苏汝铿量子力学讲义 第二章 波函数和Schroinger方程
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思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
§2.5 一维谐振子
思考题: • 对称性 动量表象
§2.5 一维谐振子
思考题: • n维谐振子体系等间距能级 n个粒子 元激发(elementary exitation) 集合产生湮 灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并
经典力学
• • • • • 牛顿方程特点: 线性方程 二阶全微分方程,只有一个独立变量t 唯一性 方程系数不含状态参数,有普适性
§2.3 薛定谔方程
量子力学
• • • • • 要求: 线性方程(态叠加原理的直接要求) 系数也不含状态参数 t与x,y,z均为变量=>只能是偏微分方程 解的唯一性=>两阶正规方程
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• 勒让德多项式的性质
别名
§2.8 三维薛定谔方ห้องสมุดไป่ตู้(辏力场情况)
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态波函数可取为实数
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象(图见后)
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
能量本征函数性质,以x趋近正无穷大为例
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
能量本征谱性质
• •
振荡解,连续谱,二度简并,散射态 指数衰减解 振荡解 本征谱连续,无简并,非束缚态解
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
•
简并
两端均指数衰减,束缚态解,分立谱,无
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
§2.5 一维谐振子
• • • • • • Motivation: 物理上: 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 辐射场简谐波的叠加 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
§2.7 势垒贯穿
经典图象:眼前无路好回头 量子图象:眼前无路穿着走 势阱有无穿透? 什么条件下全透射无反射? 势垒高度和宽度的影响?
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
在非相对论情况下,粒子不可能穿透无限高位垒
§2.1 波函数的统计解释
波粒二象性的矛盾和解释 1. 波和粒子的关系 波由粒子组成,波是大量粒子运动的表现 与减少入射粒子流密度,让粒子近似地一 个个从粒子源射出后仍有波动性的实验不符 粒子由波组成,粒子=波包
§2.1 波函数的统计解释
反例:i)自由粒子平 面波,占据整个空间 ii)色散
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
普遍性质 • Landau fall
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
Landau fall • s<2: r趋于零,斥力为主;r趋于无穷,吸引力为主 束缚态 • s>2: r趋于零,吸引力为主;r趋于无穷,斥力为主 Landau fall • s=2: 决定于c和\alpha的数值 \alpha_critical=\bar{h}^2/8m
2
4
! 1! 2 2
2n 1
n 0,1,2,
H n 2 nn 12
n
n2
nn 1n 2 n 3 2 n4 2!
1
n 2
n n! n2 2 2 n 2 !
n 2
{
n 1 / 2
n/2
(n为偶数)
n为奇数
1 En n 2
n 0,1,2,
En 1 En
1 2
E0
n x N n e
1 2 x2 2
H n x
N n 1/ 2 n 2 n!
母系
兄弟姊妹
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.3 薛定谔方程
量子力学
• • 进入方程式,体现微观世界的特点(量子化) ->0,过渡到牛顿方程
§2.3 薛定谔方程
建立方程的启示
自由粒子
已知解=>方程式(不唯一)
§2.3 薛定谔方程
已知解=>方程式(不唯一)
§2.3 薛定谔方程
一般情况:
§2.3 薛定谔方程
说明: a)波动力学的基本假定,表征量子体系特征的量h 进入了方程式,薛定谔方程在量子力学中的地位与 牛顿方程在经典力学中的地位相当 b)算符形式
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 http://www.imr.salford.ac.uk/groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
§2.4 一维方势阱
一维无限深势阱
§2.4 一维方势阱
一维无限深势阱
§2.4 一维方势阱
一维无限深势阱
§2.4 一维方势阱
一维无限深势阱
一维方势阱波函数图象
一维方势阱波函数图象
§2.4 一维方势阱
思考题:
•
将势能为零的区间放大或者缩小一倍(分是 足够缓慢的变还是突变两种情况)时,波函数 和能级怎么变?
•
H a
a 1 2 2a 1a 0
2 1 a 1 2
a 2
a 2 2 av
2 e 1 2 2!
波函数的讨论 的平方可积 除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续 不确定性: i) 表示同一个态->归一化 ii)相角不确定性(常数相角) 经典,态确定性 量子:几率性=>可用以计算平均值
§2.1 波函数的统计解释
波函数的讨论 平面波
多粒子体系的推广
§2.1 波函数的统计解释
§2.1 波函数的统计解释
坐标表象和动量表象
§2.2 态叠加原理
波叠加 经典 合成的波中有各种成分 相干性 量子 相干性 新特点
§2.2 态叠加原理
• • •
新特点 可能性和概率 干涉项的概率性 是粒子运动状态概率波自身的干涉,不是不 同粒子之间的干涉
§2.2 态叠加原理
波叠加原理的表述 a)如果 则
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
节点数: 基态无节点,第n个激发态有n个节点 对称性: 若U(x)=U(-x) 则波函数可具有确定的宇称
正交归一性
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
上述结论均可用 的性质证明 • 一维薛定谔方程的所有性质都与其相应的 Wronskian行列式有关
§2.5 一维谐振子
• • Motivation: 数学上: 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学,看物理
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
求解1D Schrodinger Eq with harmonic oscillator 无量纲化 • 优点 • 单位在物理学上并不重要,重要的是一些无 量纲数 • 可使方程的系数变得最简单
§2.3 薛定谔方程
力学量用算符表示 两个惯例 1)只在直角坐标中适用,因为微商不协变 例:二维极坐标下的薛定谔方程
§2.3 薛定谔方程
两个惯例 2)将H分成三部分: i)与坐标无关的动量二次式 ii)只依赖于坐标的函数 iii)
§2.3 薛定谔方程
因为有波函数统计解释,因此概率流守恒定律自动 包含在薛定谔方程中
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
“抓两头,带中间” • 抓两头:看方程在两边边界上的渐进行为 (三维:0点与无穷远点,一维:正负无穷远点) • 带中间:使函数在两头有与渐近行为相同的 形式
§2.5 一维谐振子
使之变成关于H的方程式
§2.5 一维谐振子
•
•
求级数解,找递推关系
看解在无穷远处的渐近行为,”斩断魔爪”,无 限求和截断为有限的多项式,从而得到能谱 及解 求出波函数=>归一化
§2.3 薛定谔方程
§2.3 薛定谔方程
为什么 而与t无关?
§2.3 薛定谔方程
定态U=U(r), 不显含t
§2.3 薛定谔方程
=>
几率流密度变不变?
§2.3 薛定谔方程
本征值方程
§2.3 薛定谔方程
• • • • 边界条件的讨论: U连续,波函数及其一阶导数连续 U不连续,波函数及其一阶导数连续 U趋向无穷大 (一阶)波函数连续,一阶导数不 连续 U趋向无穷大(二阶及以上)波函数不连续,一 阶导数亦不连续
动量几率分布函数 =>Fourier变换频谱 展开
§2.1 波函数的统计解释
可描写体系状态,
也可描写体系状态 是同一个态,不同自变量
§2.1 波函数的统计解释
代表在 出现单色平面波 态中,
的几率
§2.1 波函数的统计解释
处在
相当于晶体衍射 如若 则
的粒子,动量无确定值
b)在 中,体系出现 是可能态
也是一个可能态
的几率是
§2.2 态叠加原理
讨论 a)
b)光子偏整态:Malus定律
§2.2 态叠加原理
讨论 但任何时候观测到的都是一整个光子, 而不是 个光子
=>概率相干
§2.2 态叠加原理
讨论 c)线性叠加 d)叠加次序并不重要
§2.3 薛定谔方程
结论:无论Ua^2取何值,都有解(见下一页图)
一维方势阱偶宇称能谱图
§2.4 一维方势阱
b)奇宇称 波函数为sin(kx)
结论:当
时才有解(见下一页图)
一维方势阱奇宇称能谱图
§2.4 一维方势阱
c)当势场趋于无穷时,回到一维无限深势阱的特例
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(2)
§2.7 势垒贯穿
如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
共振透射的条件和共振能量
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• • •
• •
辏力 普遍性质 若U(r)处处有界=>波函数处处有界 若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场 的极小值 能量算符的本征值比大于势场的极小值 若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零 的能谱必定是分立谱,对应束缚态
1/ 2
§2.5 一维谐振子
厄米多项式的讨论
• • • 别名 母系(母函数) 仇家(正交性)
§2.5 一维谐振子
厄米多项式的讨论
• • • 兄弟姊妹(递推关系) 对称性 节点
§2.5 一维谐振子
最低阶的几个厄米多项式及谐振子波函数
§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
§2.5 一维谐振子
群速度:
相速度: 必有色散->粒子解体
§2.1 波函数的统计解释
粒子性 颗粒性(V) 轨道(X) 波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
§2.1 波函数的统计解释
波函数的统计解释
时间为t时刻,粒子出在 位置r的几率
§2.1 波函数的统计解释
将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
•
§2.4 一维方势阱
一维方势阱
§2.4 一维方势阱
一维方势阱
§2.4 一维方势阱
一维方势阱
§2.4 一维方势阱
a)偶宇称 波函数为 cos(kx)
关键:用 在 连续以代替波函数
以及导数的连续.好处在于去掉波函数中常数的影响
§2.4 一维方势阱
§2.5 一维谐振子
思考题: • 对称性 动量表象
§2.5 一维谐振子
思考题: • n维谐振子体系等间距能级 n个粒子 元激发(elementary exitation) 集合产生湮 灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并
经典力学
• • • • • 牛顿方程特点: 线性方程 二阶全微分方程,只有一个独立变量t 唯一性 方程系数不含状态参数,有普适性
§2.3 薛定谔方程
量子力学
• • • • • 要求: 线性方程(态叠加原理的直接要求) 系数也不含状态参数 t与x,y,z均为变量=>只能是偏微分方程 解的唯一性=>两阶正规方程
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• 勒让德多项式的性质
别名
§2.8 三维薛定谔方ห้องสมุดไป่ตู้(辏力场情况)
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态波函数可取为实数
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象(图见后)
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
能量本征函数性质,以x趋近正无穷大为例
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
能量本征谱性质
• •
振荡解,连续谱,二度简并,散射态 指数衰减解 振荡解 本征谱连续,无简并,非束缚态解
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
•
简并
两端均指数衰减,束缚态解,分立谱,无
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
§2.5 一维谐振子
• • • • • • Motivation: 物理上: 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 辐射场简谐波的叠加 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
§2.7 势垒贯穿
经典图象:眼前无路好回头 量子图象:眼前无路穿着走 势阱有无穿透? 什么条件下全透射无反射? 势垒高度和宽度的影响?
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
在非相对论情况下,粒子不可能穿透无限高位垒
§2.1 波函数的统计解释
波粒二象性的矛盾和解释 1. 波和粒子的关系 波由粒子组成,波是大量粒子运动的表现 与减少入射粒子流密度,让粒子近似地一 个个从粒子源射出后仍有波动性的实验不符 粒子由波组成,粒子=波包
§2.1 波函数的统计解释
反例:i)自由粒子平 面波,占据整个空间 ii)色散
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
普遍性质 • Landau fall
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
Landau fall • s<2: r趋于零,斥力为主;r趋于无穷,吸引力为主 束缚态 • s>2: r趋于零,吸引力为主;r趋于无穷,斥力为主 Landau fall • s=2: 决定于c和\alpha的数值 \alpha_critical=\bar{h}^2/8m
2
4
! 1! 2 2
2n 1
n 0,1,2,
H n 2 nn 12
n
n2
nn 1n 2 n 3 2 n4 2!
1
n 2
n n! n2 2 2 n 2 !
n 2
{
n 1 / 2
n/2
(n为偶数)
n为奇数
1 En n 2
n 0,1,2,
En 1 En
1 2
E0
n x N n e
1 2 x2 2
H n x
N n 1/ 2 n 2 n!
母系
兄弟姊妹
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.3 薛定谔方程
量子力学
• • 进入方程式,体现微观世界的特点(量子化) ->0,过渡到牛顿方程
§2.3 薛定谔方程
建立方程的启示
自由粒子
已知解=>方程式(不唯一)
§2.3 薛定谔方程
已知解=>方程式(不唯一)
§2.3 薛定谔方程
一般情况:
§2.3 薛定谔方程
说明: a)波动力学的基本假定,表征量子体系特征的量h 进入了方程式,薛定谔方程在量子力学中的地位与 牛顿方程在经典力学中的地位相当 b)算符形式
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 http://www.imr.salford.ac.uk/groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
§2.4 一维方势阱
一维无限深势阱
§2.4 一维方势阱
一维无限深势阱
§2.4 一维方势阱
一维无限深势阱
§2.4 一维方势阱
一维无限深势阱
一维方势阱波函数图象
一维方势阱波函数图象
§2.4 一维方势阱
思考题:
•
将势能为零的区间放大或者缩小一倍(分是 足够缓慢的变还是突变两种情况)时,波函数 和能级怎么变?
•
H a
a 1 2 2a 1a 0
2 1 a 1 2
a 2
a 2 2 av
2 e 1 2 2!
波函数的讨论 的平方可积 除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续 不确定性: i) 表示同一个态->归一化 ii)相角不确定性(常数相角) 经典,态确定性 量子:几率性=>可用以计算平均值
§2.1 波函数的统计解释
波函数的讨论 平面波
多粒子体系的推广
§2.1 波函数的统计解释
§2.1 波函数的统计解释
坐标表象和动量表象
§2.2 态叠加原理
波叠加 经典 合成的波中有各种成分 相干性 量子 相干性 新特点
§2.2 态叠加原理
• • •
新特点 可能性和概率 干涉项的概率性 是粒子运动状态概率波自身的干涉,不是不 同粒子之间的干涉
§2.2 态叠加原理
波叠加原理的表述 a)如果 则
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
节点数: 基态无节点,第n个激发态有n个节点 对称性: 若U(x)=U(-x) 则波函数可具有确定的宇称
正交归一性
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
上述结论均可用 的性质证明 • 一维薛定谔方程的所有性质都与其相应的 Wronskian行列式有关
§2.5 一维谐振子
• • Motivation: 数学上: 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学,看物理
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
求解1D Schrodinger Eq with harmonic oscillator 无量纲化 • 优点 • 单位在物理学上并不重要,重要的是一些无 量纲数 • 可使方程的系数变得最简单
§2.3 薛定谔方程
力学量用算符表示 两个惯例 1)只在直角坐标中适用,因为微商不协变 例:二维极坐标下的薛定谔方程
§2.3 薛定谔方程
两个惯例 2)将H分成三部分: i)与坐标无关的动量二次式 ii)只依赖于坐标的函数 iii)
§2.3 薛定谔方程
因为有波函数统计解释,因此概率流守恒定律自动 包含在薛定谔方程中
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
“抓两头,带中间” • 抓两头:看方程在两边边界上的渐进行为 (三维:0点与无穷远点,一维:正负无穷远点) • 带中间:使函数在两头有与渐近行为相同的 形式
§2.5 一维谐振子
使之变成关于H的方程式
§2.5 一维谐振子
•
•
求级数解,找递推关系
看解在无穷远处的渐近行为,”斩断魔爪”,无 限求和截断为有限的多项式,从而得到能谱 及解 求出波函数=>归一化
§2.3 薛定谔方程
§2.3 薛定谔方程
为什么 而与t无关?
§2.3 薛定谔方程
定态U=U(r), 不显含t
§2.3 薛定谔方程
=>
几率流密度变不变?
§2.3 薛定谔方程
本征值方程
§2.3 薛定谔方程
• • • • 边界条件的讨论: U连续,波函数及其一阶导数连续 U不连续,波函数及其一阶导数连续 U趋向无穷大 (一阶)波函数连续,一阶导数不 连续 U趋向无穷大(二阶及以上)波函数不连续,一 阶导数亦不连续
动量几率分布函数 =>Fourier变换频谱 展开
§2.1 波函数的统计解释
可描写体系状态,
也可描写体系状态 是同一个态,不同自变量
§2.1 波函数的统计解释
代表在 出现单色平面波 态中,
的几率
§2.1 波函数的统计解释
处在
相当于晶体衍射 如若 则
的粒子,动量无确定值
b)在 中,体系出现 是可能态
也是一个可能态
的几率是
§2.2 态叠加原理
讨论 a)
b)光子偏整态:Malus定律
§2.2 态叠加原理
讨论 但任何时候观测到的都是一整个光子, 而不是 个光子
=>概率相干
§2.2 态叠加原理
讨论 c)线性叠加 d)叠加次序并不重要
§2.3 薛定谔方程
结论:无论Ua^2取何值,都有解(见下一页图)
一维方势阱偶宇称能谱图
§2.4 一维方势阱
b)奇宇称 波函数为sin(kx)
结论:当
时才有解(见下一页图)
一维方势阱奇宇称能谱图
§2.4 一维方势阱
c)当势场趋于无穷时,回到一维无限深势阱的特例
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(2)
§2.7 势垒贯穿
如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
共振透射的条件和共振能量
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• • •
• •
辏力 普遍性质 若U(r)处处有界=>波函数处处有界 若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场 的极小值 能量算符的本征值比大于势场的极小值 若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零 的能谱必定是分立谱,对应束缚态
1/ 2
§2.5 一维谐振子
厄米多项式的讨论
• • • 别名 母系(母函数) 仇家(正交性)
§2.5 一维谐振子
厄米多项式的讨论
• • • 兄弟姊妹(递推关系) 对称性 节点
§2.5 一维谐振子
最低阶的几个厄米多项式及谐振子波函数
§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
§2.5 一维谐振子
群速度:
相速度: 必有色散->粒子解体
§2.1 波函数的统计解释
粒子性 颗粒性(V) 轨道(X) 波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
§2.1 波函数的统计解释
波函数的统计解释
时间为t时刻,粒子出在 位置r的几率
§2.1 波函数的统计解释
将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
•
§2.4 一维方势阱
一维方势阱
§2.4 一维方势阱
一维方势阱
§2.4 一维方势阱
一维方势阱
§2.4 一维方势阱
a)偶宇称 波函数为 cos(kx)
关键:用 在 连续以代替波函数
以及导数的连续.好处在于去掉波函数中常数的影响
§2.4 一维方势阱