数列与不等式(解析版)

数列与不等式一．知识汇总*经典提炼

二．核心解读*方法重温

1.已知数列的前n 项和S n 求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示.事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1.

[回扣问题1] 在数列{a n }中，a 1＋a 22＋a 33＋…＋a n

n

＝2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________.

解析 依题意得，数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n n 的前n 项和为2n －1，

当n≥2时，a n n

＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －

1，

又a 11＝21－1＝1＝21－1，因此a n n ＝2n －

1(n ∈N *)， 故a n ＝n·2n －

1. 答案 n·2n －1

2.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n

时，无法正确赋值求解.

[回扣问题2] 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 8

b 8＝________.

解析

a 8

b 8＝2a 82b 8＝a 1＋a 15b 1＋b 15＝S 15T 15＝3×15－12×15＋3＝4

3

. 答案 43

3.运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q ＝1和q≠1两种情况进行讨论.

[回扣问题3] 等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝63

4，则a 8＝________.

解析 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1， 则S 6＝2S 3与题设矛盾，∴q≠1.

则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q

＝74，

S 6

＝a 1

（1－q 6

）1－q

＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1

＝14，

q ＝2，

所以a 8＝a 1q 7＝1

4×27＝32.

答案 32

4.利用等差数列定义求解问题时，易忽视a n －a n －1＝d(常数)中，n≥2，n ∈N *的限制，类似地，在等比数列中，b n

b n －1

＝q(常数且q≠0)，忽视n≥2，n ∈N *的条件限制. [回扣问题4] 已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋1＝a n ＋1

2(n≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________.

解析 由a 2＝1，a n ＋1＝a n ＋1

2

(n≥2)，

∴数列{a n }从第2项起是公差为1

2的等差数列，

∴S 9＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9 ＝1＋8a 2＋8（8－1）2×1

2＝23.

答案 23

5.利用错位相减法求和，切忌漏掉第一项和最后一项；裂项相消求和，相消后剩余的前、后项数要相等. [回扣问题5] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝6，S 4＝20. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

1S n 的前n 项和T n .

解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由a 3＝6，S 4＝20，

得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝6，2a 1＋3d ＝10，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2， 因此a n ＝2＋2(n －1)＝2n.

(2)由(1)知S n ＝（2＋2n ）n 2＝n(n ＋1)，

从而1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1

∴T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n

n ＋1

. 6.对于通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 为奇数、偶数；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1

a n －1

＝q(n≥2)，求{a n }的通项公式时，要注意对n 的讨论.

[回扣问题6] 若a n ＝2n －1，b n ＝(－1)n －

1a n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________. 解析 b n ＝(－1)n －

1a n ＝(－1)n －

1(2n －1).

当n 为偶数时，T n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(－2)×n

2＝－n.

当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝－(n －1)＋a n ＝n.

故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ，n 为偶数，

n ，n 为奇数.

答案 ⎩

⎪⎨⎪⎧－n ，n 为偶数，

n ，n 为奇数

7.解形如ax 2＋bx ＋c>0的一元二次不等式时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0，a ＝0进行讨论.

[回扣问题7] 设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析 由命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 可知，当a ＝0时，原式＝1>0恒成立，

当a≠0时，需满足⎩

⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝（2a ）2－4a<0，