等差数列及应用概论

等差数列及应用

一、聚焦核心：

1．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为________． 2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________. 3．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________. 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，b 1＝2，且任意的正整数i ，j ，k ，l ， 当i ＋j ＝k ＋l 时，都有a i ＋b j ＝a k ＋b l ，则12 010∑2 010

i ＝1

(a i ＋b i )的值是________． 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4,2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是________． 6．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.

7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________．

二、典例分析：

例1．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，

满足S 5S 6＋15＝0.

(1)若S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围．

例2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n 满足关系式2S n ＝S n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1

＋2

(n ≥2，n 为正整数)，a 1＝1

2.

(1)令b n ＝2n a n ，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，求S n 的取值范围．

例3．已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，且a 3＝27. (1)求a 1，a 2的值；

(2)记b n ＝1

2n (a n ＋t )(n ∈N *)，问是否存在一个实数t ，使数列{b n }是等差数列？若存在，

求出实数t ；若不存在，请说明理由．

三、课堂反馈

1．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6

S 4的值为________． 2．数列{a n }是等差数列，若a 11

a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝________.

3．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，且S n T n ＝7n ＋1

n ＋3， 则a 2＋a 5＋a 17＋a 22

b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝________.

4．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n

－1(n ∈N *

)，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫

a n ＋λ2n 为等差数列，则λ的

值是________．

5．已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式a n ＝________. 6．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝S n

n ＋c (n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．

7．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝1－1

4a n，b n＝

2

2a n－1，其中n∈N*.

(1)求证：数列{b n}是等差数列；

(2)设c n＝(2)b n，试问数列{c n}中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．

1．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为________． 解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×4

2

＝22.

2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________.

解析 因为a 1＞0，S 4＝S 9，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，所以a 7＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧

a 6＞0，

a 8＜0，

从

而当n ＝6或7时S n 取最大值．

3．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________.

解析 ∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39,3a 6＝27，∴a 4＝13，a 6＝9.∴a 6－a 4＝2d ＝9－13＝－4，∴d ＝－2，∴a 5＝a 4＋d ＝13－2＝11，∴S 9＝9(a 1＋a 9)

2＝9a 5＝99.

4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，b 1＝2，且任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i ＋j ＝k ＋l 时，都有a i ＋b j ＝a k ＋b l ，则12 010∑2 010

i ＝1

(a i ＋b i )的值是________．

解析：由题意得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5；b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，b 4＝5，b 5＝6.归纳得a n ＝n ，b n ＝n ＋1；设c n ＝a n ＋b n ，c n ＝a n ＋b n ＝n ＋n ＋1＝2n ＋1，则数列{c n }是首项为c 1＝3，公差为2的等差数列，所以12 010∑2 010i ＝1 (a i ＋b i )＝1

2 010×2 010×(3＋4 021)2＝2

012.

5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4,2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是________．

解析 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤a 5≤4，2≤a 6≤3，解⎩⎪⎨⎪⎧

1≤a 1＋4d ≤4，

2≤a 1＋5d ≤3，

所以S 6＝6a 1＋15d ＝15(a 1＋4d )－9(a 1＋5d )∈[－12,42]．

6．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.

解析 由15＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，得a 2＝5.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16.又公差d ＞0，所以⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＝2，

a 3＝8.