空间图形的基本关系与公理(2)
空间图形的公理(公理1,2,3)
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
2. 下列命题中正确的是（ B ） A ．空间三点可以确定一个平面 B ．三角形一定是平面图形 C ．若 A ， B ， C ， D 既在平面 α 内，又在平面 β 内， 则平面 α 和平面 β 重合 D ．四条边都相等的四边形是平面图形
B
A l ,B l ,A ,B l
作用： 判定直线是否在平面内．
思考5：观察长方体，你发现长方体的两个平面有
什么位置关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？ 提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的 基础．
B
提示：不只相交于一点B，如下图所示：
B
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且 P l
P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1．下列说法中正确的是( D )
A．经过三点确定一个平面
北师大版数学高一-4 空间图形的基本关系与公理
§4 空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识【课时目标】学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念．1．空间点与直线的位置关系有两种：______________________________．2．空间点与平面的位置关系有两种：________________________________．3．空间两条直线的位置关系有三种(1)________直线——在同一平面内，没有公共点；(2)________直线——在同一平面内，只有一个公共点；(3)________直线——不同在任何一个平面内．4．空间直线与平面的位置关系有三种(1)直线在平面内——直线和平面有无数个公共点；(2)直线和平面相交——直线和平面只有一个公共点；(3)直线和平面平行——直线和平面没有公共点．5．空间平面与平面的位置关系(1)两个平面平行——两个平面没有公共点；(2)两个平面相交——两平面不重合且有公共点．一、选择题1．已知直线a∥平面α，直线bα，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥αC．bα D．b∥α或bα3．若直线m不平行于平面α，且m α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与m异面B．α内不存在与m平行的直线C．α内存在唯一的直线与m平行D．α内的直线与m都相交4．三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A．1条B．2条C．3条D．1条或2条5．平面α∥β，且aα，下列四个结论：①a和β内的所有直线平行；②a和β内的无数条直线平行；③a和β内的任何直线都不平行；④a和β无公共点．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．36．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内二、填空题7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有______个．8．若a、b是两条异面直线，且a∥平行α，则b与α的位置关系是__________________．9．三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________．三、解答题10．指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．(1)如图1，直线a在平面α内．(2)如图2，直线a和平面α相交．(3)如图3，直线a和平面α平行．11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，指出与AB平行的棱、相交的棱、异面的棱．能力提升12．如图所示的是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF、GH 在原正方体中相互异面的有______对．13．如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．正方体或长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体或长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．§4空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识答案知识梳理1．点在直线上和点在直线外2．点在平面内和点在平面外3．(1)平行(2)相交(3)异面作业设计1．D2．D3．B4．D5．C6．B7．38．bα，b∥α或b与α相交9．4,6,7,810．解(1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：(1)直线a在平面α内：(2)直线a与平面α相交：(3)直线a与平面α平行：11．解如图所示．与AB平行的棱CD，A1B1，C1D1；与AB相交的棱A1A，B1B，AD，BC；与AB异面的棱为棱A1D1，B1C1，D1D，C1C．12．3解析将正方体恢复后，由图观察即可得．即为EF，GH；CD，AB；AB，GH．13．解由α∩γ＝a知aα且aγ，由β∩γ＝b知bβ且bγ，∵α∥β，aα，bβ，∴a、b无公共点．又∵aγ且bγ，∴a∥b．∵α∥β，∴α与β无公共点，又aα，∴a与β无公共点，∴a∥β．4．2空间图形的公理(一)【课时目标】掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．符号：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα．2．公理2：经过________________________的三点，____________一个平面(即可以确定一个平面)．3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________通过这个点的公共直线．符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l．4．用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：________________________________________________________________________．(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________．(3)直线l在面α内也在面β内：____________．(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：________________________________________________________________________．一、选择题1．两平面重合的条件是()A．有两个公共点B．有无数个公共点C．有不共线的三个公共点D．有一条公共直线2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈βB．M∈bβC．M bβD．M b∈β3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合5．空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有() A．2个或3个B．4个或3个C．1个或3个D．1个或4个二、填空题7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)A∉α，aα________．(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________．(3)a⊆α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．三、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．若空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．4．2空间图形的公理(一) 答案知识梳理1．两点2．不在同一条直线上有且只有3．一个一条4．(1)A∈α，A∉β(2)A∈α，B∉α且A∈l，B∈l(3)lα且lβ(4)mα，nα且m∩n＝A作业设计1．C2．B3．D4．C5．C6．D7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈aα，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解由题意知，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC 与平面α的交线上，因此E ，F ，G ，H 必在同一直线上．12．证明∵l 1β，l 2β，l 1l 2，∴l 1∩l 2交于一点，记交点为P ． ∵P ∈l 1β，P ∈l 2γ，∴P ∈β∩γ＝l 3， ∴l 1，l 2，l 3交于一点．13．证明 (1)∵C 1、O 、M ∈平面BDC 1，又C 1、O 、M ∈平面A 1ACC 1，由公理3知，点C 1、O 、M 在平面BDC 1与平面A 1ACC 1的交线上，∴C 1、O 、M 三点共线．(2)∵E ，F 分别是AB ，A 1A 的中点， ∴EF ∥A 1B ．∵A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1． ∴E 、C 、D 1、F 四点共面．(3)由(2)可知：四点E 、C 、D 1、F 共面．又∵EF ＝12A 1B ＝12D 1C ．∴D 1F ，CE 为相交直线，记交点为P ． 则P ∈D 1F 平面ADD 1A 1， P ∈CE平面ADCB ．∴P ∈平面ADD 1A 1∩平面ADCB ＝AD ． ∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．4．2 空间图形的公理(二)【课时目标】 1．理解异面直线所成角的定义；2．能用公理4及定理解决一些简单的相关问题．1．公理4：平行于同一条直线的两条直线________．2．定理：空间中，如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________．3．异面直线所成的角：直线a ，b 是异面直线，经过空间任一点O ，作直线a ′，b ′，使a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的____________叫做异面直线a 与b 所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是____________．一、选择题1．若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是( ) A ．异面或平行 B ．异面或相交C ．异面D ．相交、平行或异面 2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面3．若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A ．OB ∥O 1B 1且方向相同 B ．OB ∥O 1B 1C ．OB 与O 1B 1不平行D ．OB 与O 1B 1不一定平行 4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)二、填空题6．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________． 7．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．三、解答题9．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F 分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．能力提升11．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．12．如图所示，正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．90°在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°作业设计1．D2．D3．D4．B5．D6．60°或120°7．(1)60°(2)45°解析连接BA ′，则BA ′∥CD ′，连接A ′C ′，则∠A ′BC ′就是BC ′与CD ′所成的角．由△A ′BC ′为正三角形， 知∠A ′BC ′＝60°，由AD ∥BC ，知AD 与BC ′所成的角就是∠C ′BC ． 易知∠C ′BC ＝45°． 8．①③解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确．9．证明 (1)如图，连接AC ， 在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线，∴MN ∥AC ，MN ＝12AC ．由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1．∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1．10．解取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°．由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．故EF与AB所成的角为15°或75°．11．②④解析①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．12．B。
空间图形的基本关系与公理 PPT
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
【优化方案】2012高考数学总复习 第8章§8.3空间图形的基本关系及公理精品课件 理 北师大版
如图所示， 如图所示，已知空间四边形 ABCD 中， E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是 ， 的中点， ， ， CF CG 2 上的点， 边 BC，CD 上的点，且CB＝CD＝ ， ， 3 (1)求证：三条直线 EF，GH，AC 交于一点． 求证： 交于一点． 求证 ， ， AE CF AH CG (2)若在本题中， ＝ ＝2， 若在本题中， 若在本题中 EB FB ， HD＝GD＝3， ， 其他条件不变． 求证： EH， FG， 三线共点． BD 其他条件不变． 求证： ， ， 三线共点．
AE CF (2)因为 ＝ ＝2， 因为EB FB ，
所以 EF∥AC. ∥ AH CG 又HD＝GD＝3， ， ∴HG∥AC， ∥ ，
∴EF∥HG，且EF>HG. ∥ ， 所以四边形EFGH为梯形． 为梯形． 所以四边形 为梯形 交于点P， 设EH与FG交于点 ， 与 交于点 则P∈平面 ∈平面ABD，P∈平面 ， ∈平面BCD， ， 所以P在两平面的交线 上 所以 在两平面的交线BD上， 在两平面的交线 所以EH、 、 三线共点 三线共点． 所以 、FG、BD三线共点． 【易错警示】 易错警示】 缺乏理论依据． 缺乏理论依据． 证明线共点时， 证明线共点时，两条直线相交可能
(4) 空 间 直 线 和 平 面 的 位 置 关 系 有 三 种 ： 直线在平面内 __________________ 、 直 线 和 平 面 相 交 、 直线与平面平行 ． _______________． (5) 空 间 两 平 面 的 位 置 关 系 有 两 种 ： 两平面平行和两平面相交 _____________________________． ． 思考感悟 直线吗？ 直线吗？ 若aα，b β，则a，b就一定是异面 ， ， ， 就一定是异面
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
高中数学 空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件
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2.等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补.
预习交流 2
如果两个角的两条边分别对应平行且方向相同 ,那么这两个角的 关系如何?如果有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这 两个角的关系如何? 提示:相等;互补.
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3.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.
第 2 课时
公理 4(平行公理)与异面直线所成的角
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学习目标
1.记住并会应用公理 4. 2.理解等角定理的条件和结论. 3.知道什么是空间四边形. 4.知道什么是异面直线所成的角,会求简单的异面直线所成的角. 重点:公理 4 及其应用以及异面直线所成角的求法. 难点:对异面直线所成的角的理解和求法. 疑点:怎样求异面直线所成的角?
= ,请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点
2 3
G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH,
(1)为平行四边形? (2)为菱形?
问题导学
当堂检测
思路分析:由
������������ ������������
=
������������ ������������
= ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH
2 3
2 3
理由:由(1)知,若
=
������������ ������������
= ,
3 5 2 5 2 3
2 3
则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD, 则 EF= AC= BD=EH. ∴ 平行四边形 EFGH 为菱形.
3 5 2 5
高考数学北师大版文科一轮复习配套课件7.2空间图形的基本关系与公理
[类题通法]
1．证明共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三 条直线上， 这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线， 可 以利用公理 3 证明．
2．证明过程中要注意符号语言表达准确，公理成立的条件 要完善．
[典例] (1)(2013· 江西省七校联考)已知直线a和平面α， β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和 c，则直线b和c的位置关系是 A．相交或平行 C．平行或异面 B．相交或异面 D．相交、平行或异面 ( )
(2)补形法：即采用补形法作出平面角． 2．证明共面问题的两种途径
(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他 线(或点)在此平面内；
(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这 两个平面重合．
3．证明共线问题的两种途径
(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
解析：由异面直线的定义可知选 D.
(
)
答案：D
2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系 是 A．b⊂α C．b⊂α或b∥α B．b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α ( )
解析： b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α 都可以．
答案：D
1．求异面直线所成角的方法
(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平 面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．
∵BA1∥CD1， ∴∠A1BE为所求． 在△A1BE中， 设AB＝1，则AA1＝2， ∴A1B＝ 5，A1E＝1，BE＝ 2. 3 10 ∴cos∠A1BE＝ . 10
3 10 答案： 10
1．(2013· 安徽高考)在下列命题中，不是 公理的是 ．． A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
空间图形的基本关系与公理
北 师 大 版
分别取 AA1、BA、A1C1 的中点 E、F、G，联结 EF、FG、 EG.
第8章 第二节
高考数学总复习
则∠FEG 或∠FEG 的补角是 BA1 与 AC1 所成的角，
设 BA＝AC＝AA1＝1，
则 EF＝ 22，EG＝ 22，FG＝
BC，BB1，AA1，C1D1，共 5 条．
北 师
大
版
第8章 第二节
高考数学总复习
(理)直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC
＝AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( )
A．30°
B．45°
北
C．60°
D．90°
师 大
[答案] C
版
第8章 第二节
高考数学总复习
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
北
师
[答案] C
大
版
[解析] a、b 是异面直线，直线 c∥直线 a.因而 c 不与 b
பைடு நூலகம்
平行，否则，若 c∥b，则 a∥b，与已知矛盾，因而 c 不与 b
平行．
第8章 第二节
高考数学总复习
(理)给出下列命题：
①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；
高考数学总复习
空间图形的基本
第二节
关系与公理
北 师
大
版
第8章 第二节
高考数学总复习
北 师 大 版
第8章 第二节
高考数学总复习
考纲解读
1．理解空间直线、平面位置关系的定义．
高中数学-8.3 空间图形的基本关系与公理
考纲要求
-3-
1.空间图形的公理 (1)公理1:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可 以确定一个平面). 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上 所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有一条过这个点的公共直线. (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
考点1 考点2 考点3
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-18-
知识方法
易错易混
对点训练2 (1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的 中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正 确答案的序号)
关闭
题图①中,直线GH∥MN; 题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面; 题图③中,连接MG,GM∥HN, 因此GH与MN共面; 题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.
解析
答案
第八章 1 2 3 4 5
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-11-
自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只 有”“只能”“最多”等. 2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交 且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能 错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
专题3 空间图形的基本关系与公理(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
专题3：空间图形的基本关系与公理（解析版）一公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,,A lB llA Bααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,A B CA B Cα⇒不共线确定平面,lP PP lαβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩作用判断线在面内确定一个平面证明多点共线推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二．直线与直线的位置关系直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
（既不平行，也不相交）三．直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内——有无数个公共点．符号 aα相交——有且只有一个公共点符号 a∩α= A平行——没有公共点符号 a∥α说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示对应练习一、单选题1．如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤【答案】D【分析】根据平面的表示方法判断．【详解】③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.2．下列叙述错误的是（）A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.C．三点A，B，C确定一个平面.D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则l α.【答案】C【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．【详解】选项A，点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．故选：C3．在空间中，下列结论正确的是（）A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面【答案】A【分析】根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.【详解】三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A正确；当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B错误；当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C错误；当两条直线异面时，不能确定一个平面，即D错误；故选：A.【点睛】本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.4．下列命题中正确的是（ ）A ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αB ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C ．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面的位置关系进行判断. 【详解】解:选项A: 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α或相交,故A 错误;选项B: 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能与这个平面平行,也可包含于这个平面,故B 错误;选项C: 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面,故C 错误; 选项D: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行, 故D 正确, 故选:D 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.5．已知直线l 和不重合的两个平面α，β，且l α⊂，有下面四个命题：①若//l β，则//αβ；②若//αβ，则//l β；③若l β⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，则l β⊥ 其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①④【答案】B 【分析】对于①，由//l β可得α与β可平行，可相交；对于②，若//αβ，则由面面平行的性质定理可判断；对于③，由线面垂直的判定定理可判断；对于④，当αβ⊥时，l 可能在β内，可能与β平行，可能相交 【详解】解：对于①，由//l β可得α与β可平行，可相交，故错误； 对于②，若//αβ，则由面面平行的性质定理可得//l β，故正确； 对于③，若l β⊥，则由线面垂直的判定定理可得αβ⊥，故正确；对于④，当αβ⊥时，l 可能在β内，可能与β平行，可能相交，所以不一定有l β⊥，故错误， 故选：B 【点睛】此题考查线线、线面、面面关系的判断，属于基础题6．四个顶点不在同一平面上的四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，如果直线EF ，GH 交于点P ，那么（ ）A ．点P 一定在直线AC 上B ．点P 一定在直线BD 上C ．点P 一定在平面ABC 外D ．点P 一定在平面BCD 内 【答案】A 【分析】由两个面的交点在两个面的交线上，知P 在两面的交线上，由AC 是两平面的交线，知点P 必在直线AC 上． 【详解】解：∵EF 在面ABC 内，而GH 在面ADC 内， 且EF 和GH 能相交于点P ， ∴P 在面ABC 和面ADC 的交线上， ∵AC 是两平面的交线， 所以点P 必在直线AC 上． 故选：A ．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 7．平面α平面l β=，点A α∈，点B β∈，且B l ∉，点C α∈，又ACl R =，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则βγ⋂是（ ）A ．直线CRB ．直线BRC ．直线ABD ．直线BC【答案】B 【分析】确定平面β、γ的公共点，利用公理可得出平面β与γ的交线. 【详解】 如下图所示：由题意可知，AC γ⊂，AC l R =，则R γ∈，又平面α平面l β=，则l α⊂，l β⊂，AC l R =，R β∴∈，B β∈，B γ∈，因此，βγ⋂=直线BR .故选：B. 【点睛】本题考查两平面交线的确定，关键是确定两平面的公共点，属于基础题.8．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β D ．若//l α，//m α，则//l m【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A ，由线面平行的性质定理可判断B ，由面面平行的性质定理可判断C ，由线面平行的性质定理可判断D. 【详解】解：对于A ，由线面垂直的判定定理可知当直线l 垂直平面α内的两条相交直线时，l α⊥才成立，所以A 不正确；对于B ，若//l α，m α⊂，则//l m 或l ，m 异面，所以B 不正确； 对于C ，由面面平行的性质定理可知是正确的，对于D ，若//l α，//m α，则l ，m 有可能相交、平行或异面，所以D 不正确， 故选：C 【点睛】此题考查了线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题.9． 下列命题中，正确的是 ( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C ．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D ．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面 【答案】B 【解析】因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B ．点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．10．设α，β表示平面，l 表示直线，A ，B ，C 表示三个不同的点，给出下列命题：①若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，则l α⊂；②若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则AB αβ=；③若l α⊄，∈A l ，则A α；④若,,A B C α∈，,,A B C β∈，则α与β重合.其中，正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据平面的基本性质及推论进行判断. 【详解】若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，根据公里1，得l α⊂，①正确；若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则直线AB 既在平面α内，又在平面β内， 所以AB αβ=，②正确；若l α⊄，则直线l 可能与平面α相交于点A ，所以∈A l 时， A α∈，③不正确； 若,,A B C α∈，,,A B C β∈，当,,A B C 共线时，α与β可能不重合，④不正确； 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面的性质，明确平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.11．平面α的一条斜线AP 交平面α于P 点，过定点A 的直线l 与AP 垂直，且交平面α于M 点，则M 点的轨迹是（ ）.A ．一条直线B ．一个圆C ．两条平行直线D ．两个同心圆【答案】A 【分析】由过定点A 的直线l 与AP 垂直可知，直线l 绕点A 旋转形成一个平面，由此可知两平面的交线即为所求．【详解】解：如图，设直线l与l'是其中两条任意的直线，⊥，则这两条相交直线确定一个平面β，且斜线APβ由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知，过定点定点A且与AP垂直的直线都在平面β内，∴M点都在平面α与平面β的交线上，故选：A．【点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题．12．和直线l都平行的直线,a b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．平行、相交或异面【答案】C【分析】直接利用平行公理，即可得到答案．【详解】由平行公理，可知平行与同一直线的两直线是平行的，所以和直线l都平行的直线,a b的位置关系是平行，故选C．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题13．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1BC 与AC 所成的角为_____．【答案】60︒ 【解析】11//BC AD ∴ 异面直线1BC 与AC 所成的角为0160CAD ∠=14．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个论断：①//l m ，②//αβ，③m α⊥，④l β⊥.以其中的两个论断作为命题的条件，l α⊥作为命题的结论，写出一个真命题：______.【答案】若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【分析】若//l m ，m α⊥，则l α⊥，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论. 【详解】解：l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 可得若//l m ，m α⊥，则l α⊥， 理由：在α内取两条相交直线a ，b ， 由m α⊥可得m a ⊥.m b ⊥， 又//l m ，可得l a ⊥.l b ⊥，而a ，b 为α内的两条相交直线，可得l α⊥. 故答案为：若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__．【答案】35【分析】连AE 、BF 、EF ，利用平行四边形可得//BF AE ，可得BFC ∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连AE 、BF 、EF ，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，所以11//A E B F 且11A E B F =，所以四边形11A B FE 为平行四边形， 所以11//EF A B 且11EF A B =，又11//A B AB 且11A B AB =， 所以//EF AB 且EF AB =，所以四边形ABFE 为平行四边形，//BF AE ∴，BFC ∴∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角）， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则415BF CF ==+3cos5BFC∴∠==．∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为35．故答案为：35．【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理，属于基础题.16．在长方体1111ABCD A B C D-中，11AA AD==，2AB=，则直线AC与1A D所成的角的大小等于__________.【答案】arccos10【分析】连接11,B A B C，可得直线AC与1A D所成的角为1B CA∠，利用余弦定理求1cos B CA∠即可.【详解】解：如图，连接11,B A B C，由长方体的结构特点可知11//B C A D，则直线AC与1A D所成的角为1B CA∠（或其补角），因为11B A BC AC======，在1B CA中，2221111cos210BC AC ABB CABC AC+-∠===⋅，1arccos10B CA∴∠=.故答案为：arccos10.【点睛】本题考查异面直线所成的角，关键是要通过平移找到异面直线所成的角的平面角，是基础题.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，1E ，1F 分别为棱AD ，AB ，11B C ，11C D 的中点.求证：111EA F E CF ∠=∠.【答案】见解析 【分析】根据空间中两个角的两边平行时,角的关系可知两个角相等或互补. 结合空间中平行线的传递性及当两个角的方向相同时,即可证明两个角相等. 【详解】证明：如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,取11A B 的中点M ,连接名BM ,1F M由题意得112BF A M AB ==又1BF M A ∥∴四边形1A FBM 为平行四边形 ∴1A F BM ∥又1F ,M 分别为11C D ,11A B 的中点,则111F M C B =∥而11C B BC =∥∴1F M BC =∥∴四边形1F MBC 为平行四边形 ∴1BM F C ∥ 又1BM A F ∥ ∴11A F F C ∥ 同理可得11A ECE∴1EA F ∠与11E CF ∠的两边分别平行,且方向都相反 ∴111EA F E CF ∠=∠. 【点睛】本题考查了直线与直线平行的证明,空间中角的两边分别平行时两个角的关系,属于基础题. 18．（不写做法）（1）如图，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，S 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线．（2）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，试画出平面11AB D 与平面11ACC A 的交线．【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）延长BD 和AC 交于点O ，再连接SO ，即得到交线； （2）先记11B D 与11A C 的交点为O ，连接AO ，即可得出交线. 【详解】（1）（延长BD 和AC 交于点O ，连接SO ，SO 即为平面SBD 和平面SAC 的交线），如图：（2）（记11B D 与11A C 的交点为O ，连接AO ，则AO 即为平面11AB D 与平面11ACC A 的交线），如图:【点睛】本题主要考查画出平面与平面的交线，考查空间想象能力，属于基础题型. 19．如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D .（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？【答案】（1）棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′（2）45°（3）AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′【分析】（1）根据异面直线的定义判断即可；（2）∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，进而可得直线BA′和CC′的夹角；（3）根据正方体的性质即可判断．【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°；（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.【点睛】本题考查异面直线的定义，考查线线角的求解，考查线线垂直的判断，是基础题．VB VC的中点，求异20．如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，,D E分别是,面直线DE与AB所成的角.【答案】45︒ 【分析】根据题意，直径所对圆周角是直角，BC AC ∴⊥，又知点C 是弧AB 的中点，则等腰直角三角形，再根据中位线平行，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】AB 是圆O 的直径，BC AC ∴⊥.∵点C 是弧AB 的中点，,45BC AC ABC ∴=∴∠=︒. 在VBC △中，,D E 分别为,VB VC 的中点，DE BC ∴∥，DE ∴与AB 所成的角为45ABC ∠=︒.故答案为：45︒ 【点睛】本题考查异面直线所成角问题，考查转化与化归思想，属于基础题.21．如图1所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 到达C D ''的位置（如图2），G ，H 分别为AD '，BC '的中点，求证:四边形EFGHEFGH 为平行四边形.图1 图2【答案】证明见详解.【分析】通过证明EF //GH ，且EF =GF ，即可证明. 【详解】在题图1中，∵四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，E F ，分别为BC AD ，的中点，∴//EF AB 且()12EF AB CD =+. 在题图2中，易知////C D EF AB ''. ∵,G H 分别为AD '，BC '的中点， ∴//GH AB 且()()1122GH AB C D AB CD ''=+=+， ∴//GH EF ，GH EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形.即证. 【点睛】本题考查通过线线平行证明平行四边形，主要借助几何关系进行证明.22．如图所示,已知,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AA CC 的中点,求证:四边形1BED F 是平行四边形.【答案】见解析 【分析】取1D D 的中点G ,连接,EG GC ，证明四边形EGCB 是平行四边形，再证四边形1D GCF 为平行四边形，即可证明四边形1BED F 是平行四边形. 【详解】证明 取1D D 的中点G ,连接,EG GC .∵E 是1A A 的中点,G 是1D D 的中点,//EG AD ∴. 由正方体的性质知//AD BC ,//EG BC ∴, ∴四边形EGCB 是平行四边形,//EB GC ∴. 又,G F 分别是1D D ,1C C 的中点,1//D G FC ∴,且1D G FC =,∴四边形1D GCF 为平行四边形,1//D F GC ∴, 1//EB D F ∴,∴四边形1BED F 是平行四边形. 【点睛】本题考查了线线平行的判定，利用平行四边形的对边平行且相等证明线线平行，是基础题.。
2012届高考数学(文)一轮复习课件：7-2第二节 空间图形的基本关系与公理(北师大版)
第七章
立体几何
北 师 大 版 数 学 文
[解]
(1)取 CD 的中点 G，连结 MG、NG.
正方形 ABCD、DCEF 的边长为 2， 则 MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF， 所以 MG⊥平面 DCEF.∴MG⊥NG， ∴MN＝ MG2＋NG2＝ 6.
(2)证明：假设直线ME与BN共面，
第七章
立体几何
北 师 大 版 数 学 文
第七章
立体几何
北 师 大 版 数 学 文
例4
(2009· 辽宁卷 )如图 ，已知两个正方形 ABCD和
DCEF不在同一平面内，M、N分别为AB、DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长； (2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
这与BC是正方体的棱相矛盾．
∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．
第七章
立体几何
北 师 大 版 数 学 文
[总结评价] (1)问通过观察，AM和CN显然不是异面直 线，可以直接证明AM与CN共面．(2)问直观感觉到D1B和CC1 是异面直线的可能性较大，如果直接证明它们异面，很难达 到目的，考虑到命题情况是单一的，不是异面，就是共面， 因此想到用反证法来证明，反证法是立体几何中经常使用的
∴DB∥B′D′.
第七章
立体几何
北 师 大 版 数 学 文
∴A′B、DB、A′D是全等的正方形的对角线． ∴A′B＝BD＝A′D，即△A′BD是正三角形．
∴∠A′BD＝60°.
∵∠A′BD是锐角，
∴∠A′BD是异面直线A′B与B′D′所成的角．
∴A′B与B′D′所成的角为60°.
北师大版数学高一- (北师大)必修2试题 1.4空间图形的基本关系与公理(2)
课后训练1．若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′且OA与O′A′的方向相同，则OB与O′B′()．A．一定平行且方向相同B．一定平行且方向相反C．一定不平行D．不一定平行2．已知直线a，b，c，下列说法正确的是()．A．a∥b，b∥c，则a∥cB．a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．a与b所成的角与b与c所成的角相等，则a∥c3．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()．A．相交B．异面C．相交或异面D．平行4．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是()．A．MN≥12(AC＋BD) B．MN≤12(AC＋BD)C．MN＝12(AC＋BD) D．MN＜12(AC＋BD)5．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF和CD所成的角是()．A．90°B．45°C．60°D．30°6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩D1B1＝O，E，F分别是B1O和C1O的中点，则在长方体各棱中与EF平行的有__________条．(第6题图)7．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与∠______的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与∠______的两边分别平行且方向相反．(第7题图)8．如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是________．9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：(1)D1E∥BF；(2)∠B1BF＝∠D1EA1.10．如图，P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是△PAB和△PBC的重心，AC＝9.(1)求MN的长；(2)若点P，B的位置变化，会影响M，N的位置和MN的长度吗？参考答案1答案：D 解析：由于两角不一定在同一个平面内，或两角所在的平面不一定平行．2答案：A 解析：A 是公理4的内容．如图正方体中，AB ，A 1B 1都与CC 1异面，但AB 与A 1B 1不异面，B 错，AB ，A 1B 1都与BB 1相交，但AB 与A 1B 1不相交，C 错；AB ，BC 都与DD 1成90°角，但AB 与BC 不平行，D 错．3答案：C 解析：如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与直线B 1C 1是异面直线，与B 1C 1平行的直线有A 1D 1，AD ，BC ，显然直线AA 1与A 1D 1相交，与BC 异面．4答案：D 解析：如图，取BC 的中点H ，据题意有MH ＝12AC ，MH ∥AC ，HN ＝12BD ，HN ∥BD .在△MNH 中，由两边之和大于第三边知，MN ＜MH ＋HN ＝12(AC ＋BD )．5答案：D 解析：如图，作FG ∥CD 交BC 于G ，连接EG ，则EG ∥AB ，故∠EFG (或其补角)为EF 和CD 所成的角．∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG . 又∵AB ＝2，CD ＝4， ∴EG ＝1，FG ＝2. ∴sin ∠EFG ＝12.∴∠EFG ＝30°. 6答案：4 解析：与EF 平行的棱为B 1C 1，BC ，AD ，A 1D 1. 7答案：(1)D 1B 1C 1 (2)A 1D 1B 1 8答案：3解析：∵B 1B ∥A 1A ，∴∠BB 1D (或其补角)就是异面直线AA 1与B 1D 所成的角，连接BD . 在Rt △B 1BD 中，设棱长为1，则B 1D. cos ∠BB 1D＝11BB B D3.∴AA 1与B 1D所成的角的余弦值为3. 9答案：证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM ＝A 1B 1，EM ∥A 1B 1.∵A 1B 1＝C 1D 1，且A 1B 1∥C 1D 1，∴EM ＝C 1D 1，且EM ∥C 1D 1. ∴四边形EMC 1D 1为平行四边形．∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MB ＝C 1F ，且MB ∥C 1F . ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF .(2)由(1)知，ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10答案：解：(1)如图，连接PM 并延长交BA 于E ，连接PN 并延长交CB 于F ，连接EF .∵M ，N 分别是△ABP 和△BPC 的重心，故E ，F 分别是AB ，BC 的中点， ∴EF ＝12AC ，且EF ∥AC . 又23PM PN PE PF ==， ∴MN ＝23EF ，且MN ∥EF . ∴MN ＝2113323AC AC ⨯==. (2)由(1)知MN 的长与B ，P 的位置无关，恒是定值．但若P ，B 位置发生变化，M ，N的位置也会改变．。
空间图形的基本关系与公理课件
第七章
立体几何
栏目导引
【变式训练】 3.下列四个命题：
①若直线a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线； ②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ③若a∥b，则a、b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的个数是( A．4 C．2 ) B．3 D．1
A．1条
C．3条
B．2条
D．4条
解析：
连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过
点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD， AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条． 答案： D
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．(2009·湖南卷)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也 与CC1共面的棱的条数为( A．3 C．5 ) B．4 D．6
∴EF∥CD1.
故E、F、D1、C四点共面．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P在平面A1ADD1与平面ABCD的交线DA上，
【阅后报告】
该题难度较小，第(1)问的关键在于“找到角”，
而第(2)问关键在于证明BM⊥平面A1B1M，这些方法是解决立体问题常用
思路．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．(2010·江西卷)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l 与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )
高考理科第一轮课件(7.2空间图形的基本关系与公理)
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)如果两个不重合的平面α ,β 有一条公共直线a,就说平面 α ,β 相交,个公共点A,就说α ,β 相交于过A点的任
意一条直线.( )
(3)两个平面α ,β 有一个公共点A,就说α ,β 相交于A点,并记 作α ∩β =A.( ) ) )
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线
上,从而得三点共线.
2.证明三线共点的思路
先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化
归到证明点在直线上的问题.通常是先证两条直线的交点在两 个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线.
【变式备选】如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E是AB的中点,F
②C,D,F,E四点共面.理由如下:
由BE∥AF且BE=
1 AF,G是FA的中点知, 2
BE∥GF且BE=GF, 所以四边形EFGB是平行四边形, 所以EF∥BG. 由①知BG∥CH,所以EF∥CH, 故EC,FH共面. 又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.
【互动探究】本例第(2)题的条件不变,如何证明“FE,AB,DC交 于一点”? 【证明】由例题可知,四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边 形,故可得四边形ECHF为平行四边形, ∴EC∥HF,且EC= 1 DF,∴四边形ECDF为梯形,
【解析】选B.若平面α与平面β相交,则它们有无数个公共点, 结合公理可知②③④均正确.
2.若三条不同的直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c( (A)一定是异面直线 (C)不可能是平行直线 (B)一定是相交直线 (D)不可能是相交直线
)
2018-2019学年高中数学学业水平测试复习 专题三 立体几何初步 第12讲 空间图形的基本关系与
则有 BD＝ 5a，DE＝ 2a，BE＝ 7a，所以 BD2＋ DE2＝BE2，
所以∠EDB＝π2，根据异面直线所成角的定义，可知 CA1 与 BD 所成角的大小是π2，故选 C.
答案：C
6．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体， 有以下判断：
①EC⊥平面AFN；②CN∥平面AFB； ③BM∥DE；④平面BDE∥平面NCF，其中正确判断的 序号是( )
(2)如图，可补成一个正方体，
所以 AC1∥BD1. 所以 BA1 与 AC1 所成角为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形，
所以∠A1BD1＝60°.即 BA1 与 AC1 所成角的大小为 60°. 答案：(1)B (2)C
剖析：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法， 平移法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利 用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
即∠EGF为所求的角，又EF＝ 2 ，由勾股定理逆 定理可得∠EGF＝90°.
答案：90°
9．直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB ＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于____．
解析：如图，延长CA到D，使得AD＝AC，连接 A1D，BD，则四形边形ADA1C1为平行四边形，所以∠ DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又三角形A1DB 为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.
故 FN⊥EC；
同理 AF⊥EC，
所以 EC⊥平面 AFN，故①正确；由 CN∥BE，则 CN∥平面 AFB，故②正确；
由 图 可知 BM∥DE 显 然 错误 ， 故 ③ 不正 确 ；由 BD∥NF 得 BD∥平面 NCF，DE∥CF 得 DE∥平面 NCF， 由面面平行判定定理可知平面 BDE∥平面 NCF，故ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正 确，故选 C.
空间图形基本关系的认识及公理123
【微思考】 (1)四边形一定能确定一个平面吗？ 提示：不一定，如空间四边形不能确定平面. (2)两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？ 提示：不一定，当三点在同一直线上时，不能判定两个平面重 合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个 平面可知两平面重合.
【即时练】 (2014·南昌高一检测)下列说法： ①空间不同的三点可以确定一个平面； ②如果线段AB在平面α内，那么直线AB一定在平面α内； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中错误的说法是________(填序号).
A.AB∩α=C
B.AB α
C.C∈α
D.C∉α
(2)已知如图，直线a∥b，直线l∩a=A，直线l∩b=B，求证：直
线a，b，l共面.
【解题探究】1.题(1)中A∈平面α，B∈平面α，说明什么 问题？ 2.题(2)中，由a∥b可得到什么结论？怎样才能说明a，b，l 共面？ 【探究提示】1.A∈平面α，B∈平面α，说明AB 平面α.
2.对公理1的两点说明 (1)“不在同一条直线上的三点”的含义 ①经过一点，两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面； ②任意给定不在同一条直线上的四个点，不一定有一个平面同 时过这四个点. (2)“有且只有一个”的含义 这里“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，公理 1强调的是存在和唯一两个方面.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确Байду номын сангаас一个平面.( ) (2)经过一条直线和一个点确定一个平面.( ) (3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共 点.( )
【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点，可能确定三 个平面，故错误. (2)错误.若点在直线上，则无法确定一个平面. (3)错误.平面α与平面β相交有无数个公共点. 答案：(1)× (2)× (3)×
空间图形的基本关系与公理sk
A
α
问题讨论
(3)空间直线与平面的位置关系：
直线a上的所有点都在平面α上，称直线a在平
面α内，或称平面α通过直线a.记为： a
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a 与平面α相交. 记为：a∩α＝A
直线a与平面α没有公共点时，称直线a与平面
α平行. 记为： a∥α.
a
a
a
A
α
α
α
问题讨论
(4)空间平面与平面的位置关系：
空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D
所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。
41
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
42
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托，如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.
43
知识探究：等角定理
思考1:在平面上，如果一个角的两边与 另一个角的两边分别平行，那么这两个 角的大小有什么关系？
44
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′
的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何 ?
C'
D' C
B'
C'
A'
D'
B
C
B' A'
B
等D 角或补角定理A ：在空D间中如果两个A角的两
边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
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P
l
l且P l.
（1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共 一、判定两个平面相交的依据 点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线； （2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这 两个平面的公共交线，则这点在交线上. 二、判定点在线上的依据 10
25
4
知识探究（二）：平面的基本性质2
观察下图，你能得到什么结论？
A
C
B
5
知识探究（二）：平面的基本性质2 文字语言
公理2 经过不在同一直线上的 三点，有且只有一个平面.
B A C 不在同一条直线上的三点A、B、 C⇒有且只有一个平面α，使 A∈ 面α ，B∈ 面α ，C ∈ 面α
一、确定平面的依据 二、判断点线共面得依据.
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
8
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面
P
墙面
P
a
9
知识探究：平面的基本性质3 文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
图形语言
P 且P
23
当堂练习4
下列结论正确的是（ D ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别 平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
24
当堂练习5
如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中， 已知E，F分别是AB , BC 的中点， 求证：EF∥A1C1.
证明 ∵AB∩α＝P，
点评∴P∈AB，P∈平面 α. 证明多点共线的方法：利用公理 3，只需说 明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面 ∴由公理 3 可知： P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上， 点 的交线上．
同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P、Q、R 三点共线．
点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面， 再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．
12
知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题 例 2 已知△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P， AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示． 求证：P、Q、R 三点共线．
分析 解答本题可先证明 P，Q，R 三点在面 ABC 内，又在面 α 内，再利用公理 3 从而证得三点共线．
6
图形语言 符号语言
公理作用
思考交流 （1）经过一条直线和这条直线外一点，可以确定 一个平面吗？ B α LA C （2）经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？ A B α Aa α a C C B b b (3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
7
公理2 的三个推论
推论1 经过一条直线和直线外一点唯一确 定一个平面. 推论2 经过两条相交直线唯一确定一个平面.
观察下图
等角或补角定理：在空间中如果两个角的两 边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
17
知识探究: 等角定理及异面直线所成的角
问题2：平面内两条直线的夹角是如何定义 的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?
18
思考：
⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置
有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便?
§4
空间图形的基本关系与公理 4.2空间图形的公理
1
学习目标
掌握公理1、2、3、4及定理 ；并能运用 它们解决问题----证明点共线、线共点以 及线共面问题． 加强由实际模型到图形，再由图形返回 模型的基本训练，逐步培养由图形想象 出空间位置关系的能力．
2
知识探究：平面的基本性质1 观察下图，你能得到什么结论？
D、相交成60°
C
C A D B
A
Байду номын сангаас
B(D)
21
当堂练习1：根据下列条件作图：
(1) A∈，a≠ ，A∈a； (2) a≠ ，b≠ ，c≠ ，且a∩b＝A，
b∩c＝B，c∩a=C.
22
当堂练习2：判断下列命题的真假，真的打“√”， 假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （2）两条直线可以确定一个平面 （3）两条相交直线可以确定一个平面 （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （5）三条平行直线可以确定三个平面 （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （7）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 当堂练习3：列图形中不一定是平面图形的（ ） A、三角形 C、梯形 B、菱形 D、四边相等的四边形
⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?
⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?
⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?
它体现了什么样的数学思想?
19
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA的中点. 求证: 四边形EFGH是平行四边形.
证明：如图，连结BD。 因为FG是ΔCBD的中位线， 1 所以 FG//BD，FG BD. E A H
知识探究：平面的基本性质4
问题：在平面内的三条直线，a//b,b//c ⇒a//c,在空间此 结论是否成立？举例说明
文字语言 平行. 平行公理 图形语言
公理4平行于同一条直线的两条直线
a
b
c
符号语言 a // b, b // c a // c 公理作用
既是证明“等角定理”的基础，是以后证明平 行关系的主要依据之一
11
注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间．
知识探究: 公理定理的简单应用
知识点一 点、线共面 例 1 已知直线 a∥b， 直线 l 与 a、 都相交， b 求证： 过 a、b、l 有且只有一个平面．
分析 由题目可获取以下主要信息： ①两线平行； ②第三条线与它们都相交． 解答本题可先思考让其中部分元素定面．再证其 余元素也在面内．
2
又因为EH是ΔABD的中位线
1 B 所以EH // BD，EH BD。 2
根据公理4，FG//EH，且FG=EH 。 所以，四边形EFGH是平行四边形。
D
F G
C
20
理论迁移
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方 体中的位置关系是（ ）
A、平行 B、相交且垂直 C、异面直线
桌面
A
B
3
知识探究：平面的基本性质1 文字语言 公理1: 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都 在这个平面内(即直线在平面内).
图形语言 符号语言
A
B
l
公理作用
一是判定直线在平面内的依据，即要判定直线在平 一、判定线在面内 面内，只需确定直线上两个点在平面内即可；也是 判定点在平面内的方法，即如果直线在平面内、点 或点在面内的依据 在直线上，则点在平面内. 二、检验平面 二是检验平面的方法
14
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
15
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托，如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.
16
知识探究: 等角定理及异面直线所成的角 问题1：在平面内，如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或者互补.在空间 中成立吗？举例说明
13
又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC.
空间四边形的有关概念： （1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。