扩张原理2

x 100 A( x) 200 100
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
设 A F U ,记
sup pA u u U , A( u) 0
模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：A∪A = A， A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪ = A，A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ；
0 , 1

(0A( x )( A ( x ))) ( A( x 1( A ( x ))) )

0A( x ) A( x ).
x U
推论1 设 AF(U )，xU，则
A(x) = ∨{，[0,1]，xA }
t
t , A ( x ) At (x) t
t
A (x)
t
x At t
定义1 设 0,1, A F (U ), 定义 A F (U ), 其隶 属函数为
a, b, c, d 0,1
则称S为s-模（s-norm）。S(a,b)也可写成aSb 。
代数和与代数积
A B ( x ) A( x ) B( x ) A( x ) B( x ),
A B( x) A( x) B( x).
注3：当 A, B P (U ) ，
（1）若 1 , 2 0,1, 则 1 2 1 A 2 A （2） A B 0,1,A B.
定理3 (分解定理) 设AF(U )，则
A A
0 , 1
证：
( (A ))( x ) ,1(A )( x ) ,1( A ( x )) 0 0

ker A u u U , A( u) 1

分别称suppA、kerA为A的支集（support） 与核（kernel）。 当kerA不空时，称A为正规fuzzy集（normal fuzzy set）。
模糊集的运算 相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并： A∪B的隶属函数为 (A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交： A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余： Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).
注2：对隶属度进行取大和取小运算，这样 可能丢掉许多信息。
fuzzy集的其他运算
定义3 映射 T : 0,1 0,1 0,1 ，如果满足条件
(1)T(a, b) T(b, a);
(2)TT(a, b), c Ta, T(b, c);
( 3)a c, b d T(a, b) T(c, d); (4)T(1, a) a.
⊙
B A B 。
注6：交换律、结合律、0-1律、对偶律、 排中律。
定理1 运算的相互关系
A ⊙ B A B A B
A B A B A B

A, B F (U )
§1.3 模糊集的基本定理
-截集（cut set） (A) = A= {x | A(x) ≥ }
Ai ( x ) i1 Ai ( x ) i 1
定义2
tT tT
At 与 At 的隶属函数分别为
A ( x ) A ( x ) A ( x ) A ( x ) t t t t tT tT tT tT
A t A t , (4) t t

A t A t . t t

(5) A A .
证：
x At
t



t 0
t 0 , x At0
例3 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)，在U 上定义两个模糊集 A =“商品质量好”，B =“商品质量坏”，并设 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”。 Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见 Ac B, Bc A 。 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
A0.9 (90分以上者) = {u5 , u6}, A0.6 (60分以上者) = {u2, u3, u4 , u5 , u6}。
定理1 设A, BF(U ) (A, B是论域U 的两 个模糊子集)，,[0,1]，
于是有-截集的性质
(1) AB AB； (2) ≤ A A； (3) (A∪B)= A∪B，(A∩B)= A∩B.
§1.2 模糊子集及其运算
模糊子集与隶属函数 设U是论域，称映射 μA ：U→[0,1] x → μA(x) 确定了一个U上的模糊子集A， μA 称 为 模 糊 集 A 的 隶 属 函 数 （ membership function），μA(x)表示 x 对A的隶属程度 （grade of membership）。常记 μA = A 。
对偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc， (A∩B)c = Ac∪Bc .
对偶律的证明：对于任意的 xU (论域)， (A∪B)c(x) = 1 - (A∪B)(x) = 1 - (A(x)∨B(x)) = (1 - A(x))∧(1 - B(x)) = Ac(x)∧Bc(x) = Ac∩Bc (x)
（级数表示法）。
n
若U是无限集
则 A
，

U
0 注1：级数表示法中，隶属度为0的项 可以 xi 略去不写。
A( x ) （积分表示法）。 x
4、向量表示法 若U是有限集 U x1 , x2 ,, xn ， 则 A A( x1 ),
A( x2 ), , A( xn )
5、图示法
A( x ) A( x ), x U
称 A 为 与 A的数积（scalar product）。 注1： 当 A 为经典集时， A 仍然是fuzzy集。
, x A A( x ) A ( x ) 0, x A
定理2
设 A, B F (U ), 则有
a, b, c, d 0,1
则称T为t-模（t-norm）。T(a,b)也可写成aTb 。
定义4 映射 S : 0,1 0,1 0,1 ，如果满足条件
(1)S(a, b) S(b, a);
(2)SS(a, b), c Sa, S(b, c);
( 3)a c, b d S(a, b) S(c, d); (4)S(a,0) a.
§1.4 fuzzy性的Байду номын сангаас量
定义1 对于有限集U上的fuzzy集A，A的基数 （cardinality）|A|定义为
A
A( x )
xU
A A U
称为fuzzy集A的相对基数（relative cardinality）。
定义2 若映射 d : F (U ) 0,1 ，满足条件 （1）当且仅当 A P (U ) 时, d ( A) 0;
1, 0 x 25 1 2 Y ( x) x 25 1 5 , 25 x 100 0, 0 x 50 1 2 O( x ) x 50 , 50 x 100 1 5
t



t0 , A ( x )
At (x) t
t
A (x)
At x t
证：
x At
t


t , x At
模糊集的-截集A是一个经典集合，由 隶属度不小于的成员构成。
例1 论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)， 他 们 的 成 绩 依 次 为 50,60,70,80,90,95 ， A=“ 学 习 成 绩 好 的 学 生 ” 的 隶 属 度 分 别 为 0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则
使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点
最具模糊性。
当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是 经典子集，而A就是它的特征函数。可见经典 子集就是模糊子集的特殊情形。 U上全体fuzzy集所构成的集合记为F(U)。 注1： P U F U
例1 设论域 U [0,100] ，Zadeh给出“年轻” （Y）与“年老”（O）两个模糊集的隶属函 数分别为
则 A B A B 且 A B A B 。
注4：交换律、结合律、0-1律、对偶律。

有界和与有界积
A B( x) A( x) B( x) 1,
( A ⊙ B)( x ) A( x ) B( x ) 1 0.
注5：当 A, B P (U ) ， 则 A B A B 且 A