工程电磁场-基本概念回顾及习题课选编

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D2n D1n
E2t E1t
习题 2-15
(12)泊松方程、拉普拉斯方程表达式及边 值问题的分类
称为静电场的 泊松方程。
当场域中没有 电荷分布时 称为静电场的拉普拉斯方程
第1类边值问题
第2类边值问题
混合边值问题
例 真空中一静电场的电荷分布只随 x 坐标变化,不
随 y 和 z 坐标变化,已知电荷体密度 x 1
0 是真空中的介电常数,单位是(法(拉)/米),F/m;
电荷量的单位库仑,C 距离的单位米,m 力的单位牛顿,N
计算时,要用国际单位制。 单位的符号要用正体。
点电荷:只带电荷而没有形状和大小的物体。 库仑定律是静电场的基础,也是电磁场的基础。
(2) 电场强度
点电荷q 产生的电场强度
电场强度的单位伏/米,V/m
J E 式中: 称为导电媒质的电导率,
单位是西门子米( S m )。
如果 0 ,上式也可表示为
E

1

J

RJ
式中: R 称为导电媒质的电阻率,
单位是欧姆·米( m )。
可见 与 R 互为倒数。
E

1

J

RJ
此式称为欧姆定律的微分形式,是导电媒质
中恒定电场的辅助方程。
点电荷是一种典型的电荷结构 它所产生电场的等电位面的方程为
解得 R q 。
4 0C
即等电位面是以点电荷所在点为球心,
Fra Baidu bibliotek
q

为半径的球面。
4 0C
点电荷在它所在平面上产生电场的等
电位线是一系列的圆,见图。
q C (R 0)
4 0 R
电场强度线是一族有方向的线。电场强度线上每一点的切线方 向就是该点的电场强度方向。设dl为P点电场强度线的有向线段元, 则电场强度可表示为E= kdl。在直角坐标系中,有
ex

0
100
2
0

e
x
(V m)
第三章 恒定电场的基本原理
1、体电流密度的定义式 2、电流密度与电场强度的关系 3、电源中电场强度的表达式 4、电荷守恒原理的表达式 5、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式 6、恒定电场边界条件的分类
1、体电流密度的定义式
将单位时间内流过某个面积 S 的电荷量
旋度源;
• 若矢量场处处A=0,称之为无旋场(或保守场)。
习题1-22
第二章 静电场的基本原理
1、库仑定律
2、电场强度
3、环路定律的表达形式
4、等位面和电场强度线方程
5、高斯通量定理的表达形式
6、电偶极子电位和电场与距离的关系
7、静电场中导体内和导体表面的电场特性
8、电位移矢量与电场和极化强度的关系
u(x, y, z) C
式中,C为常数。给定C 的一系列不同的数值,可以得到一系
列不同的等值面,称为等值面族。 电位场是一个标量场,由电位相同的点所组成的等值面叫做
等电位面。
(2)矢量线
所谓矢量线,是指其上每一点处曲线的切线方向和该点 的场矢量方向相同。矢量线反映了场矢量在线上每一点的方 向。
在直角坐标系中:
E

[

x
ex


y
ey


z
ez
]
对电场强度求旋度,可得
即电场强度的旋度为零,这是静电场环路定理的微 分形式。旋度处处为零的场称为无旋场。静电场是无旋 场。
根据斯托克斯定理,有
电场强度的闭合线积分为零,是静电场环路定理的积分形式。
(4) 等电位面与电场强度线方程
等电位面和电场强度线是对电场的形象表示。等电位面就是 由电位相同的点组成的曲面,其方程为
(10)电介质分界面条件标量表达式
在不同电介质的分界面上,存在极化面电荷(束缚面电荷), 也可能存在自由面电荷。这造成分界面两侧场矢量不连续。这 种场矢量的不连续性虽然不会影响积分形式基本方程的应用, 却使微分形式的基本方程在不同电介质分界面处的应用遇到困 难。因此必须研究场矢量的分界面条件。
分界面上的电荷面密度为
矢量线的切线方向与场矢量的方向相同,所以矢量线 方程又可以用矢量式表示为
dl A 0
直角坐标系下 矢量线方程
在电磁场中,电场强度线和磁感应强度线都是矢量线。
习题1-4
(3)方向倒数与梯度的关系
如果在标量场中任一点M 处,存在矢量G,其方向为场函 数u (x, y, z)在M 点处变化率最大(方向导数最大)的方向, 其模|G|是这个最大变化率的数值,则称矢量G 为标量场u (x, y, z)在点 M 处的梯度,记为
若 不随电场强度方向改变而变化,则称导
电媒质为各向同性媒质。
若 不随电场强度和电流密度量值变化,则
称导电媒质为线性媒质。
若媒质中 处处相等,则称导电媒质为均匀
媒质。 许多导电媒质的电导率随温度变化。
如金属导体的电导率 随温度降低而增大,
有些金属或化合物当温度降到某一临界数值
后, ,变为超导体, J E 不再适用。
定义一个新的场矢量D,叫做电位移矢量,且
(9)常见介质极化强度与电场强度的关系
根据实验,常见的电介质是线性、各向同性的。
极化强度与电场强度的关系可表示为
P 0 E
是电介质的极化率。
(1)极化率大表示材料易于极化, 极化率小表示材料不易于极化;
(2)真空的极化率为0,说明真空不能被极化; (3)不同的电介质有不同的极化率。
电场强度只有法向分量,即导体外表面上电场强度的
方向垂直于导体的表面。 因为:电场线与等势面处处正交。
E
E
E0
F
+
(8)电位移矢量与电场和极化强度的关系
电介质极化后,其内部存在大量按一定规律分布的电偶极 子。将电偶极子偶极矩的密度定义为极化强度P, 用来表示电介 质极化的程度,即
小体积内电偶 极矩的矢量和
电场强度线方程
位于坐标原点的点电荷产生的电场强度线是过原点 的一族射线
正负点电荷的电场线
+
-
例2-2-1 如图所示,在位于直角坐标系坐标原点的点电荷q所产 生的静电场中,求P1 (0,0,1)到P2(0,2,0)的电位差。
解:
由电位公式直接计算,P1和P2点的
电位分别为
(5) 高斯通量定理
高斯通量定理的微分形式
3、电源中电场强度的表达式
作用于单位电荷上的局外电场力定义为局外电
场强度,记为 Ee 。 电源中总的电场强度 ET EC Ee 。
在电源以外的区域,只存在库仑电场。
总的电场强度 ET EC 。
4、电荷守恒原理的表达式
电荷守恒原理:自然界中电荷量是守恒的。
给定任意闭合面,设闭合面内的电荷量为 q ,
方向导数等于梯度在该方向上 的投影,表示为
习题1-5
l xyex xzey xyez 2ex 3ey 2ez
(4)无源场
应用散度概念可以分析矢量场中任一点的情况。
在M 点,若divA>0,则表明 M 点有正源; 若divA<0,则表明 M 点有负源。 若divA=0,则表明该点无源。
电偶极子产生的电场与单个点电荷产生的电场的空间分布规 律有明显不同。点电荷的电位与R成反比,而电偶极子的电位 与R2成反比。
电偶极子产生的电场强度的幅值与R3成反比。
(7)静电场中导体内和导体表面的电场特性
1)导体内部的场强处处为零。
2)导体是个等势体,导体表面是个等势面。
3)导体外表面切线方向的电场强度为零,导体外表面
9、常见介质极化强度与电场强度的关系
10、电介质分界面条件标量表达式
11、泊松方程、拉普拉斯方程和拉普拉斯算子的表达式及边值 问题的分类
(1) 库仑定律
两个点电荷之间的作用力用下式表示
在真空中, 两个静止点电荷q1及q2之间的相互作用力 的大小和q1与q2的乘积成正比,和它们之间距离R的平方 成反比;作用力的方向沿着它们的连线,同号电荷相斥, 异号电荷相吸。
( C m3 ); x 0 ,0 0 ; x 1( m ),
1 100 ( V )。求 0 x 1区域的电位和电
场强度。 解 静电场的电位满足泊松方程
02
0
2
x 2
0
d 2
dx 2
1
d2 1 dx2 0
d
dx

x
0
工程电磁场基本概念回顾及习题课
1
第1章 矢量分析与场论基础
(1)等值面; (2)矢量线; (3)方向倒数与梯度的关系; (4)无源场或无散场; (5)无旋场
(1)标量场的等值面
设标量场u (M)是空间的连续函数,那么通过所讨论空间的 任何一点 M0,可以作出这样的一个曲面S,在它上面每一点处, 函数u (M)的值都等于u (M0),即在曲面S 上,函数u (M)保持着 同一 数 值 u (M0),这样的曲面S叫做标量场u 的 等值面。等值 面的方程为
如果在场中处处有divA=0,则称此场为无源场或无散场。
小河 泉眼
漏洞
直角坐标系中
散度的计算公式
习题1-18
(5)无旋场
• 矢量的旋度仍为矢量,是空间坐标点的函数。
• 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 • 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。
• 在矢量场中,若A=J0,称之为旋度场,J 称为
空间的电流密度为 J ,则
q

S
J

dS


t
等式左边是单位时间从闭合面流出的电荷量,
等式右侧为单位时间闭合面内减少的电荷量。
上式为电荷守恒原理的积分形式。
应用散度定理得
J
t
这电荷守恒原理的微分形式。
对于恒定电场,电荷的分布不随时间变化,
0, q 0 。
根据高斯通量定理 因为大球内电荷产生的电场强度为
小球内电荷产生的电场强度为
习题 2-8
q πr2
(6)电偶极子电位和电场与距离的关系
所谓电偶极子就是两个相距很近的等量异号电荷组成的整 体。设电偶极子两电荷的电荷量分别为q和-q,从负电荷到正电 荷的距离矢量为d,则可以用一个矢量来表示电偶极子。这个矢 量叫做电偶极矩,记为p,且
即静电场中任一点上电场强度的散度等于该点的体电荷密 度与真空的介电常数之比。
高斯通量定理的积分形式
例2-3-2 如图所示,真空中,半径为A的大圆球内有一个半径 为a的小圆球,两圆球面之间部分充满体密度为ρ的电荷,小圆 球内电荷密度为零(空洞)。求小圆球(空洞)内任一点的电场强度。
解:根据叠加原理,空洞内P点的电场强度,可以看作是由充 满电荷、电荷体密度为ρ的大球和充满电荷、电荷体密度为- ρ 的小球在P共同产生的电场强度。
定义为穿过该面积的电流,用 I 表示 I lim q dq t0 t dt
电流的单位是安(培)(A)。1 安=1 库秒。 电荷在空间体积中运动,形成体电流。
密度为 的体电荷以速度 v 运动,形成体电流密度 J ,
定义 J v 。
2.电流密度与电场强度的关系
根据有关导电理论和实验, 对于大多数导电媒质,其中的电流密度与 电场强度的关系可表示为
C1


x2 2 0
C1x C 2
代入边界条件
0 0 , 得 C2 0 ,
1

1 2 0
C1
100 ,
得 C1
100
1 2 0
代入 C1 和 C2
x2
1
100 x
(V)
20
20
d
x
1
E




dx
t
t
得恒定电场的电流连续性方程
J 0
J dS 0
S
上式适合于电源和电源以外恒定电场的任何区 域。电流连续即电流密度的散度为零,说明恒定电流 场是无散场,场内任一点不产生电流密度线,也不终
止电流密度线,即电流密度线处处连续。
5、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式
在不同导电媒质的分界面上,存在自由面电 荷,也可能存在束缚面电荷。这造成分界面两侧 场矢量不连续。场矢量的不连续性不影响积分形 式基本方程却影响微分形式的基本方程的应用, 因此必须研究场矢量的分界面条件。
量为
场点坐标 (r,, z) 是不变量,源点坐标 (0,, z) 中 z 是变量,统一用θ表

总的电场强度 若为无限长直导线
习题 2-1
(3)静电场环路定理
由电位计算电场强度,是求梯度的运算,也就是求微分 的运算
在静电场中,任意一点的电场强度E 的方向总是沿着
电位减少最快方向,其大小等于电位的最大变化率。
例2-1-1 真空中长度为2l 的直线段,均匀带电,电荷线密度为τ。
求线段外任一点P 的电场强度。
解: 根据对称性分析,采用柱坐标系分 析比较方便。坐标的源点位于线段的中 心,z 轴与线段重合。场点P的坐标 为 (r,, z) ,取电荷元 d z ,源点坐 标为 (0,, z)
则电荷元在P 点产生的电场强度的各分
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