证明矩阵可逆的9种方法是
矩阵可逆的若干判别方法
矩阵可逆的若干判别方法.d o c(共15页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-山西师范大学本科毕业论文矩阵可逆的若干判别方法姓名郭晓平院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级0701班学号09指导教师宋蔷薇答辩日期成绩矩阵可逆的若干判别方法内容摘要对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。
在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。
而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。
鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。
本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。
其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。
另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。
【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组Some Methods for Judging Invertible MatrixAbstractThe matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary.Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrixLinear equations目录一、引言 (01)二、预备知识 (01)（一）基本概念 (01)（二）可逆矩阵的性质 (01)三、矩阵可逆的若干判别方法 (02)（一）定义判别法 (02)（二）行列式判别法 (02)（三）秩判别法 (02)（四）伴随矩阵判别法 (02)（五）初等变换判别法 (02)（六）初等矩阵判别法 (02)（七）矩阵向量组的秩判别法法 (03)（八）线性方程组判别法 (03)（九）标准形判别法 (04)（十）多项式判别法 (04)（十一）特征值判别法 (05)四、十种常见矩阵的可逆性 (05)五、矩阵可逆判别方法的实例 (07)六、小结 (11)参考文献 (11)致谢 (12)矩阵可逆的若干判别方法学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇一、引言在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
矩阵求逆方法大全-1
求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B方法 一. 初等变换法（加边法）我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。
例 1 . 设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012411210 求1-A 。
解：由（3）式初等行变换逐步得到：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012010411001210→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012001210010411 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123100124010112001于是1-A = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。
可逆矩阵的特征
可逆矩阵的特征可逆矩阵的特征1. 什么是可逆矩阵可逆矩阵是线性代数中的重要概念。
一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），那么我们称A为可逆矩阵。
可逆矩阵也被称为非奇异矩阵或满秩矩阵。
2. 可逆矩阵的定义一个矩阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A)≠0。
行列式的计算方法有很多，可以通过手工计算或者使用计算机软件进行求解。
3. 可逆矩阵的性质•可逆矩阵的逆矩阵也是可逆矩阵。
即如果A可逆，则A的逆矩阵记作A-1，满足(A-1)^-1=A。
•可逆矩阵的转置矩阵也是可逆矩阵。
即如果A可逆，则A的转置矩阵记作A T，满足(A T)-1=(A-1)^T。
•可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵。
即如果A和B均为可逆矩阵，则它们的乘积AB也是可逆矩阵。
4. 可逆矩阵的应用可逆矩阵在很多领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：线性方程组求解对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A是可逆的，那么可以利用可逆矩阵的性质求解方程组，即x=A^-1b。
矩阵的求逆运算在矩阵运算中，求逆运算是一个非常重要的操作。
对于可逆矩阵A，可以通过求解Ax=I的方程组来确定A的逆矩阵A^-1。
线性变换与坐标变换可逆矩阵在线性变换和坐标变换中具有重要的作用。
对于一个向量的线性变换，可以通过一个可逆矩阵A来表示。
而在坐标变换中，可逆矩阵可以将一个坐标系统转换为另一个坐标系统。
5. 总结可逆矩阵是线性代数中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。
通过研究可逆矩阵的特征与性质，能够深入理解线性代数的基本概念，并且在实际问题中应用得到巧妙的解决方法。
6. 可逆矩阵的证明方法在判断一个矩阵是否可逆时，可以使用一些常见的证明方法。
元素消去法元素消去法是一种常用的证明矩阵可逆性的方法。
通过一系列变换，将矩阵A转化为单位阵I。
如果可以得到单位阵I，说明矩阵A可逆。
行列式法行列式法是判断矩阵可逆性的另一常用方法。
矩阵求逆方法大全-
求逆矩阵的若干方法和举例红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B方法 一. 初等变换法（加边法）我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3）这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。
例 1 . 设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012411210 求1-A 。
解：由（3）式初等行变换逐步得到：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012010411001210→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012001210010411 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21123100124010112001于是1-A = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。
逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
解
1
故
é- 1 / 6 - 13 / 6 4 / 3ù A = ê 1/ 2 3/ 2 -1 ú . ê ú ê 1 / 6 1 / 6 1 / 3 ú ë û
-1
在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变 换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0， 则意味着A不可逆， 因为此时表明 A =0， 则A -1 不存在.
其中A ij 是 A 中元素a ij 的代数余子式.
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú ... ... ú ú ... Ann û
é A11 ê A 矩阵 ê 12 ê ... ê ë A1n
证明
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú 1 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A 3 ，于是有A -1 = A3. A ... ... ú ú ... Ann û
é A11-1 A = ê ë 0
21
-1 -1 -1
-1
0 ù ú A22 -1 û
-1 ù é A1 ú ê ú =ê ú ê ú ê Ak û ê ë -1
把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：
é A1 ê ê ê ê ë A2 ... A2
-1
...
ù ú ú ú -1 ú Ak û ú
0 ù é 1 0 ... 0 ù ú 0 ú ê 0 1 ... 0 ú ú =I =ê ... ú ê... ... 1 ...ú ú ê ú A û ë 0 0 ... 1 û
同理可证BA=I. 由此可知，若A可逆，则A -1 =
1 A3. A
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A(E- A )(E+A + A 2+…+ AK 1)= E-A K(E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E，逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 .1. 利用定义求逆矩阵定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且证明因为E与A可以交换，所以因A K= 0 ,于是得同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ，因此E-A是可逆矩阵，且(E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且E-A 的逆矩阵.(E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1.由此可知，只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.例2 设 A =00 20 00 03,求0003 0000分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证00 2 00 0 0 6200 0 630 0 0 04A 2=■A 3=， A 4 =000 0 00 00 0000 00 0 0 0而 (E-A)(E+A+ A2+ A 3 )=E , 所以1 12 61230 12 6 (E-A)E+A+ A2+ A.0 0 1 30 00 12. 初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 •如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使（1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1右乘上式两端，得：（2） p 1 p 2 p s I= A 1比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1.用矩阵表示（ A I ）为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等变换 .同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵 .2 3 1例1 求矩阵A的逆矩阵•已知A= 0 1 31 2 52 3 1 1 0 0 1 2 5 0 0 1解[A I] 0 1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 01 2 5 0 0 1 2 3 1 1 0 01 2 5 0 0 1 1 0 0 1/6 13/6 4/30 1 3 0 1 0 0 1 0 1/2 3/2 10 0 1 1/6 1/6 1/3 0 0 1 1/6 1/6 1/31/6 13/6 4/3故 A 1 = 1/2 3/2 11/6 1/6 1/3在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法•如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为 0，则意味着A不可逆，因为此时表明A =0，则A 1不存在.1 2 3例 2 求 A= 4 5 6.7 8 91 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0解[A E]= 4 5 6 0 1 0 0 3 6 4 1 07 8 9 0 0 1 0 6 12 7 0 11 2 3 1 0 00 3 6 4 1 0 .0 0 0 1 2 1由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3. 伴随阵法定理 n阶矩阵A=[a j ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A n1A n2矩阵A 21.A n1A 22...A 12称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1=-A A 3'' ''' )A 2n.A nnB=A n A 2n 由此可知，若A 可逆，则AA 3.其中A j 是A 中元素a j 的代数余子式.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1=I ，有AA 1 = l |，则A A 1 =|l |，所以A 0 , 即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩其中a11 a12 ...a 1nA 11 A21...A n1 a 21a22...a2 n1 A 12A22A n2 AB=... ... ...A・・・an1an2...a nnA 1nA2n...A nnA 0...0 1 0=丄oA ...0 =010 = -1=A ... ... A ...1T0 0...A0 01同理可证BA=I.用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有A|2nAiA2 A inAI2A 22A nn证明 因为A =A ii0 0A22其中X A ii A 11A ii0 A 22=A 1i | |A22An 0 0A 22 i0,所以A 可逆.YW ，于是有X Y A ii ZWA22I n 00 I m n， 丫 A22 =0， ZA ii =0，W A 22 I m .又因为A ii 、A 22都可逆，用22 i 分别右乘上面左右两组等式得:规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对 角线的元素变号即可•若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过 AA 1=I 来检验.一 旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4 .分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A il 、A 22都是非奇异矩阵，且A il 为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵iiX= A ii ，Y=0，Z=0，W= A 22A 2i =Aii0 A 22 i把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即:iA i iA2 A2i42准三角形矩阵求逆命题设A11、A 22都是非奇异矩阵，则有A11 1 1A12 A111A11 A12 A22 10 A22 0 A22 1证明因为A11 A12 I 1A11 A12 =An 0 0 A22 0 I 0 A22两边求逆得I A11 1 1A12 A1 1 A12 1= A11 100 I 0 A22 0 A22 所以A11A12 1 _ I A11 A12 A1 100 A22 0 I 0 A22 1=A11 11 1 A11 A12 A220 A22 1 同理可证A1110 A11 10A21 A221 1A11 A21 A22 A22 1此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵•是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用•5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA 1=E，把题目中的逆矩阵化简掉。
(完整word版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
1.5可逆矩阵
二. 判别定理 1. 定义 :
(1) 伴随矩阵 : 设 n 阶矩阵 A = (a ij ) , Aij 是 A 中元 a ij 的代数 余子式 ( i , j = 1,2,L , n) . 矩阵 A11 A 12 L A 1n A21 L An1 A22 L An 2 L L L A2n L Ann
例6.
2 1 0 0
1 1 0 0
1 0 5 4
0 1 9 7
−1
2 1 5 9 解: 令 A= , B = 1 1 4 7 则 A
−1
1 − 1 = , −1 2
B
−1
− 7 9 = 4 − 5
称为矩阵 A 的伴随矩阵 , 记作 A∗
注 : 方阵 A 的伴随矩阵 A∗ 满足 : AA∗ = A∗ A = A E
(2) 若 n 阶矩阵 A 的行列式 A ≠ 0, 则称 A 是非奇异的 (非退化的 ). 否则称 A 为奇异矩阵 ( 退化矩阵 ).
2. 定理 : (1)
A 可逆 ⇔ A 非奇异即 A ≠ 0 1 ∗ A A
设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵
1. 关于逆矩阵
(1) A−1 可逆, 且 ( A−1 )−1 = A;
1 −1 ( 2) k ≠ 0 时 kA 可逆, 且 ( kA) = A ; k ( 3) AB 可逆, 且 ( AB )−1 = B −1 A−1 ;
−1
( 4) AT 可逆, 且 ( AT )−1 = ( A−1 )T ;
a b 例1. 设 A = , 问 a,b,c,d 满足什么条件时 A 可逆 , 并求 A −1 c d
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
关于矩阵求逆的几种方法
关于矩阵求逆的⼏种⽅法2019-09-19摘要：矩阵求逆是⾼等代数中很重要的内容之⼀，本⽂介绍了矩阵求逆的⼏种⽅法。
关键词：逆矩阵初等变换伴随矩阵级数特征多项式1.定义法定义：设A为n阶矩阵，如果存n在阶矩阵B使得AB=BA=I。
则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。
例1：求矩阵A=2231-10-121的逆矩阵。
解：因为|A|≠0，所以A存在。
2.公式法定理1：n阶矩阵可逆的充要条件是|A|≠0，⽽且当n（≥2）阶矩阵A为可逆矩阵时，A=A，其中A为矩阵A的伴随矩阵。
⽤公式法求逆，当阶数较⾼时，计算量很⼤，所以该⽅法主要⽤于理论推导。
3.初等变换法设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，然后对此矩阵施以初等⾏变换，若把⼦块A变为I，则⼦块I将变为A，即初等⾏变换［I，A］。
4.Gauss-Jordan（⾼斯―约当）法由定义AA=I，设Y=AX（Y，X均为n维向量），则X=AY。
若将Y=AX改写成X=BY，则A=B。
具体⽅法如下：写出Y=AX的矩阵形式yy...y=aa…aaa…a…………aa…axx...x，由矩阵乘法写成⽅程形式y=ax+ax+…+axy=ax+ax+…+ax……………y=ax+ax+…+ax，经消元后将上式转化为如下形式：y=bx+bx+…+bxy=bx+bx+…+bx……………y=bx+bx+…+bx，即X=BY，所以A=B。
5.⼴义的⾏列初等变换法此⽅法可将阶数较⾼的矩阵化为阶数较低的矩阵再求其逆，使计算简化。
例4：设r+s阶矩阵A=BDOC，其中B，C是r，s阶可逆矩阵，则A=B-BDCOC。
证明：（I）⽤⼴义的初等⾏变换。
［Ａ，Ｉn］=BDI00C0I初等变换IO-B-BDCOIOC由此得证。
（II）⽤⼴义的初等列变换法。
AI=BDOCIOOI初等变换 IDCOIBOOC初等变换 IOOIB-BDCOC，由此得证。
6.和化积法有的问题要判断⽅阵之和A+B的⾮奇异性并求其逆矩阵，此时可将A+B直接化为（A+B）C=I，由此有A+B⾮奇异，且（A+B）=C；或将矩阵之和A+B表⽰为若⼲已知的⾮奇异阵之积，并可得其逆矩阵。
总结求矩阵的逆矩阵方法
华北水利水电学院总结求矩阵的逆矩阵方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：浅析求矩阵的逆矩阵方法摘要：矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。
下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。
关键字 矩阵 逆矩阵 可逆1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA11，其中*A 伴随矩阵。
例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA11例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=，所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。
对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。
对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。
1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。
如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AAE 11--==即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q Al 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。
简谈矩阵可逆的判别法与其运用
简谈矩阵可逆的判别法与其运用内容摘要：逆矩阵的计算与证明是线性代数中关于矩阵这一条主线的重要知识点，逆矩阵的性质、矩阵可逆的充分必要条件以及逆矩阵的各类计算方法已成为学习高等代数的一大重点，许多同学在复习的过程中对逆矩阵的计算投入了许多时间去反复训练，而对证明却相对有所忽略，以致某些情况下对可逆性的证明无从下手，我就我学习高等代数以来对逆矩阵的思考和心得和大家分享分享。
首先，矩阵乘法有别于同学们之前接触过的乘法运算的一个最重要的不同点就是矩阵的乘法不满足交换律，与矩阵相交换有联系的主要是逆矩阵的定义式，这也是关于矩阵可逆性证明的一个重要突破点。
下面主要介绍几个可以证明矩阵可逆的判别方法。
关键词：可逆，矩阵，判别法，扩充，1.导言：矩阵与生活有着密不可分的联系，矩阵的逆矩阵也是矩阵的重中之重，很多同学只知道逆矩阵的求法，算法，却并不知道矩阵在什么情况下存在逆矩阵，书上只定义了两种判断矩阵是否可逆的方法，但在面对种类繁多的各种逆矩阵存在性证明的题时，尚显不足，本文从各个方面，各个角度讲了矩阵可逆的判别法。
2.预备知识：逆矩阵定义：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB=BA=E ；这里E是单位矩阵。
记作B=1-A 。
判别法1：矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化。
判别法2：n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积。
引理3：如果齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的行列式|A|≠0，那么它只有零解。
引理4:对矩阵A 进行初等行（列）变换得到矩阵B ，矩阵旳秩rank(A)=rank(B)。
引理5：设∂是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 中一数0λ，存在一个非零向量ξ，使得ξλξ0=∂.那么0λ称为∂的一个特征值，而ξ称为∂的属于0λ的一个特征向量。
引理6：设的特征多项式为的特征矩阵，称为称A A E A A E P A n --∈⨯λλ,n且A E -λ=()()A S S nk n k kn n 1111-++-++--- λλλ，其中k S 为A 中一切k 阶主子式之和，由此可知A E -λ=0在P 中最多有n 个不同的解，但在P 中也可能没有一个解，但在复数域C 中，A 一定有n 个解（包括重根个数）。
2.2 可逆矩阵
A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
逆矩阵的十种求法
=
方法九 “和化积”法；有时遇到这样的问题：要求判断方阵之和A+B的可逆性并求逆矩阵，此时可将A+B直接化为 ，由此有A+B可逆，且 ，或将方阵之和A+B表为若干个已知的可逆阵之积，再有定理2知A+B可逆，并可得出其逆矩阵。
例证明：若 ，则 是可逆阵，并求 。
证明：
E-A是可逆矩阵且
引言：矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念，它是代数，特别是现性代数的一个主要研究对象。其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念，逆矩阵的可逆性及其求法自然也就成为要研究的主要内容之一。
本文主要是对课本中关于可逆矩阵判定方法的总结
可逆矩阵的定义：设 是 阶矩阵，如果存在 阶矩阵 ，使得 n，则称 是可逆矩阵（或称 为非奇异矩阵）， 是 的逆矩阵。
从这个定义可知，单位矩阵E的可逆矩阵就是其自身
矩阵可逆性的判定：
方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB = BA = E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.
例：设A= ,ad-bc;求A-1.
解:因为｜A｜=ad-bc=1≠0 所以A可逆.
[4] 王莲花,张香伟,李战国,王建平. 求逆矩阵方法的进一步研究[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2002, (03) .
[5] 王建锋. 求逆矩阵的快速方法[J]. 大学数学, 2004, (01) .
[6] 李桂荣. 关于求逆矩阵方法的进一步探讨[J]. 德州高专学报, 2000, (04) .
(AB)-1=A-1B-1
(AT)-1=(A-1)T
(A*)-1=(A-1)*=A｜A｜-1
矩阵可逆的判别方法
矩阵可逆的若干判别方法学院：数学与数量经济学院 班级：数学与应用数学1班 姓名：黄新菊 学号：1250411025 内容摘要：学了这么久高等代数，从学了矩阵之后，几乎每节都离不开矩阵。
矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中在这期间，可逆矩阵是贯穿其中出现的最频繁的词语。
可逆矩阵是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。
例如，分块矩阵的运算、二次型化为标准型再化为规范型、线性子空间、同构、矩阵线性变换、特征值与特征向量、对角矩阵等，都有用到可逆矩阵，矩阵可逆的性质，可以解决很多数学问题，是解决实际问题比较常用的工具之一。
并且还可以物理、经济等各种问题。
有重要的理论和实践意义。
所以，研究、学习矩阵可逆的若干判别方法，还是很有必要的，有重要的意义。
关键词：矩阵、可逆矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、初等变换、线性变换、线性子空间、判别方法。
导言：高等代数已经学了差不多两个学期。
自从开始学了矩阵，矩阵在高等代数中就起到了不可或缺的作用。
前面学的多项式、行列式、线性方程组原来也是为了学习矩阵奠定了基础。
而矩阵的可逆性在其中起到了非常大的作用。
突然发现，在矩阵的乘法运算中，可逆矩阵就像有理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算体系中非常重要的部分。
为了更加深入了解、学习、解决处理矩阵计算体系的各种题目，我决定用“矩阵可逆的若干判别方法”为题目作为论文的题目。
我在图书馆查了很长时间的资料，并且还上网百度浏览了很多有关的网页。
希望可以由此更加深入理解矩阵的逆的性质、定义、判别方法等。
整理了所有资料，总结了以下的矩阵的逆的判别方法。
正文矩阵可逆的若干判别方法首先介绍一些下面要用性质及定义。
有关矩阵的逆的定义：定义1：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB=BA=E ，这里E 是级单位矩阵. 即称A 可逆，B 为A 的逆。
(AB 1-=)定义2：设 矩阵⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=a aa aa a a aa Ann n n n n............ (2)12222111211 中元素a ij 的代数余子式，矩阵⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=A AA A A A A AA A nnn n n n ... (2)12222111211* 称为A 的伴随矩阵。
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证明矩阵可逆的9种方法是
矩阵可逆是指一个矩阵存在一个逆矩阵，其乘积等于单位矩阵。
下面将介绍9种证明矩阵可逆的方法。
方法一：行列式法
要证明一个矩阵可逆，可以计算其行列式。
如果矩阵的行列式不为零，则矩阵可逆。
方法二：逆矩阵法
如果一个矩阵存在一个逆矩阵，且这个逆矩阵满足乘积为单位矩阵，那么这个矩阵可逆。
方法三：初等变换法
通过对矩阵进行一系列的初等行变换或初等列变换，能够将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形。
如果最终得到的行阶梯形或列阶梯形存在没有零行或零列，那么该矩阵可逆。
方法四：伴随矩阵法
对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记为adj(A)，满足A * adj(A) = adj(A) * A = A * I，其中A 表示A的行列式，I表示单位矩阵。
如果一个矩阵A的伴随矩阵存在，且A 不为零，则A可逆。
方法五：特征值法
计算矩阵A的特征值，如果所有特征值都不为零，则矩阵A可逆。
方法六：线性相关法
将矩阵A的列向量组看作是一个线性相关的向量组，当且仅当这个向量组的秩等于矩阵的列数时，矩阵可逆。
方法七：投影矩阵法
如果一个矩阵A是一个投影矩阵，即A * A = A，则矩阵A可逆。
方法八：正交矩阵法
如果一个矩阵A满足A的转置矩阵与A的乘积等于单位矩阵，即A * A^T = I，其中A^T表示A的转置矩阵，则矩阵A可逆。
方法九：哈达玛矩阵法
如果一个n阶方阵H满足H的每一个元素的模都是1，且任意两行之间的内积等于0，则矩阵H可逆。
以上是证明矩阵可逆的9种方法。
每种方法都有其独特的思路和侧重点。
可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。