大学物理第八章电势1

若已知在积分路径上 E 的函数表达式，
则
V 0点
VA
E dl
A
11
例1 正电荷 q 均匀分布在半径为 R 的细圆环上. 求圆环轴线上距环心为 处点 P 的电势.
x
y
dl + + + +
+
dq dl
qdl
+ + +
R o
+
+ + +
r
2π R P
qdl
x
dVP
dr
q
rA
A
q0
结果: W 仅与 q 0 的始末 位置有关，与路径无关.
3
任意电荷的电场（视为点电荷的组合） W q 0 E d l q 0 Ei dl E Ei

i
l
i
l
结论：静电场力做功与路径无关. 二
q0 E dl q0 E dl A1 B A2 B q0 ( E dl E dl ) 0
W AB
令
E pB 0
E pA

AB
q0 E dl
试验电荷 q0 在电场中某点的电势能，在数值上 就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功. 电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的.
5
8.2电势和电势差
AB q0 E dl ( E pB E pA ) E pA q 0 E d l （ E pB 0）
可得 V ( R )
Q
Q
V外 ( r )
Q 4 π 0r Q
Q 4 π 0R
V
Q 4 π 0r
V内 ( r )
4π 0R
o
R
r
17
例4 “无限长”带电直导线的电势 解
VA

AB
E dl VB
令 VB 0
rB rB er d r VP E dr r 2π 0 r r
AB
一
电势
B
q0
E

AB
E pB E pA E dl ( ) (积分大小与 q0无关) q0 q0
A
B 点电势 V E pB B q0
VA
E pA q0
A点电势
VA

AB
E d l V B （ V B为参考电势，值任选） 6
VA
令 VB 0

AB
E dl VB
VA

AB
E dl
V A E dl
A
V 0点
电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势 零点，实际问题中常选择地球电势为零.
VA

A
E dl
物理意义 把单位正试验电荷从点 A移到无穷远 时，静电场力所作的功. 二 电势差
Q 4 π 0r
) 可得 V外 ( r )
Q Q dr 或 V外 ( r ) E 2 dr 2 r 4 π 0r r 4 π 0r
16
（4） r R 由 V外 ( r )
V内 4 π 0r 4π 0R Q R 或 V内 ( r ) E1 dr E 2 dr r R 4π 0R
x
q
z
VP 1
+
+
1
4 π 0r 2 π R
4π 0
2π R r
qdl

q 4 π 0r

4π 0 x R 12
2
2
VP
q 4π 0 x R
2 2
q 4 π 0 R
V
讨论
4π 0R q x R， VP 4π 0 x
x 0， V0
q
o
q
x
4 π 0 ( x 2 R 2 )1 2
A1 B
静电场的环路定理
1
B
2
A
E
E dl 0
l
B2A
静电场是保守场
4
三
电势能 静电场是保守场，静电场力是保守力.静电场力 所做的功就等于电荷电势能增量的负值.
W A B

AB
q 0 E d l ( E pB E pA ) E p
0, E p B E p A 0, E p B E p A
U AB V A V B

AB
E dl
7
电势差
U AB V A V B

AB
E dl
(将单位正电荷从 A 移到 B 电场力作的功.) 注意 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；
电势大小是相对的，与电势零点的选择有关. 静电场力的功
W AB q0V A q0VB q0U BA
13
例2 均匀带电薄圆盘轴线上的电势
dr
o r R
1
dq 2 π rdr
x r
2 2
P
x
R
x
VP ( x 2 R 2 x) 4 π 0 0 x 2 r 2 2 0 2 R V Q 4π 0 x 2 2 x R x R x （点电荷电势）14 2x
8.1静电场的保守性
一 静电场力所做的功 点电荷的电场
qq0 r dl dW q 0 E dl 3 4 π 0r r dl rdl cos rd r
dW qq0
2
B dl dr E rB
r
4 π 0r qq0 rB dr W rA r 2 4π 0 qq0 1 1 ( ) 4 π 0 rA rB
2 π rdr
例3
均匀带电球壳的电势. 真空中，有一带电为 Q ，半径为 R 的带电球壳.
试求（1）球壳外两点间的电势差；（2）球壳内两点 间的电势差；（3）球壳外任意点的电势；（4）球壳 内任意点的电势. + + + 解 r R， E1 0 + R + A dr B q + r R， E 2 er o er+ + 4 π 0r 2 + + + rA rB r r Q （1） V A VB B rA E2 dr rB dr Q Q 1 1 rA r 2 er er 4 π ( r r ) 4π
1
7、8章教学基本要求
一 掌握描述静电场的两个物理量——电场强度 和电势的概念，理解电场强度 E 是矢量点函数，而 电势V 则是标量点函数. 二 理解高斯定理及静电场的环路定理是静电场 的两个重要定理，它们表明静电场是有源场和保守场. 三 掌握用点电荷电场强度和叠加原理以及高斯 定理求解带电系统电场强度的方法；并能用电场强度 与电势梯度的关系求解较简单带电系统的电场强度. 四 掌握用点电荷和叠加原理以及电势的定义式 求解带电系统电势的方法. 五 了解电偶极子概念，能计算电偶极子在均匀 电场中的受力和运动. 2
r
4 π 0r
3
q 0, V 0 q 0, V 0
9
V
二
电势的叠加原理
点电荷系 E Ei

q1
V A E dl Ei dl

A
i
q2
r2
r1
r3
E3 E2
i A
q3
A
E1
V A V Ai
Edl

E

百度文库
dl
均匀场
Δ Ed
19
例6 求均匀带电球体的电势 分布。(半径R，电量q) q r [解] 由
E
o
R
{
r
4 π ε0 R
3
,r R
V
1

q
2
4 π ε0 r
,r R
当r＞R， V 当r＜R， V
1
qr
q
2
r
4 π ε0 r
4 π ε0 R
单位：伏特（ V ） 原子物理中能量单位 1eV 1 .602 10
19
J
8
8.3 电势的叠加原理
一 点电荷的电势
E
q 4 π 0r
3
r 令V 0
dl dr E
V

q
3
r


4 π 0r qrdr
q 4 π 0r
r dl
q
r
i i
qi 4π 0 ri
电荷连续分布
VP
dq 4 π 0r
dq dV d q r dE

q P
10
利用
讨论
求电势
VP
dq 4 π 0r
的方法
（利用了点电荷电势 V q / 4 π 0 r ， 这一结果已选无限远处为电势零点，即使 用此公式的前提条件为有限大带电体且选 无限远处为电势零点.）
dr
q 4 π ε0 r

O R
r
R
dr 3
1
q
R
4 π ε0 r
dr 2
q(3 R 2 r 2 ) 8 π ε0 R 3
20
无限长均匀带电体的电势
r
0
0
A
B
15
rB V A VB E1 dr 0 rA
（3） r R 令 rB , 由 V A VB
（2） r R
+ +
+ + +
R
+
oe
+ +
+ + r+
A dr B
V 0
Q 4 π 0 rA ( 1 1 rB
Q
rA
r
r
rB
rB ln 2π 0 r
能否选 V 0 ？
o B rB
P
r
r
18
例5 平行板电容器两板间的电势差 解：

平行板电容器内部的场强为 E 0
E
dl
d
两板间的电势差
Δ E dl


E ,d l 方向一致