6.3.4 z反变换
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Z反变换
1 z 1 z 2 z 3 ) 4 16 64
进而得：x(n)
1
15
1
15
(4) n2 (1)n 4
, ,
n 1 n0
Z变换的基本性质和定理
1.线性
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
Z[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z), max( Rx , Ry ) z min( Rx , Ry )
6. 翻褶序列
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x(n)] X (1) ; 1 z 1
z
Rx
Rx
证明： Z[x(n)] x(n)zn x(n)zn
n
n
x(n)(z1)n
n
X
(
1 z
)
，Rx
z 1
Rx ，
即 1 z 1
Rx
Rx
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X (z)。 z
.. .
1+ —14 Z-1 +11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14 - —116 Z-1
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
得X (z) 1 ( z 5 z 4 z 3 z 2 4z 15 64 16 4
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x*(n)] X *(z*) ，Rx z Rx ; 其中，x* (n)为x(n)的共轭序列。
反Z变换
A = Re s[ X (z) ] P 4 0 表2 - 1 k z=zk z 1 d r−k r x(z) Ck = r−k [(z − zi ) (r − k)! dz z z=z , k=1,2⋯r i
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
第六章 Z变换
6.3 z变换的反变换
2π j , 柯西公式： ∫ z dz = C 0,
n
m = −1 m ≠ −1
6.3 z变换的Βιβλιοθήκη 变换6.3 z变换的反变换
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
例2 、 x[ n] = u[ n]
X ( z) = ∑ z
n =0
+∞
−n
1 = , z >1 −1 1− z
+∞ 1 X (ω ) = + π ∑ δ (ω − 2kπ ) − jω 1− e k = −∞
例3、
x[n] = − a u[− n − 1]
n
−1 n −n
a z X ( z) = − ∑ a z = − ∑ a z = − −1 1− a z n = −∞ n =1 1 = ,z <a −1 1 − az
第6章 Z变换 章 变换
引言
x(n) = z
n
LTI
y(n) = H(z)z
n
h(n)
H (z) =
jω
n = −∞
∑
+∞
h(n ) z −n ,
H ( z ) 为 h ( n )的 z 变换 .
z = re , 当r＝1时，即为h( n)的傅立叶变换。
z变换是离散时间傅里叶变换的推广，在连续时 变换是离散时间傅里叶变换的推广， 变换是离散时间傅里叶变换的推广 间域内与拉氏变换相对应。 间域内与拉氏变换相对应。
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=0
附_z反变换
于是脉冲序列可以写成 ∗
f (t ) = δ (t − T ) + 5δ (t − 2T ) + 19δ (t − 3T ) + 65δ (t − 4T ) + L
7
3 留数计算法
由z变换的定义可知
F ( z ) = ∑ f (kT ) z
k =0
+∞ k =0
+∞
−k
F ( z ) z m −1 = ∑ f (kT ) z m − k −1
2
f ( nT ) = K 1e − a1nT + K 2 e − a2 nT + L + K m e − am nT
例
已知z变换函数
z F ( z) = −T ( z − 1)( z − e )
求其z反变换。
3
解：
首先将
F ( z) z
展成部分分式
⎛ z − e −T ⎜ K 2 = lim z →e −T ⎜ ⎝ z
k −1 F ( z ) z 设 的极点为 z i , i = 1,2,L, n ，则
f (kT ) = ∑ res[ F ( z ) z
i =1
n
k −1
, zi ]
（8-48）
9
例
已知z变换函数为
10 z F ( z) = ( z − 1)( z − 2)
试用围线积分方法求z反变换。
1 部分分式法
若象函数 F ( z )
且 互异，则
F ( z) z
是复变量z的有理分式，
− ai T z = e , (i = 1,2, L , m) 的极点 i
F ( z) z
可展成如下形式：
f (t ) = δ (t − T ) + 5δ (t − 2T ) + 19δ (t − 3T ) + 65δ (t − 4T ) + L
7
3 留数计算法
由z变换的定义可知
F ( z ) = ∑ f (kT ) z
k =0
+∞ k =0
+∞
−k
F ( z ) z m −1 = ∑ f (kT ) z m − k −1
2
f ( nT ) = K 1e − a1nT + K 2 e − a2 nT + L + K m e − am nT
例
已知z变换函数
z F ( z) = −T ( z − 1)( z − e )
求其z反变换。
3
解：
首先将
F ( z) z
展成部分分式
⎛ z − e −T ⎜ K 2 = lim z →e −T ⎜ ⎝ z
k −1 F ( z ) z 设 的极点为 z i , i = 1,2,L, n ，则
f (kT ) = ∑ res[ F ( z ) z
i =1
n
k −1
, zi ]
（8-48）
9
例
已知z变换函数为
10 z F ( z) = ( z − 1)( z − 2)
试用围线积分方法求z反变换。
1 部分分式法
若象函数 F ( z )
且 互异，则
F ( z) z
是复变量z的有理分式，
− ai T z = e , (i = 1,2, L , m) 的极点 i
F ( z) z
可展成如下形式：
§6.3 逆z变换PPT课件
§6.3 逆z变换
一般而言，序列f(k)由因果序列f1(k)和反因果序列 f2(k)两部分组成，即
f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(–k – 1) + f(k) (k)
相应地，其z变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， < |z| <
由F(z)及其收敛域不难确定F1(z)和F2(z)，分别求 得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得 f(k)。
z2
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
解
（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法（降幂排列）将F(z)展开为 z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
(3)当1<z<2， f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
3
3
例2：已知象函数
z(z3 4z2 9 z 1)
F(z)
2 z ,1<z<2
(z 1)(z 1)(z 2)(z 3)
解
2
F(z) 1 2 1 1 z z 1 z 1 z 2 z 3 2
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
解: F(z)/z部分分式展开为
12
F(z)
z
3 3
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
(1) z>2，f(k)为因果序列
f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
一般而言，序列f(k)由因果序列f1(k)和反因果序列 f2(k)两部分组成，即
f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(–k – 1) + f(k) (k)
相应地，其z变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， < |z| <
由F(z)及其收敛域不难确定F1(z)和F2(z)，分别求 得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得 f(k)。
z2
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
解
（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法（降幂排列）将F(z)展开为 z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
(3)当1<z<2， f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
3
3
例2：已知象函数
z(z3 4z2 9 z 1)
F(z)
2 z ,1<z<2
(z 1)(z 1)(z 2)(z 3)
解
2
F(z) 1 2 1 1 z z 1 z 1 z 2 z 3 2
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
解: F(z)/z部分分式展开为
12
F(z)
z
3 3
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
(1) z>2，f(k)为因果序列
f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
6.3.4 留数法
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
k 0
m k 1
dz
Res z
( k 1)
1 d r 1 r k 1 x( z ) lim ( z z ) z x( z ) i r 1 z zi (r 1)! dz
其中Res[]表示函数的留数。 例6-8 已知z变换函数为
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
留数法：又称反演积分法。 – 由z变换的定义可知
F ( z ) f (kT ) z k
F ( z) z
m 1
k 0
f (kT ) z
k 0
m k 1
包围了
F ( z ) z k 1
的所有极点
F ( zf (kT ) z dz k 0
z 2
所以
f (kT ) 10(2 k 1)
(k 0,1,2,)
3）三种z反变换法的比较
部分分式法通过Z变换表6-1可方便地求得
留数 x(t ,)
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
10z F ( z) ( z 1)(z 2)
试用围线积分方法求z反变换。
解：
F ( z ) z k 1
10z k ( z 1)(z 2)
Z反变换方法
信号与系统
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
同的是，一般是对 F(z) 展开为部分分式，以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
同的是，一般是对 F(z) 展开为部分分式，以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
信号与系统第六章(3) 逆Z变换
根据给定的F(z)及收敛域，不难求得F1(z)和F2(z),并分 别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)。根据线性性 质，将二者相加就得到F(z)所对应的原序列f(k)。
本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换。
一、幂级数展开法
例6.3-1 已知象函数
z2) z2 z 2
1 ,0}
16 8 4 2
k 1
（3) F (z)的收敛域为 1 z 2故 f (为k)双边序列。
将 F(展z) 开为部分分式，有：
12
F(z)
z2
zz 3 3 , 1 z 2
(z 1)(z 2) z 1 z 2
因果序列象函数 反因果序列象函数
F1 ( z )
za
就可以求得展开式的原函数。
例6.3-3 已知象函数
z2 F(z)
(z 1)(z 2)
其收敛域分别为（1）z （2 2） z（ 13）1 z 2
分别求其原函数。 解 由象函数可见，其极点为 z1 1, 。z2 2 其展开式为
F(z)
z2
z
K1 K2
f2(k)
f1(k) (2k
3k ) (k 1) [2 ( 1 )k ] (k)
2
（2）F ( z )有共轭单极点
如果F (z) 有一对共轭单极点z1,2 c jd , 则可将 F (z) 展开为
z
F (z) Fa (z) Fb (z) K1 K2 Fb (z)
B(z)
z zA(z) z(zn am1zn1 a1z a0 ) ,m n 1
F (z) k1 k2 z-z1 z z2
本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换。
一、幂级数展开法
例6.3-1 已知象函数
z2) z2 z 2
1 ,0}
16 8 4 2
k 1
（3) F (z)的收敛域为 1 z 2故 f (为k)双边序列。
将 F(展z) 开为部分分式，有：
12
F(z)
z2
zz 3 3 , 1 z 2
(z 1)(z 2) z 1 z 2
因果序列象函数 反因果序列象函数
F1 ( z )
za
就可以求得展开式的原函数。
例6.3-3 已知象函数
z2 F(z)
(z 1)(z 2)
其收敛域分别为（1）z （2 2） z（ 13）1 z 2
分别求其原函数。 解 由象函数可见，其极点为 z1 1, 。z2 2 其展开式为
F(z)
z2
z
K1 K2
f2(k)
f1(k) (2k
3k ) (k 1) [2 ( 1 )k ] (k)
2
（2）F ( z )有共轭单极点
如果F (z) 有一对共轭单极点z1,2 c jd , 则可将 F (z) 展开为
z
F (z) Fa (z) Fb (z) K1 K2 Fb (z)
B(z)
z zA(z) z(zn am1zn1 a1z a0 ) ,m n 1
F (z) k1 k2 z-z1 z z2
天津大学计算机控制系统——第6.1课 (理解)计算机控制系统理论基础—采样与保持
1 e −Ts 1 − e −Ts = Gh 0( s ) = L [ g (t ) ] =− s s s
再令s=jw，得零阶保 1 − cos (ωT ) + j sin (ωT ) 1 − e − jωT − j = = h 0 ( jω ) 持器的频率特性为： G jω ω
sin (ωT ) − j 1 − cos (ωT ) =
本章要点总结
总结
1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 计算机控制系统的信号流程 采样定理 采样周期的选择 信号的恢复与保持 画出计算机控制系统信号流程，并说明。 采样周期的经验选择方法。 如何理解信号的恢复过程？ 零阶保持器存在哪些局限性？
作业
第六章 计算机控制系统理论基础
课程安排
• 与计算机控制系统相关的接口技术 • 计算机控制系统的输入输出通道 • 计算机控制数据预处理 • 计算机控制系统理论基础
讲课16学时
• 计算机控制系统分析 • 计算机控制系统设计（经典和现代）
计算机控制系统理论基础
本章结构 • 6.1 概述 • 6.2 采样与采样定理 • 6.3 信号的恢复与保持 • 6.4 Z变换和Z反变换 • 6.5 脉冲传递函数
模拟信号：定义在连续时间上的信号，且其幅值也是连续变
化的。
数字信号
计算机控制系统理论基础
本章结构 • 6.1 概述 • 6.2 采样与采样定理 • 6.3 信号的恢复与保持 • 6.4 Z变换和Z反变换 • 6.5 脉冲传递函数
6.2 采样与采样定理
1 什么是信号采样 把一个连续信号变为离散信号的过程成为采样
6.3 信号的恢复与保持
3 零阶保持器-幅相特性 其幅频特性和相频特性如图所示
《自动控制原理》z变换与z反变换
《自动控制原理》z变换与z反变换自动控制原理是一门研究系统动态特性与控制方法的学科，其中涉及到了很多数学工具和方法，其中之一就是z变换和z反变换。
本文将对z 变换和z反变换进行详细的解释和介绍。
z变换是一种非常重要的数学工具，它是离散时间信号和系统分析中的一种常用方法。
z变换的定义如下：X(z)=Z[x(n)]=∑[x(n)*z^(-n)]其中，x(n)为离散时间信号，X(z)为z变换后的结果，z为变量。
z变换可以将离散时间信号从时域转换到z域，从而可以更方便地进行分析和处理。
z变换可以将离散时间信号表示为有理函数的形式，从而可以用于求解离散时间系统的频率响应、系统稳定性等问题。
z变换的性质有很多，这里只介绍其中几个重要的性质。
首先是线性性质，即线性系统的z变换可以表示为输入信号和系统冲激响应的z变换的乘积。
其次是时移性质，即输入信号的z变换与输入信号z变换乘以z^(-n)的结果相等。
最后是共轭对称性质，即输入信号为实数序列时，其z变换的共轭对称性质。
在进行z变换的计算时，可以使用z变换的表格、z变换的性质以及z变换的逆变换来简化计算。
z变换的逆变换可以将z域的信号重新转换回时域的信号，其定义如下：x(n) = Z^(-1)[X(z)] = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，X(z)为z变换的结果，x(n)为z变换的逆变换结果。
z反变换可以将z域的信号转换为时域的信号，从而可以得到离散时间信号的具体数值。
z变换和z反变换在自动控制领域中有着广泛的应用。
例如，在系统建模和分析中，可以通过z变换将离散时间系统转换为z域的传递函数，从而可以方便地进行系统分析和控制器设计。
此外，在数字滤波器设计中，z变换也是一种常用的工具，可以将滤波器的差分方程转换为z域的传递函数，从而可以设计出满足要求的数字滤波器。
总结起来，z变换和z反变换是自动控制原理中的重要数学工具，可以方便地进行离散时间信号和系统的分析和处理。
第05讲_Z反变换
用幂级数展开法求解反变换
已知： X Z
1 3z
3 z 1
1 2
,
z 3
求它的 z反变换 x( n)
用幂级数展开法求解反变换
试用长除法求 X ( z )
1 , z 4 1 4 (4 z )( z ) 4
z
2
的z反变换
1 2
x(0) z x(1) z x( 2) z
在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n) 如收敛域为|z|>Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成z的负幂级数；降幂排列 如收敛域为|z|<Rx-，x(n) 为左边序列，则X(z)展成z的正幂级数；升幂排列
bi z i 1 ai z i
i 1 i 0 N
M
部分分式展开法
X(z)可以展成以下部分分式形式
r Ak Ck n X ( z ) Bn z 1 1 k n 0 k 1 1 z k z k 1 (1 z i z ) MN N r
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点, Zi为
X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：
A Re s[ X ( z ) ] z z zk k d r k 1 x( z ) C k ( z zi )r k r k ( r k )! dz z z z , k 1, 2r i
数字信号处理
主讲教师：沈晶
哈尔滨工程大学计算机科学与技术学院
第5讲：Z反变换
本讲内容
Z反变换
Z反变换的求解
Z反变换
已知X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的
z变换,反Z变换两部分补充PPT
Ak (1 z k z 1 ) X ( z )
Re s[
X ( z) , zk ] z
Z变换补充材料
15
逆Z变换
2、高阶极点 当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除 单极点外，在zi 处还有一个s阶的极点，则其展开式 修
Bk z k
1
j Im[ z ]
n
n
a z
Z平面 收敛域
0
a
Re[ z ]
为保证收敛，则
X ( z) 1
z 1 或 | z || a | a
1 z z 1 ( a ) z a | z | | a |
Z变换补充材料
3
Z变换的定义
例3：求序列 x (n)= 解： ( z ) X (1/3)|n| 的Z变换。
零点：0，极点：3，1/3
Z变换补充材料 4
Z变换的收敛域
Z变换的收敛域 对于任意给定的序列 x(n) ，使其Z变换收敛的所有 z值的集合称为 X (z ) 的收敛域。 其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：
n
x ( n) z n
1 1 1 收敛 不定 发散
根据级数收敛的阿贝尔定理
lim
n
an
n
对于不同的序列 x(n) ，可求得相应的收敛域。
5
Z变换补充材料
Z变换的收敛域
收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大， Z变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能除开z=0, z=。 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+···· |z|>0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(2)z2+···· |z|< 如果是右边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， |z|>也位于收敛域内。
6.1.4z变换 - z变换二性质(精品文档)
该性质是LTI系统z变换分析法的理论基础。
信信号号处处理理与与系系统统
（双边）
u(n 1) u(n 1)zn zn
n
n1
1
z
1
z 1
（单边） u(n 1) u(n) (n 1)
1
z 1 z1
1 1 z1
z 1
（双边）
信信号号处处理理与与系系统统
四、 z变换的性质
单、双边 z 变换的许多性质都相同，但也有一些显著不 同，我们将一起讨论其性质的同异。
0、共轭对称性 （单、双边）
若x(n) X (z) 收敛域R，则 x*(n) X *(z*) 收敛域R 当 x(n) 是实信号时，x*(n) x(n) 于是有
X (z) X *(z*)
表明如果 X (z)有复数零极点，必共轭成对出现。
信信号号处处理理与与系系统统
1、 x(n) X (z) 收敛域 r1 | z | r2
则 x(n n0 ) X (z)zn0 收敛域 r1 | z | r2
n0
n0
nanu(n) az1 (1 az1)2
| z || a |
信信号号处处理理与与系系统统
3、时域翻转 （双边）
(收敛域边界倒置)
若 x(n) X (z) 收敛域R，则 x(n) X (z1) 收敛域1/R
例2： 求 x(n) anu(n) 的z变换。
解:
若 x(n) X (z) 收敛域R，则 nx(n) z dX (z) 收敛域R dz
利用该性质可以方便地求出某些非有理函数X(z)的反变换， 或具有高阶极点的X(z)的反变换。
例1： 求 x(n) nanu(n) 的z变换
信信号号处处理理与与系系统统
（双边）
u(n 1) u(n 1)zn zn
n
n1
1
z
1
z 1
（单边） u(n 1) u(n) (n 1)
1
z 1 z1
1 1 z1
z 1
（双边）
信信号号处处理理与与系系统统
四、 z变换的性质
单、双边 z 变换的许多性质都相同，但也有一些显著不 同，我们将一起讨论其性质的同异。
0、共轭对称性 （单、双边）
若x(n) X (z) 收敛域R，则 x*(n) X *(z*) 收敛域R 当 x(n) 是实信号时，x*(n) x(n) 于是有
X (z) X *(z*)
表明如果 X (z)有复数零极点，必共轭成对出现。
信信号号处处理理与与系系统统
1、 x(n) X (z) 收敛域 r1 | z | r2
则 x(n n0 ) X (z)zn0 收敛域 r1 | z | r2
n0
n0
nanu(n) az1 (1 az1)2
| z || a |
信信号号处处理理与与系系统统
3、时域翻转 （双边）
(收敛域边界倒置)
若 x(n) X (z) 收敛域R，则 x(n) X (z1) 收敛域1/R
例2： 求 x(n) anu(n) 的z变换。
解:
若 x(n) X (z) 收敛域R，则 nx(n) z dX (z) 收敛域R dz
利用该性质可以方便地求出某些非有理函数X(z)的反变换， 或具有高阶极点的X(z)的反变换。
例1： 求 x(n) nanu(n) 的z变换
信号与系统-第6章
z3 2z2 1
zz 1z 0.5
,
z 1, 求 f(n).
解:
Fz
z
z3 2z2 1
z2z 1z 0.5
A1 z2
A2 z
A3 z 1
z
A4 0.5
其中
A2
ddzz2
Fz
z
z0
3z2 4z z1z0.5 z3 2z2 1z0.5z1
z12z0.52
z0 6
所以
Fz
6
2 z
8z z 1
σ>0
r>1,θ任意
② s 平面上的实轴映射为 z 平面的正实轴.
jω
Im[z]
1
σ
Re[z]
ω=0, s=σ θ=0, r任意
8
6.2 z 变换的基本性质
1. 线性 a1 f1n a2 f2 n a1F1z a2F2 z
例6-5：求 cos0nUn和 sin0nUn的 z 变换.
解: 欧拉公式 由指数变换:
① z 变换函数在收敛域内是解析函数, 且无任何极点.
② 有限长序列 z 变换的ROC为整个平面, 可能不包括 0 或∞.
③ 因果序列 z 变换的ROC为极点半径圆外.
④ 非因果序列 z 变换的ROC为极点半1 径2圆内.
⑤ 双边序列 z 变换的ROC为极点半径圆环内.
6
3. 常用信号的 z 变换
24
例6-15：已知 yn2yn1 f n
(1) 求H(z) 和 h(n), 并说明因果性与稳定性;
(2) 求因果系统 f(n)=U(n+1)时的零状态响应.
n
n0
由等比级数, 当 az1 1, 即 z a 时才收敛.
自动控制原理--z变换理论部分例题讲解
jn
j0
znE(z) 右
6.3 z变换理论
2. 实位移定理
② 超前定理
Ze(t
nT
)
zn
E(z)
n1
e(kT
)
z
k
k0
证：左 e(kT nT ) zk zn e(kT nT ) z(kn)
k0
k0
jkn
zn
e( jT ) z j
z
n
e( jT ) z j
n1
e(
E(z) 8 z 1 z 7 (z 0.8) 7 (z 0.1)
t
t
e(t ) (8 0.8T 0.1T ) / 7 e(nT ) (8 0.8n 0.1n ) / 7
e*(t ) (8 0.8n 0.1n ) / 7 (t n E(z)
e(0) e(1) z1 e(2) z2 e(3) z3
lim E(z) e(0)
z
例8
0.792 z2 E(z) (z 1)[z2 0.416z 0.208]
e(0) lim E(z) 0 z
6.3 z变换理论
5. 终值定理
lime(nT) lim (z 1) E(z)
e j nT e j nT
zn
1 (e jT z 1 )n (e jT z 1 )n 2 j n0
1 2j
1 1 e jT z 1
1
e
1
j T
z
1
1 2j
z z e jT
z z e jT
1
z(e jT e jT )
z sinT
2 j z 2 (e jT e jT )z 1 z2 2 cos T z 1
自动控制原理 ch 6-3 Z变换、6-4 数学模型
后向
ck a1ck 1 an1c k n 1 anck n
差分 b0rk b1rk 1 bm1rk m 1 bmrk m
差分方程的解
迭代法 已知差分方程，和输出序列的初值，递推
例：求解差分方程 ck 1 0.2ck 2rk ， 输入序列为 rk 1，初始条件为 c0 0。
0.5
3n
t
nT
n0
xn 0.51n 0.5 3n
题目
二、脉冲传递函数
——建立采样系统的离散数学模型。
r t Rs
Gs
ct C s
T
r t Rs
T
r*t RR*zs
Gs
ct Cs
Gz
c*t CC*zs
虚设的 理想采 样开关
返回
15
脉冲传递函数G(z)的定义
T
rt T Rs
r*t RR*zs
4 4 3n 1 0.5n
99
脉冲序列
e* t
n0
4 9
4 9
3n
1
0.5n
t
nT
上页
返回
9
z2 0.5
Res Ezz n1
z 0.5
2
1
1!
zn z
1
z 0.5zzn源自12n z n1
z 1
z 0.5
0.5n
1.52
n 0.5n1
1.5
4 0.5n 2 n 0.5 n1 4 3n 1 0.5n
z2 1.5z 0.5 0.5z 0.5z 0.75 0.25z1
0.75 0.25z1 0.75 1.125z1 0.375z2
0.875z1 0.375z2 0.875z1 1.3125 z2
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6.3.4 z反变换
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然 后通过求x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。这就 是z反变换。
1、幂级数法：（长除法）
Z变换函数，通常可表示为两个Z的多项式之比，一般可写成：
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
z a1 z nm
an
(m n)
z 1
设
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )
1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
的所有极点
F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
k 0
m k 1
dz
Res z
( k 1)
1 d r 1 r k 1 x( z ) lim ( z z ) z x( z ) i r 1 z zi (r 1)! dz
例6-7
已知z变换函数
z F ( z) ( z 1)(z e T )
求其z反变换。 解： 首先将
F ( z) 展成部分分式z
K K2 F ( z) 1 z z 1 z e T
1 z 1 K1 lim F ( z) z 1 1 e T z
z 1
res [ F ( z ) z k 1 ,2] lim( z 2) F ( z ) z k 1 10 2 k
z 2
所以
f (kT ) 10(2 k 1)
(k 0,1,2,)
3）三种z反变换法的比较
部分分式法通过Z变换表6-1可方便地求得
留数 x(t ,)
k 0
kT ( 1 e ) (t kT )
3、留数法：又称反演积分法。 – 由z变换的定义可知
F ( z ) f (kT ) z k
F ( z) z
m 1
k 0
f (kT ) z
k 0
m k 1
包围了
F ( z ) z k 1
其中Res[]表示函数的留数。 例6-8 已知z变换函数为
10z F ( z) ( z 1)(z 2)
试用围线积分方法求z反变换。
解：
F ( z ) z k 1
10z k ( z 1)(z 2)
res [ F ( z ) z k 1 ,1] lim( z 1) F ( z ) z k 1 10
i 1 n
先求出 X( z )的特征根，即将其分母分解因式，形如：
X( z )
在工程上，多有极点都是一阶极点的情况，即分母多项 式中无重根时，上式则可化为：
An A1 A2 X( z) z( ) z z1 z z2 z zn
其中系数 Ai ,可由式决定：
Ai (z zi ) X( z) z z zi
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然 后通过求x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。这就 是z反变换。
1、幂级数法：（长除法）
Z变换函数，通常可表示为两个Z的多项式之比，一般可写成：
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
z a1 z nm
an
(m n)
z 1
设
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )
1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
的所有极点
F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
k 0
m k 1
dz
Res z
( k 1)
1 d r 1 r k 1 x( z ) lim ( z z ) z x( z ) i r 1 z zi (r 1)! dz
例6-7
已知z变换函数
z F ( z) ( z 1)(z e T )
求其z反变换。 解： 首先将
F ( z) 展成部分分式z
K K2 F ( z) 1 z z 1 z e T
1 z 1 K1 lim F ( z) z 1 1 e T z
z 1
res [ F ( z ) z k 1 ,2] lim( z 2) F ( z ) z k 1 10 2 k
z 2
所以
f (kT ) 10(2 k 1)
(k 0,1,2,)
3）三种z反变换法的比较
部分分式法通过Z变换表6-1可方便地求得
留数 x(t ,)
k 0
kT ( 1 e ) (t kT )
3、留数法：又称反演积分法。 – 由z变换的定义可知
F ( z ) f (kT ) z k
F ( z) z
m 1
k 0
f (kT ) z
k 0
m k 1
包围了
F ( z ) z k 1
其中Res[]表示函数的留数。 例6-8 已知z变换函数为
10z F ( z) ( z 1)(z 2)
试用围线积分方法求z反变换。
解：
F ( z ) z k 1
10z k ( z 1)(z 2)
res [ F ( z ) z k 1 ,1] lim( z 1) F ( z ) z k 1 10
i 1 n
先求出 X( z )的特征根，即将其分母分解因式，形如：
X( z )
在工程上，多有极点都是一阶极点的情况，即分母多项 式中无重根时，上式则可化为：
An A1 A2 X( z) z( ) z z1 z z2 z zn
其中系数 Ai ,可由式决定：
Ai (z zi ) X( z) z z zi