传热学 课件2-2 第二章 导热基本定律及稳态导热

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School of Mechanical Engineering
将以上各式代入能量守恒关系式，并整理得：
c
t
(
t )
(
t )
(
t
)
•
x x y y z z
非稳态项
三个坐标方向净导入 的热量（扩散项）
内热源项
——三维非稳态导热微分方程
λ为常数时： t
2t a( x2
2t y2
1 A（c x）ddxt
2
1
1 x
dx
稳态传热 无能量累积 1 2 3 2 1 3 0
3 hAt h A(x dx) A(x)(t t) hdA(x)(t t )
A(x dx) A(x) A(x) A(x) dx A(x) A(x) dx dA(x)
x
x
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否为稳态的依据。
非稳态：t a2t
α=λ/(ρc) 热扩散率 /导温系数
一、导热微分方程
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3）圆柱坐标系中的导热微分方程：
c t 1 (r t ) 1
(
t )
(
t
)
·
r r r r2 z z
4）球坐标系中的导热微分方程：
知识回顾：
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一、基本概念：温度场、等温线、等温面、热流 线、温度梯度、热导率（导热系数）
二、傅里叶定律：
A
t
n
q
t
n
q qx i qy j qz k
qx
t x
;
qy
t y
;
qz
t z
意义: 已知物体内部温度分布，可求得各点的热流 密度或热流量。
x x
dx
x
x
t x
dydz
dx
ydy
y
y y
dy
y
y
t y
dxdz
dy
zdz
z
z z
dz
z
z
t z
dxdy
dz
一、导热微分方程
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导入与导出净热量:
x y z xdx ydy zdz
三、定解条件
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（2）给定物体边界上任何时刻的热流密度分布， 称为第二类边界条件。
qw
(
t n
)w
(
t n
)w
qw
• 稳态导热： qw const
qw
• 非稳态导热： qw f ( )
•
特例：绝热边界面：qw
t n
c
t
1 r2
r
(r2
t ) r
r2
1
sin2
(
t )
r2
1
sin
( sin
t
·
)
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例1：如图所示的一般化扩展表面，材料导热系数为λ， x是曲线坐标，A(x)表示x=0与x=x之间的对流面积。 该表面暴露在表面传热系数为h、温度为t∞的对流环境 中，温度仅沿x方向发生变化。Ac(x)表示x位置处的 横截面积。试推导描述该物体截面温度对坐标x变化 的控制方程式（稳态传热过程）。
度变化传播得越快。
是一物性参数，表征温度传递速度的快慢，即物 体在加热或冷却中，温度趋于均匀一致的能力。
二、热扩散率（导温系数） 长江大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering
热扩散率(导温系数)与热导率(导热系数)的比较：
q
grad t
m2 / s c
例3：如图所示的几何形状，假定图中阴影部分所示 的导热体没有内热源，物性为常数，且过程处于稳态。 中心圆管内部表面温度保持t1不变，而正方形外边界 处于绝热。有人分别用不锈钢和铜作为该导热体的材 料进行实验测定。实验前他预测两种不同材料的导热 体中的温度分布不一样。 你认为对吗？
三、导热微分方程适用范围
热力学第一定律+傅里叶定律
方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析， 依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之 间的关系式。
一、导热微分方程
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1. 定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立 的导热物体中温度场应满足的数学表达式。 本质：揭示连续温度场随空间坐标、时间变化的 内在联系。
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例2：一厚度为50mm的无限大平壁，其稳态温度分
布为: t a bx2 ℃式中a=200℃，b=－2000℃/m2。
若平壁材料导热系数为45W/m.℃，试求：(1)平壁两 侧表面处的热流通量；(2)平壁中是否有内热源?为什 么?若有的话，它的强度应是多大?
2t z2 )
c
t a2t
c
2 — 拉普拉斯算子
一、导热微分方程
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t a t 2 School of Mechanical Engineering
c
2）化简： ①有内热源
稳态：2t 0
非稳态：t a2t
c
②无内热源
有无内热源不能作
稳态：2t 0
为判断传热过程是
=
x
t x
dydz
dx
y
t y
dxdz
dy
z
t z
dxdy
dz
=
（
x
t x
）
（
y
t y
）
（
z
t z
） dxdydz
•
③单位时间内，微元体内热源的生成热： dxdydz
• ——单位时间单位体积内热源的生成热，W/m3。
④ 单位时间内，微元体内能的增量： c t dxdydz 一、导热微分方程三、来自导率： qgrad t
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§2-2 导热微分方程式和定解条件
作用：导热微分方程式及定解条件是对导热体的 数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。
t f (x, y, z, )
理论：导热微分方程式建立的基础：
2.物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热 以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）
一、导热微分方程
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3.假设条件
(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；
(2) 热导率、比热容和密度均为已知；
(3)
tf、tw变化，Δt不变，第二类 tf、tw不变，第一类
三、定解条件
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特殊情形：
辐射边界条件
s T
n w
(Tw4 Te4 )
界面连续条件
tI =tII ,T
n I
T
n II
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x
t x
dydz
y
t y
dxdz
面积
z
t z
dxdy
一、导热微分方程
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②导出微元体的总热量
通过x=x+dx、y=y+dy、z=z+dz 三个微元表面导出 微元体的热流量Фx+dx 、Фy+dy 、Фz+dz
xdx
x
(3)时间条件 ——说明在时间上导热过程进行的特点 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的 温度分布。
时间条件又称为初始条件（Initial conditions）
t f (x, y, z) 0
三、定解条件
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tf
)
h tf
qw
tw
一般情况下tw未知。
0δ
三、定解条件
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第三类边界条件几种特殊情形：
t
n w
h
s
(t f
tw)
h较大，λs较小时，（tf-tw）→0，tf≈tw
第一类
h=0时，qw 0 第二类
h=const
t f tw const时：
内热源均匀分布，强度为
•
[W/m3]；
(4)导热体与外界没有功的交换。
4.建立坐标系，取分析对象（微元体） 在直角坐标系中进行分析。
导入微 元体的
+
微元体 内热源
导出微
= 元体的 +
微元体 内能的
总热量 生成热 总热量 增量
一、导热微分方程
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例1：导热系数λ，曲线坐标，A(x)表示0与x之间长的江对大学流机面械工积程学。院 School of Mechanical Engineering