一阶偏微分方程教程

dx
dy du
1 u x y 1 2
首次积分为 u 2 y, 2 u x y y
于是原方程的隐式通解为
u 2y, 2 u x y y 0
其中 为任意二元连续可微函数。
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例5. 求解Cauchy问题
u
u x
u y
1
u xy 0
解：特征方程组为 dx dy du u11
(4)
dx P(x, y, z)
若(4)的一个首次积分为 (x, y, z) ，则它也称为(3)
的一个首次积分。
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对于一阶齐次线性偏微分方程(2)与它的特征 方程组(3)或(4)，我们有以下结论：
定理1：连续可微函数 u (x, y, z) 是(2)的解的充 分必要条件是 (x, y, z) 是(4)的首次积分。 定理2：如果 (x, y, z), (x, y, z) 是(4)的两个独立的 首次积分，则它们的任意连续可微函数 u (, )
x2 zxy
于是原方程的隐式通解为
2x z C1
x 2 z x y C2 7
由(3)可得
dx dy dz P(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)
于是得到方程组(3)的一个等价形式：
dy dx
Q(x, P(x,
y, 百度文库) y, z)
dz
R(x, y, z)
x
y
(7)
其特征方程组为
dx
dt
a(x,
y,u)
dy
dt
b(x,
y,u)
(8)
du dt
c(x,
y,u)
设其首次积分为 (x, y,u), (x, y,u) ，则(7)的隐式
通解为 , 0. 15
例4. 求解方程 1 u x y u u 2 0 x y 解：特征方程组为
10
• 齐次线性偏微分方程的Cauchy问题
P( x,
y, z)
u x
Q(x,
y,
z)
u y
R(x,
y,
z)
u z
0
x x0 : u f ( y, z)
(5)
其中 f 为已知函数。
例3. 求解Cauchy问题
yz
u x
xz u y
xy u z
0
u yy0 f (x, z)
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解：特征方程组为 dx dy dz yz xz xy
• 定解问题：定解条件通常包括边界条件和初始条 件两种。含有定解条件的方程求解问题称为定解 问题，包括初值问题（Cauchy问题）、边值问 题和混合问题。
3
一阶线性偏微分方程
• 一阶齐次线性偏微分方程
F(u)
n i1
ai x1, x2,L
,
xn
u xi
0
(1)
显然方程有平凡解u=常数。一般求其非平凡解。
以下以含有3个自变量的方程为例，一般形 式为
P(x, y, z) u Q(x, y, z) u R(x, y, z) u 0 (2)
x
y
z
4
常微分方程组
dx dt
P(
x,
y,
z)
dy
dt
Q(x,
y,
z)
(3)
dz dt
R(x,
y,
z)
称为方程(2)的特征方程组，每一条积分曲线
x (t), y (t), z (t)
x
y
z
(6)
f (x, y, z)u g(x, y, z)
其中 f , g为已知函数。 其特征方程组为 dx dy dz du P Q R fu g
将前面两个等式解出后代入最后一个条件即可求出 三个首次积分，从而得到通解。
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一阶拟线性偏微分方程
以两个自变量的方程为例。
a(x, y,u) u b(x, y,u) u c(x, y,u)
称为方程(2)的特征线。
5
若由特征方程组(3)推出函数 (x, y, z,t) 恒为常
数，则称该函数为方程组(3)的一个首次积分。
若特征方程组(3)的3个独立的首次积分为
(x, y, z,t), (x, y, z,t), (x, y, z,t)
则特征方程组(3)的通解为
( (
x, x,
y, y,
是(2)的通解。 证明从略。
9
例2. 求解方程 x u 2 y u z u 0 x y z
解：特征方程组为
dy dx
2y x
dz
z
dx x
或 dx dy dz x 2y z
首次积分为 x2 y, xz
于是原方程的隐式通解为 u x2 y, xz ，其中
为任意二元连续可微函数。
首次积分为 x2 y2, x2 z2
于是原方程的通解为 u x2 y2, x2 z2 ，其中
为任意二元连续可微函数。
将该解代入初始条件，得
x2 y02, x2 z2 f (x, z)
令
x2 y02 t, x2 z2 s, 得
x t y02 z t y02 s
z, z,
t t
) )
C1 C2
(x, y, z,t) C3
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例1. 求解方程组 dx
dy
dz
1 1 z x y 2
解：由
dx dz 12
得
2x z C1 ，因此得到一个首次
积分为 2x z
再由 dz dx dy 2 1 (1 z x y ) dx
z x ydx 得 x 2 z x y C2 ，因此得到另一个首次积分为
一阶偏微分方程教程
1
偏微分方程的相关概念
• 偏微分方程：一个包含有多元未知函数及其偏导 数的等式。方程中所含未知函数偏导数的最高阶
数称为该方程的阶。如：
等。
u 2 u 0, t x
2u x2
2u y2
0
如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线
性的，则称它是线性的；如果它关于所有最高阶
偏导数是线性的，则称它是拟线性的。
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于是
t, s f ( t y02 , t y02 s )
从而原Cauchy问题的解为
u x2 y2, x2 z2
f ( x2 y2 y02 , z2 y2 y02 )
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• 非齐次线性偏微分方程
P(x, y, z) u Q(x, y, z) u R(x, y, z) u
2
• 方程的解：若函数u连续并具有方程所涉及的连续 的各阶偏导数，且该函数代入方程使得方程在某 区域内成为恒等式，则称该函数为方程在该区域 内的解（古典解）。满足某些特定条件的解称为 特解，这些条件称为定解条件。一般情况下，一 个具有n个自变量的m阶方程的解可以含有m个n-1 元任意函数，这样的解称为通解。