直角三角形全等判定 公开课
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有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B
∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′ 中 A AB=A ′ B ′
{
C B′
BC=B ′ C ′
A′ C′
B C (HL) ∴Rt△ABC≌ Rt △ A ′ ′′
判断： 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么 满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么? 为什么
变式1：若把∠ 改为BC＝ 变式 ：若把∠BAC＝∠EDF,改为 ＝EF ， ＝ 改为 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝ EDF,改为 改为AC=DF， 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。 B
N B
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm; Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B; Step4:连结AB; △ABC即为所要画的三角形 ABC
N B
Biblioteka Baidu
M
A
C
动动手 做一做 比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 这些直角三角形有怎样的关系呢？ 这些直角三角形有怎样的关系呢？
B
5cm 5cm
B′
A
4cm
C
A′
4cm
C′
BC Rt△ABC≌ Rt △ A ′ ′′
斜边、 斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
简写成“斜边、直角边” 简写成“斜边、直角边” “HL” 或
斜边、 斜边、直角边公理 (HL)
根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角 可测量对应一边和一锐角 根据 根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角。 可测量其余两边与这两边的夹角。 根据 可测量其余两边与这两边的夹角
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗 ）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直 角边和斜边,发现它们分别对应相等 于是， 发现它们分别对应相等。 角边和斜边 发现它们分别对应相等。于是，他 就肯定“两个直角三角形是全等的” 就肯定“两个直角三角形是全等的”。
斜边和一条直角边对应相等→ 斜边和一条直角边对应相等→ 两个直角三角形全等
你相信这个结论吗？ 你相信这个结论吗？ 让我们来验证这个结论。 让我们来验证这个结论。 结论
动动手 做一做
用三角板和圆规，画一个 △ 使得∠ 用三角板和圆规，画一个Rt△ABC,使得∠C=90°, 使得 ° 一直角边CA=4cm,斜边 斜边AB=5cm. 一直角边 斜边
忆一忆
相等 1、全等三角形的对应边 ---------,，对 ---------, 相等 应角----------2、判定三角形全等的方法有： 判定三角形全等的方法有：
SAS、ASA、AAS、SSS 、 、 、
认识直角三角形 Rt△ Rt△ABC
A
直 角 边 斜边 直角边
C
B
直角三角形全等的判定
舞台背景的形状是两个直角三角形， 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人 员想知道两个直角三角形是否全等， 员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三 角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量。 角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量。 (1) 你能帮他想个办法吗？ 你能帮他想个办法吗？
B
5cm
A
4cm
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
N
M
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
N
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm; Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B;
判断： 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么 满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么? 为什么
3.两直角边对应相等的两个直角三角形. 3.两直角边对应相等的两个直角三角形. 两直角边对应相等的两个直角三角形 全等 ( SAS)
判断： 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么 满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么? 为什么
B A
E D C
学以致用
如图，有两个长度相同的滑梯， 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑 梯的高度AC与右边滑梯水 与右边滑梯水平 梯的高度 与右边滑梯水平方向的长 相等， 度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和 相等 两个滑梯的倾斜角∠ABC和 DFE大小有什么关系？ 大小有什么关系 ∠DFE大小有什么关系？
P D
C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知：如图， 分别是高, 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高 和 中 、 分别是高 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 并且 ∠ ∠ 求证： 求证：△ABC≌△DEF ≌ A
变式1：若把∠ 改为BC＝ 变式 ：若把∠BAC＝∠EDF,改为 ＝EF ， ＝ 改为 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝ EDF,改为 改为AC=DF， 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。 B 变式3：请你把例题中的∠ 变式 ：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改 ＝ 改 为另一个适当条件， 为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能 与 仍能 全等。试证明。 全等。试证明。
证明：∵AD是高 证明： 是高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴∠ ∠ ° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 △ 和 △ 中 AB=AC AD=AD ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL） △ ≌ △ （ ） ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD ∠ ∠
A
{
等腰三角形三线合一
B
D
C
例2
已知：如图 在 已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD, 和 中 ⊥ ⊥ 垂足分别为C,D,AD=BC,求证： △ABC≌△BAD. 求证： 垂足分别为 求证 ≌
A
{
∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL) △ ≌ △ ∴ ∠B=∠E ∠ 在△ABC和△DEF中 和 中 ∠BAC=∠EDF ∠ AB=DE ∠B=∠E ∠
B
P D
C
{
E
∴△ABC≌△DEF (ASA) ≌
Q
F
思维拓展
已知：如图， 分别是高, 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高 和 中 、 分别是高 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 并且 ∠ ∠ 求证： 求证：△ABC≌△DEF ≌ A
分析： 分析： △ABC≌△DEF ≌ ∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E ∠ ∠ ∠
B
Rt△ABP≌Rt△DEQ △ ≌ △ AB=DE,AP=DQ
E
P D
C
Q
F
证明： 证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高 、 是 和 的高 ∴∠APB=∠DQE=90° ∴∠ ∠ ° 在Rt△ABP和Rt△DEQ中 △ 和 △ 中 AB=DE AP=DQ
证明： 证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD ⊥ ⊥ ∴∠C=∠ ∴∠ ∠D=90° ° 在Rt△ABC和Rt△BAD中 △ 和 △ 中
D
C
A B = B A B C = A D
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) △ ≌ △ A B
例3
已知：如图， 分别是高, 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高 和 中 、 分别是高 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 并且 ∠ ∠ 求证： 求证：△ABC≌△DEF ≌ A
小结
P D
C
E
Q
F
小结
一般三角 形全等的 判定
“SAS” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ”
直角三角 形全等的 判定
“ SAS ” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ” “ HL ”
应用
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
学以致用
已知:如图,D是 ABC的BC边上的中 已知:如图,D是△ABC的BC边上的中 ,D ,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F, AB,垂足分别为 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F, 且DE=DF. F 求证: ABC是等腰三角形 是等腰三角形. 求证: △ABC是等腰三角形.
先把它转化为一个纯数学问题: 先把它转化为一个纯数学问题: 已知:如图,AC=DF,AC⊥AB,DE⊥DF. 已知:如图,AC=DF,AC⊥AB,DE⊥DF. 求证:∠ABC=∠DFE. 求证:∠ABC=∠DFE.
变式1：若把∠ 改为BC＝ 变式 ：若把∠BAC＝∠EDF,改为 ＝EF ， ＝ 改为 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。
B
P D
C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知：如图， 分别是高, 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高 和 中 、 分别是高 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 并且 ∠ ∠ 求证： 求证：△ABC≌△DEF ≌ A
1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形. 1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形. 一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形 全等 (AAS)
判断： 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么 满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么? 为什么
2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形. 2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形. 一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形 全等 ( ASA)
4.有两边对应相等的两个直角三角形. 4.有两边对应相等的两个直角三角形. 有两边对应相等的两个直角三角形 全等
情况1： 情况 ：全等 (SAS)
情况2： 情况 ：全等 ( HL)
例1
已知：如图， 已知：如图， △ABC中，AB=AC，AD是高 中 ， 是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD 求证 ∠ ∠
B
∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′ 中 A AB=A ′ B ′
{
C B′
BC=B ′ C ′
A′ C′
B C (HL) ∴Rt△ABC≌ Rt △ A ′ ′′
判断： 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么 满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么? 为什么
变式1：若把∠ 改为BC＝ 变式 ：若把∠BAC＝∠EDF,改为 ＝EF ， ＝ 改为 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝ EDF,改为 改为AC=DF， 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。 B
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M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm; Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B; Step4:连结AB; △ABC即为所要画的三角形 ABC
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动动手 做一做 比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 这些直角三角形有怎样的关系呢？ 这些直角三角形有怎样的关系呢？
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5cm 5cm
B′
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4cm
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A′
4cm
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BC Rt△ABC≌ Rt △ A ′ ′′
斜边、 斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
简写成“斜边、直角边” 简写成“斜边、直角边” “HL” 或
斜边、 斜边、直角边公理 (HL)
根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角 可测量对应一边和一锐角 根据 根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角。 可测量其余两边与这两边的夹角。 根据 可测量其余两边与这两边的夹角
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗 ）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直 角边和斜边,发现它们分别对应相等 于是， 发现它们分别对应相等。 角边和斜边 发现它们分别对应相等。于是，他 就肯定“两个直角三角形是全等的” 就肯定“两个直角三角形是全等的”。
斜边和一条直角边对应相等→ 斜边和一条直角边对应相等→ 两个直角三角形全等
你相信这个结论吗？ 你相信这个结论吗？ 让我们来验证这个结论。 让我们来验证这个结论。 结论
动动手 做一做
用三角板和圆规，画一个 △ 使得∠ 用三角板和圆规，画一个Rt△ABC,使得∠C=90°, 使得 ° 一直角边CA=4cm,斜边 斜边AB=5cm. 一直角边 斜边
忆一忆
相等 1、全等三角形的对应边 ---------,，对 ---------, 相等 应角----------2、判定三角形全等的方法有： 判定三角形全等的方法有：
SAS、ASA、AAS、SSS 、 、 、
认识直角三角形 Rt△ Rt△ABC
A
直 角 边 斜边 直角边
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直角三角形全等的判定
舞台背景的形状是两个直角三角形， 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人 员想知道两个直角三角形是否全等， 员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三 角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量。 角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量。 (1) 你能帮他想个办法吗？ 你能帮他想个办法吗？
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5cm
A
4cm
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
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动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
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M A
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动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm; Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B;
判断： 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么 满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么? 为什么
3.两直角边对应相等的两个直角三角形. 3.两直角边对应相等的两个直角三角形. 两直角边对应相等的两个直角三角形 全等 ( SAS)
判断： 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么 满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么? 为什么
B A
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学以致用
如图，有两个长度相同的滑梯， 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑 梯的高度AC与右边滑梯水 与右边滑梯水平 梯的高度 与右边滑梯水平方向的长 相等， 度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和 相等 两个滑梯的倾斜角∠ABC和 DFE大小有什么关系？ 大小有什么关系 ∠DFE大小有什么关系？
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思维拓展
已知：如图， 分别是高, 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高 和 中 、 分别是高 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 并且 ∠ ∠ 求证： 求证：△ABC≌△DEF ≌ A
变式1：若把∠ 改为BC＝ 变式 ：若把∠BAC＝∠EDF,改为 ＝EF ， ＝ 改为 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝ EDF,改为 改为AC=DF， 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。 B 变式3：请你把例题中的∠ 变式 ：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改 ＝ 改 为另一个适当条件， 为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能 与 仍能 全等。试证明。 全等。试证明。
证明：∵AD是高 证明： 是高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴∠ ∠ ° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 △ 和 △ 中 AB=AC AD=AD ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL） △ ≌ △ （ ） ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD ∠ ∠
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等腰三角形三线合一
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例2
已知：如图 在 已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD, 和 中 ⊥ ⊥ 垂足分别为C,D,AD=BC,求证： △ABC≌△BAD. 求证： 垂足分别为 求证 ≌
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∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL) △ ≌ △ ∴ ∠B=∠E ∠ 在△ABC和△DEF中 和 中 ∠BAC=∠EDF ∠ AB=DE ∠B=∠E ∠
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∴△ABC≌△DEF (ASA) ≌
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思维拓展
已知：如图， 分别是高, 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高 和 中 、 分别是高 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 并且 ∠ ∠ 求证： 求证：△ABC≌△DEF ≌ A
分析： 分析： △ABC≌△DEF ≌ ∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E ∠ ∠ ∠
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Rt△ABP≌Rt△DEQ △ ≌ △ AB=DE,AP=DQ
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证明： 证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高 、 是 和 的高 ∴∠APB=∠DQE=90° ∴∠ ∠ ° 在Rt△ABP和Rt△DEQ中 △ 和 △ 中 AB=DE AP=DQ
证明： 证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD ⊥ ⊥ ∴∠C=∠ ∴∠ ∠D=90° ° 在Rt△ABC和Rt△BAD中 △ 和 △ 中
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A B = B A B C = A D
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) △ ≌ △ A B
例3
已知：如图， 分别是高, 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高 和 中 、 分别是高 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 并且 ∠ ∠ 求证： 求证：△ABC≌△DEF ≌ A
小结
P D
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小结
一般三角 形全等的 判定
“SAS” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ”
直角三角 形全等的 判定
“ SAS ” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ” “ HL ”
应用
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
学以致用
已知:如图,D是 ABC的BC边上的中 已知:如图,D是△ABC的BC边上的中 ,D ,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F, AB,垂足分别为 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F, 且DE=DF. F 求证: ABC是等腰三角形 是等腰三角形. 求证: △ABC是等腰三角形.
先把它转化为一个纯数学问题: 先把它转化为一个纯数学问题: 已知:如图,AC=DF,AC⊥AB,DE⊥DF. 已知:如图,AC=DF,AC⊥AB,DE⊥DF. 求证:∠ABC=∠DFE. 求证:∠ABC=∠DFE.
变式1：若把∠ 改为BC＝ 变式 ：若把∠BAC＝∠EDF,改为 ＝EF ， ＝ 改为 全等吗？ △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 与 全等吗 请说明思路。
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思维拓展
已知：如图， 分别是高, 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高 和 中 、 分别是高 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 并且 ∠ ∠ 求证： 求证：△ABC≌△DEF ≌ A
1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形. 1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形. 一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形 全等 (AAS)
判断： 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么 满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么? 为什么
2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形. 2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形. 一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形 全等 ( ASA)
4.有两边对应相等的两个直角三角形. 4.有两边对应相等的两个直角三角形. 有两边对应相等的两个直角三角形 全等
情况1： 情况 ：全等 (SAS)
情况2： 情况 ：全等 ( HL)
例1
已知：如图， 已知：如图， △ABC中，AB=AC，AD是高 中 ， 是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD 求证 ∠ ∠