温度的线性函数。 由于热能的传输在固体中体现为自由电子的迁移和晶格振动 波，于是 λ固 = λe + λl
晶格分量 电子分量 对于金属： e λ
∂t qx = −λ ⋅ ∂x ∂t q y = −λ ⋅ 或 ∂y ∂t q z = − λ ⋅ ∂z
2-1-6 导热系数
q qx =− 定义： λ = − gradt ∂t ∂x
物理意义： 物体中单位时间、单位温降通过单位面积的导
W 热量；为表征物质导热能力的系数。 m ⋅ ℃
如果初始时刻物体各部分的温度相同，可以把初始条件改 写为： t τ =0 = t0 = const
（4）边界条件 ）
①第一类边界条件 已知任何时刻物体边界的温度值 第一类边界条件—已知任何时刻物体边界的温度值 第一类边界条件
tw = const t s = tw = tw = f (τ )
dτ 时间内，微元体内部产生的能量为：
& E g = qv ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ
dτ 时间内，微元体贮存能的变化量为：
∂t dE = ρc p ⋅ dxdydzdτ ∂τ
根据能量守恒： 可得
Ein + E g − Eout = dE
∂t ∂q x ∂q y ∂q z = ρc p ∂x + ∂y + ∂z + qv & ∂τ
∂t −λ ∂x
= h t f − t (0 , τ )
第二章 导热基本定律及稳态导热1
§2-2 导热微分方程式（Heat Diffusion Equation）一、导热微分方程式理论基础：傅里叶定律+ 热力学第一定律假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质(2) 热导率、比热容和密度均为已知(3) 物体内具有内热源；强度q v [W/m3];内热源均匀分布；q v表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量。
1、推导图2-9 导热分析模型在导热体中取一微元体，根据热力学第一定律，U=，因为W=0，所以+Q∆W=，即d t时间内微元体中，[导入与导出净热量]+[内热源发热量]=[热力学UQ∆能的增加]导入与导出微元体的净热量d t时间内、沿x 轴方向、经x 表面导入的热量：d t时间内、沿x 轴方向、经x+dx 表面导出的热量：而，所以d t时间内、沿x轴方向导入与导出微元体净热量：d t时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量：d t 时间内、沿z 轴方向导入与导出微元体净热量：所以，[导入与导出净热量]为傅里叶定律，x t q x ∂∂-=λ，ytq y ∂∂-=λ，z t q z ∂∂-=λ，所以微元体中内热源的发热量d t 时间内微元体中内热源的发热量：[]τdxdydzd Q .2= [J]微元体热力学能的增量由 [1]+ [2]= [3]，得导热微分方程.Q z t z y t y x t x t c +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂λλλτρ 若物性参数λ、c 和ρ均为常数.222222)(c Q zt y t x t a t ρτ+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂c a ρλ=（Thermal diffusivity ）称为热扩散系数，又称导温系数。
反映了导热过程中材料的导热能力（λ）与沿途物质储热能力（ρc ）之间的关系。
a 值大，即λ值大或ρc 值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力。
第二章导热基本定律及稳态导热
– 固体
金属（以自由电子的迁移为主） 金属T↑， λ↓； 合金T↑， λ↑
非金属（以弹性波） T↑， λ↑
– 气体 分子间的相互碰撞 T↑， λ↑ – 液体 分子运动、弹性波 T↑， λ↓
由以上分析可看出，在一般情况下：
– ①λ固>λ液>λ气； – ②λ导>λ非导； – ③λ湿>λ干； – ④λ多孔<λ实体 – 习惯上把λ<0.15 的材料称为隔热材料
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
表示物体内部温度趋向一致能力的大小。
二、圆柱体坐标中的导热微分方程
三、单值性条件
1 几何条件 物体的形状、大小及相对 位置。
2 物理条件 热物性λ、ρ、Cp等 3 时间条件 （初始条件）tτ=0=f(x,y,z) 4 边界条件 表征导热体的边界与导热
第三节 一维稳态导热
一、平壁的一维稳态导热
1 单层平壁
（1）壁面等温
t
已知有一平壁，导热系数为λ ， 且为常数，二壁温为t1和t2 （ t1>t2 ），壁面截面积为A， 厚为δ，无内热源。
求（1）温度分布；（2）热流 量Q（q）
t1
δ
t2 x
方法一：利用导热微分方程式
方法二：直接利用付里叶定律
隔热材料一般利用气体导热系数小的特 点，把材料做成蜂窝状多孔性。
第二节 导热微分方程
一、直角坐标系中的导热微分方程
假设：
– （1）物性参数为常数 （λ，ρ，c）
– （2）材料各相同性 – （3）物体内具有内热
源 发q出v，的单热位量时。间体积 Qx
思路：取一微元体— 平行六面体
dv=dx·dy·dz
金属（以自由电子的迁移为主） 金属T↑， λ↓； 合金T↑， λ↑
非金属（以弹性波） T↑， λ↑
– 气体 分子间的相互碰撞 T↑， λ↑ – 液体 分子运动、弹性波 T↑， λ↓
由以上分析可看出，在一般情况下：
– ①λ固>λ液>λ气； – ②λ导>λ非导； – ③λ湿>λ干； – ④λ多孔<λ实体 – 习惯上把λ<0.15 的材料称为隔热材料
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
表示物体内部温度趋向一致能力的大小。
二、圆柱体坐标中的导热微分方程
三、单值性条件
1 几何条件 物体的形状、大小及相对 位置。
2 物理条件 热物性λ、ρ、Cp等 3 时间条件 （初始条件）tτ=0=f(x,y,z) 4 边界条件 表征导热体的边界与导热
第三节 一维稳态导热
一、平壁的一维稳态导热
1 单层平壁
（1）壁面等温
t
已知有一平壁，导热系数为λ ， 且为常数，二壁温为t1和t2 （ t1>t2 ），壁面截面积为A， 厚为δ，无内热源。
求（1）温度分布；（2）热流 量Q（q）
t1
δ
t2 x
方法一：利用导热微分方程式
方法二：直接利用付里叶定律
隔热材料一般利用气体导热系数小的特 点，把材料做成蜂窝状多孔性。
第二节 导热微分方程
一、直角坐标系中的导热微分方程
假设：
– （1）物性参数为常数 （λ，ρ，c）
– （2）材料各相同性 – （3）物体内具有内热
源 发q出v，的单热位量时。间体积 Qx
思路：取一微元体— 平行六面体
dv=dx·dy·dz
2-1 第二章 导热基本定律及稳态导热
q
q
qx
t x
;
qy
t y
;
qz
t z
q q cos
§2-1 导热基本定律
长江大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering
3. 意义: 已知物体内部的温度分布后，由该定律可求
得各点的热流密度或热流量。
例1：已知右图平板中的温度分 布可以表示成如下的形式： t = C1 x2 + C2
冷面
冷面
流体
热面 流体
§2-1 导热基本定律
2. 导热系数的相对大小和典型数据
长江大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering
金 属 非 金 属
固 相 液 相 气 相
20℃时： 纯 铜 399 W (m C )
碳 钢 36.7 W (m C )
能准确的计算所研究问题中传递的热流。
要解决的问题：
温度分布如何描述和表示？
温度的分布和导热的热流存在什么关系？ 如何得到导热体内部的温度分布？
长江大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering
本章内容结构
§2-1 导热基本定律
§2-2 导热问题的数学描述
回答问题1和2 回答问题3 具 体 稳 态 导 热 问 题
§2-1 导热基本定律
长江大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering
三、热导率（ Thermal conductivity ）
1.定义
q grad t
传热学-第二章导热基本定律及稳态传热
1、导入微元体的净热量
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
第2章-傅立叶定律
• 非导电固体：导热是通过晶格结构的振 动所产生的弹性波来实现的，即原子、 分子在其平衡位置附近的振动来实现的。
液体的导热机理：存在两种不同的观点 ❖第一种观点类似于气体，只是复杂些，因 液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰 撞的影响比气体大； ❖第二种观点类似于非导电固体，主要依靠 弹性波（晶格的振动，原子、分子在其平衡 位置附近的振动产生的）的作用。
t+Δt t t-Δt
2.1.4、导热系数 1、定义
傅利叶定律给出了导热系数的定义 :
Βιβλιοθήκη q tnn
q / gradt w/m·℃
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位
时间内单位面积的热量。
导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切 相关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、 压力、密度等，与物质几何形状无关。
（Steady-state conduction） 是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随 时间的改变而变化的温度场称稳态温度场， 其表达式：
t f (x, y, z)
➢非稳态温度场（非定常温度场） （Transient conduction） 是指在变动工作条件下，物体中各点的温 度分布随时间而变化的温度场称非稳态温 度场，其表达式：
保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 )
高温时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
超级保温材料 采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成
热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
说明：只研究导热现象的宏观规律。
2.1.2、温度场 （Temperature field） 1 、概念
(精品)传热学课件：稳态导热
工科大学校务委员会主席，主要贡献是在研究热 的传播时创立了一套数学理论。
• 傅立叶生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，8岁时沦为孤儿，就读于地方军校， 1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑 器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长。
• 傅立叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，傅立叶在论文中推导出 著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示， 从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论
★ 等温面与等温线的特点： (a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交。 (b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完 全封闭的曲面（曲线），或者就终止于物体的边界上。
物体的温度场通常用等温面或等温线表示
房屋墙角内的温度场（等温面）
对称温度场（等温线）
§2-1 导热基本定律
(通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热) ❖ 2.4 肋片导热的求解与应用 ❖ 2.5 具有内热源的导热及多维导热
§2-1 导热基本定律
§2-1 导热基本定律
§2-1 导热基本定律
(1)等温面与等温线 等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面。 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇。
n s
§2-1 导热基本定律
4. 热流密度矢量（Heat flux） 热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
不同方向上的热流密度的大小不同 q W m2
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的方向为
方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度 q 直角坐标系中：
• 傅立叶生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，8岁时沦为孤儿，就读于地方军校， 1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑 器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长。
• 傅立叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，傅立叶在论文中推导出 著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示， 从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论
★ 等温面与等温线的特点： (a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交。 (b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完 全封闭的曲面（曲线），或者就终止于物体的边界上。
物体的温度场通常用等温面或等温线表示
房屋墙角内的温度场（等温面）
对称温度场（等温线）
§2-1 导热基本定律
(通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热) ❖ 2.4 肋片导热的求解与应用 ❖ 2.5 具有内热源的导热及多维导热
§2-1 导热基本定律
§2-1 导热基本定律
§2-1 导热基本定律
(1)等温面与等温线 等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面。 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇。
n s
§2-1 导热基本定律
4. 热流密度矢量（Heat flux） 热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
不同方向上的热流密度的大小不同 q W m2
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的方向为
方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度 q 直角坐标系中：
传热学 第二章 导热基本定律及稳态导热
d x d x d xdx
qxdydz qxdxdydz
qx dxdydz x
q xdx
qx
q x x
dx
2qx x 2
dx 2 2!
0
qx
qx x
dx
2-2 导热微分方程
d = dx + dy + dz
2. 导热问题的数学理模型
t
❖ x方向净导入微元体的热量为： qx x
d x d x d xdx qx dxdydz
x2 y 2 z 2
当导热系数为常数时：
拉普拉斯算子
t
c
ห้องสมุดไป่ตู้
2t x 2
2t y 2
2t z 2
c
t a 2t
c
a c
热扩散率表征物体被 加热或冷却，物体内 各部分温度趋向于均 匀一致的能力.
❖ 物体无内热源： t a 2t
❖ 稳态导热： a 2t 0 c
❖ 稳态导热、无内热源：
增加的方向。
gradt t n n
等温面法线方向 的单位矢量
在直角坐标系中的温度梯度:
gradt t i t j t k x y z
i、j、k 分别为x、y、z方向的单位矢量。
2.1 导热基本概念
四、热流密度矢量
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
q—W/m2
不同方向上的热流密度的大小不同；
x
同理，
d x
x
t x
dx dydz
d y
y
t y
dxdydz
单位时间内净导入微元体的热流量：
d z
t dxdydz z z
d
传热学-2 导热基本定律和稳态导热
(3) a 表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度 趋向于均匀一致的能力，所以a反应导热过程动态特 性，是研究不稳态导热重要物理量。
2-2 导热微分方程和定解条件
2 圆柱坐标系中的导热微分方程：
c t
1 r
(r
r
t ) r
1 r2
(
t ) ( z
t ) & z
3 球坐标系中的导热微分方程：
2-2 导热微分方程和定解条件
1 笛卡尔坐标系中微元平行六面体
热力学第一定律（能量守恒定律）：
W 0
d V U W U z
单位时间内微元体中： [导入+导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
y
zdz
x
dz
dx
y
z
ydy xdx
dy x
2-2 导热微分方程和定解条件
tw1
Φ
tw2
R 1 ln d2 2l d1
2-3 一维稳态导热
第一次积分
r
dt dr
c1
t c1㏑r c2
tw1 c1㏑r1 c2;
tw2 c1㏑r2 c2
第二次积分 应用边界条件
c1
tw2 tw1
㏑r2 / r1
;
c2
tw1
tw2
tw1
㏑r1
㏑r2 / r1
获得两 个系数
t
t1
注意：①上式对稳态和非稳n态均使用； ②导热现象依 gradt 的存在而存在， 若 gradt＝0，则 q＝0； ③“－”不能少，“－”表示 q与 gradt 方向相
反， 若无，则违反热二定律。
2-1 导热基本定律和热导率
2-2 导热微分方程和定解条件
2 圆柱坐标系中的导热微分方程：
c t
1 r
(r
r
t ) r
1 r2
(
t ) ( z
t ) & z
3 球坐标系中的导热微分方程：
2-2 导热微分方程和定解条件
1 笛卡尔坐标系中微元平行六面体
热力学第一定律（能量守恒定律）：
W 0
d V U W U z
单位时间内微元体中： [导入+导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
y
zdz
x
dz
dx
y
z
ydy xdx
dy x
2-2 导热微分方程和定解条件
tw1
Φ
tw2
R 1 ln d2 2l d1
2-3 一维稳态导热
第一次积分
r
dt dr
c1
t c1㏑r c2
tw1 c1㏑r1 c2;
tw2 c1㏑r2 c2
第二次积分 应用边界条件
c1
tw2 tw1
㏑r2 / r1
;
c2
tw1
tw2
tw1
㏑r1
㏑r2 / r1
获得两 个系数
t
t1
注意：①上式对稳态和非稳n态均使用； ②导热现象依 gradt 的存在而存在， 若 gradt＝0，则 q＝0； ③“－”不能少，“－”表示 q与 gradt 方向相
反， 若无，则违反热二定律。
2-1 导热基本定律和热导率
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n0 n n
式中，n是等温面法线方向上的单位矢量。
二、导热基本定律(傅立叶定律)
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实 验研究基础上，发现导热基本规律—傅里叶定律。
法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官 员。曾于1798-1801追随 拿破仑去埃及。后期致力 于传热理论，1807年提交 了234页的论文，但直到 1822年才出版。
常用的保温材料：复合硅酸盐制品、硅酸铝制品 、硅酸镁（绝热涂料）、岩棉、玻璃棉、聚氨酯泡 沫、聚乙烯泡沫等。
应注意的是：以上这些材料的导热系数随温度、 含水率、密度而变化的。
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
复合硅酸盐
玻璃棉
聚氨酯泡沫
岩棉
泡沫石棉
耐火材料
2.2 导热微分方程式和定解条件
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
1、导热基本定律的文字表达： 温度场中，某点处导热热流密度，正比于该点处
的温度梯度，方向与温度梯度相反。
2、导热基本定律的数学表达：
q gradt t n
n
t-Δt
t+Δt t
3、意义
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
作用：导热微分方程式及定解条件是对导热体的 数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。
t f (x, y, z, )
理论：导热微分方程式建立的基础是：
热力学第一定律+傅里叶定律
方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析， 依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间 的关系式。
(4)导热体与外界没有功的交换。
3.建立坐标系，取分析对象（微元体）
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
在直角坐标系中进行分析。
dz
z
dy dx
y
x
4.能量变化的分析
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
由于是非稳态导热，微元体的温度随时间变化， 因此存在内能的变化；从各个界面上有导入和导出 微元体的热量；内热源产生的热量。
t f (x, y, z)
t f (x, y, z, )
2、等温面与等温线
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
等温线
3、温度梯度
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
定义：沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离 比值的极限。温度梯度表示为：
t t gradt n lim n
导入与导出净热量+内热源发热量 =热力学能的增加
（1）单位时间内微元体热力学能的增量
U cv t dxdydz [J]
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
（2）导入与导出微元体的热量 利用导热基本定律可写出各个表面上导入和导出微 元体的热量。 沿x轴方向、经x表面导入的热量：
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位 时间内单位面积的热量。导热系数是物性参数，它 与物质结构和状态密切相关，例如物质的种类、材 料成分、温度、 湿度、压力、密度等，与物质几何
形状无关。它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
2、导热系数的相对大小和典型数据
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
一、温度分布的描述和表示
像重力场、速度场等一样，物体中的温度分布 称为温度场。
1、温度场，如：在直角坐标系中
稳态温度场
t f (x, y, z)
非稳态温度场
t f (x, y, z, )
一维温度场 二维温度场 三维温度场
t f (x)
t f (x, )
t f (x, y)
t f (x, y, )
已知物体内部的温度分布后，则由该定律求得各点 的热流密度或热流量。
例1：已知右图平板中的温度分布可以表示成如下 的形式：
t c1x2 c2
其中c1、c2 和平板的导热系数为常
数，计算在通过x=0截面处的热流
0
x
密度为多少？
三、导热系数 1、导热系数的定义
q
gradt
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
金 非金; 固相 液相 气相
在常温（20℃）条件下
纯铜： 399 W (m K)
碳钢： 36.7 W/(m K)
水： 0.599 W (m K)
空气： 0.0259 W (m K)
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
3、保温材料
国标（92年）规定：凡平均温度不高于350℃ 时导热系数不大于0.12 W/（m·K）的材料可作为 保温材料。
传热学
Heat Transfer
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
第2章 导热基本定律和 稳态导热
能源与机械工程学院
School of Energy & Mechanical Engineering 蔡杰
2020/10/14
1
2.1 导热基本定律
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
Φz
Φzdz
z
t z
dxdydz
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
导入与导出净热量:
南京师范大学
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Φd
[ x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
Φx
t x
dydz
Φx
z
Φxdx
沿x轴方向、经x+dx表面
y
导出的热量：
x
Φxdx
Φx
Φx x
dx
Φx
-
x
t x
dxdydz
沿x轴方向导入与导出微元体净热量
同理可得：
Φx
Φxdx
x
t x
dxdydz
沿y轴方向导入与导出微元体净热量
Φy
Φydy
y
t y
dxdydz
沿z轴方向导入与导出微元体净热量
一、导热微分方程的推导
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
1.物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热
以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。 2.假设条件 (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；
(2)热导率、比热容和密度均为已知； (3)内热源均匀分布，强度为 Φ[W/m3]；
式中，n是等温面法线方向上的单位矢量。
二、导热基本定律(傅立叶定律)
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实 验研究基础上，发现导热基本规律—傅里叶定律。
法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官 员。曾于1798-1801追随 拿破仑去埃及。后期致力 于传热理论，1807年提交 了234页的论文，但直到 1822年才出版。
常用的保温材料：复合硅酸盐制品、硅酸铝制品 、硅酸镁（绝热涂料）、岩棉、玻璃棉、聚氨酯泡 沫、聚乙烯泡沫等。
应注意的是：以上这些材料的导热系数随温度、 含水率、密度而变化的。
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
复合硅酸盐
玻璃棉
聚氨酯泡沫
岩棉
泡沫石棉
耐火材料
2.2 导热微分方程式和定解条件
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
1、导热基本定律的文字表达： 温度场中，某点处导热热流密度，正比于该点处
的温度梯度，方向与温度梯度相反。
2、导热基本定律的数学表达：
q gradt t n
n
t-Δt
t+Δt t
3、意义
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
作用：导热微分方程式及定解条件是对导热体的 数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。
t f (x, y, z, )
理论：导热微分方程式建立的基础是：
热力学第一定律+傅里叶定律
方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析， 依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间 的关系式。
(4)导热体与外界没有功的交换。
3.建立坐标系，取分析对象（微元体）
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
在直角坐标系中进行分析。
dz
z
dy dx
y
x
4.能量变化的分析
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
由于是非稳态导热，微元体的温度随时间变化， 因此存在内能的变化；从各个界面上有导入和导出 微元体的热量；内热源产生的热量。
t f (x, y, z)
t f (x, y, z, )
2、等温面与等温线
南京师范大学
NANJING NORMAL UNIVERSITY
等温线
3、温度梯度
南京师范大学
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定义：沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离 比值的极限。温度梯度表示为：
t t gradt n lim n
导入与导出净热量+内热源发热量 =热力学能的增加
（1）单位时间内微元体热力学能的增量
U cv t dxdydz [J]
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（2）导入与导出微元体的热量 利用导热基本定律可写出各个表面上导入和导出微 元体的热量。 沿x轴方向、经x表面导入的热量：
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位 时间内单位面积的热量。导热系数是物性参数，它 与物质结构和状态密切相关，例如物质的种类、材 料成分、温度、 湿度、压力、密度等，与物质几何
形状无关。它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
2、导热系数的相对大小和典型数据
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一、温度分布的描述和表示
像重力场、速度场等一样，物体中的温度分布 称为温度场。
1、温度场，如：在直角坐标系中
稳态温度场
t f (x, y, z)
非稳态温度场
t f (x, y, z, )
一维温度场 二维温度场 三维温度场
t f (x)
t f (x, )
t f (x, y)
t f (x, y, )
已知物体内部的温度分布后，则由该定律求得各点 的热流密度或热流量。
例1：已知右图平板中的温度分布可以表示成如下 的形式：
t c1x2 c2
其中c1、c2 和平板的导热系数为常
数，计算在通过x=0截面处的热流
0
x
密度为多少？
三、导热系数 1、导热系数的定义
q
gradt
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金 非金; 固相 液相 气相
在常温（20℃）条件下
纯铜： 399 W (m K)
碳钢： 36.7 W/(m K)
水： 0.599 W (m K)
空气： 0.0259 W (m K)
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3、保温材料
国标（92年）规定：凡平均温度不高于350℃ 时导热系数不大于0.12 W/（m·K）的材料可作为 保温材料。
传热学
Heat Transfer
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第2章 导热基本定律和 稳态导热
能源与机械工程学院
School of Energy & Mechanical Engineering 蔡杰
2020/10/14
1
2.1 导热基本定律
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Φz
Φzdz
z
t z
dxdydz
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导入与导出净热量:
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Φd
[ x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
Φx
t x
dydz
Φx
z
Φxdx
沿x轴方向、经x+dx表面
y
导出的热量：
x
Φxdx
Φx
Φx x
dx
Φx
-
x
t x
dxdydz
沿x轴方向导入与导出微元体净热量
同理可得：
Φx
Φxdx
x
t x
dxdydz
沿y轴方向导入与导出微元体净热量
Φy
Φydy
y
t y
dxdydz
沿z轴方向导入与导出微元体净热量
一、导热微分方程的推导
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1.物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热
以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。 2.假设条件 (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；
(2)热导率、比热容和密度均为已知； (3)内热源均匀分布，强度为 Φ[W/m3]；