6.3.4 z反变换
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z 1
res [ F ( z ) z k 1 ,2] lim( z 2) F ( z ) z k 1 10 2 k
z 2
所以
f (kT ) 10(2 k 1)
(k 0,1,2,)
3）三种z反变换法的比较
部分分式法通过Z变换表6-1可方便地求得
留数 x(t ,)
的所有极点
F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
k 0
m k 1
dz
Res z
( k 1)
1 d r 1 r k 1 x( z ) lim ( z z ) z x( z ) i r 1 z zi (r 1)! dz
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )
1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
i 1 n
先求出 X( z )的特征根，即将其分母分解因式，形如：
X( z )
在工程上，多有极点都是一阶极点的情况，即分母多项 式中无重根时，上式则可化为：
An A1 A2 X( z) z( ) z z1 z z2 z zn
其中系数 Ai ,可由式决定：
Ai (z zi ) X( z) z z zi
6.3.4 z反变换
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然 后通过求x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。这就 是z反变换。
1、幂级数法：（长除法）
Z变换函数，通常可表示为两个Z的多项式之比，一般可写成：
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
其中Res[]表示函数的留数。 例6-8 已知z变换函数为
10z F ( z) ( z 1)(z 2)
试用围线积分方法求z反变换。
解：
F ( z ) z k 1
10z k ( z 1)(z 2)
res [ F ( z ) z k 1 ,1] lim( z 1) F ( z ) z k 1 10
z a1 z nm
an
(m n)
z 1
Байду номын сангаас
设
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
k 0
kT ( 1 e ) (t kT )
3、留数法：又称反演积分法。 – 由z变换的定义可知
F ( z ) f (kT ) z k
F ( z) z
m 1
k 0
f (kT ) z
k 0
m k 1
包围了
F ( z ) z k 1
例6-7
已知z变换函数
z F ( z) ( z 1)(z e T )
求其z反变换。 解： 首先将
F ( z) 展成部分分式 z
K K2 F ( z) 1 z z 1 z e T
1 z 1 K1 lim F ( z) z 1 1 e T z
res [ F ( z ) z k 1 ,2] lim( z 2) F ( z ) z k 1 10 2 k
z 2
所以
f (kT ) 10(2 k 1)
(k 0,1,2,)
3）三种z反变换法的比较
部分分式法通过Z变换表6-1可方便地求得
留数 x(t ,)
的所有极点
F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
k 0
m k 1
dz
Res z
( k 1)
1 d r 1 r k 1 x( z ) lim ( z z ) z x( z ) i r 1 z zi (r 1)! dz
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )
1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
i 1 n
先求出 X( z )的特征根，即将其分母分解因式，形如：
X( z )
在工程上，多有极点都是一阶极点的情况，即分母多项 式中无重根时，上式则可化为：
An A1 A2 X( z) z( ) z z1 z z2 z zn
其中系数 Ai ,可由式决定：
Ai (z zi ) X( z) z z zi
6.3.4 z反变换
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然 后通过求x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。这就 是z反变换。
1、幂级数法：（长除法）
Z变换函数，通常可表示为两个Z的多项式之比，一般可写成：
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
其中Res[]表示函数的留数。 例6-8 已知z变换函数为
10z F ( z) ( z 1)(z 2)
试用围线积分方法求z反变换。
解：
F ( z ) z k 1
10z k ( z 1)(z 2)
res [ F ( z ) z k 1 ,1] lim( z 1) F ( z ) z k 1 10
z a1 z nm
an
(m n)
z 1
Байду номын сангаас
设
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
k 0
kT ( 1 e ) (t kT )
3、留数法：又称反演积分法。 – 由z变换的定义可知
F ( z ) f (kT ) z k
F ( z) z
m 1
k 0
f (kT ) z
k 0
m k 1
包围了
F ( z ) z k 1
例6-7
已知z变换函数
z F ( z) ( z 1)(z e T )
求其z反变换。 解： 首先将
F ( z) 展成部分分式 z
K K2 F ( z) 1 z z 1 z e T
1 z 1 K1 lim F ( z) z 1 1 e T z