7-1描述函数法

0,| x |≤ a y = k(x − a), x > a k(x + a), x < −a
3. 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起 而是在输入—输出曲线上出现闭合环路 输出曲线上出现闭合环路。 ，而是在输入 输出曲线上出现闭合环路。又称为间 隙特性。 隙特性。
由非线性环节描述函数的定义可以看出： 由非线性环节描述函数的定义可以看出： (1) 描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用 描述函数类似于线性系统中的频率特性， 描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作 一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。 一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。 (2) 描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传 递能力。 递能力。
y(t) ≈ y1(t) = A cosωt + B sinωt = Y sin(ωt +ϕ1) 1 1 1 式中 A= 1 B= 1
π∫ π∫
1
1
2π
0 2π
y(t)cosωtd (ωt ) y(t)sinωtd (ωt )
0
2 Y = A1 + B12 1
A ϕ1 = arctan 1 B 1
14
（4）计算机求解法 ）
用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程， 用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程 ， 对于 11 分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。 分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。
※7.2
描述函数
7.2.1 描述函数的定义 1. 描述函数的应用条件 （1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环 ） 和一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 串联的闭环结构。 节N和一个线性部分 和一个线性部分 串联的闭环结构
1 x(t) x0>1 x0<1
设t = 0，系统的初始状态为 0 0 ，系统的初始状态为x
dx = dt x( x − 1)
x0 e −t x(t ) = 1 − x 0 + x 0 e −t
x0 t ln x 1 0−
7
相应的时间响应随初始条件而 变。 当x0 >1，t <lnx0/(x0 −1) 时，随t 1 ， 增大， 递增； 增大，x(t) 递增；t = lnx0 /(x0 −1) 为无穷大。 时，x(t)为无穷大。 为无穷大
6
7.1.2 非线性系统的若干特征
由于上述非线性特性的存在， 与线性系统相比， 由于上述非线性特性的存在 ， 与线性系统相比 ， 非线性系统具有如下特点： 非线性系统具有如下特点： （1）稳定性的复杂性。 ）稳定性的复杂性。 （2）可能存在自激振荡现象 。 ） （3）频率响应。 ）频率响应。
& x = x 2 − x = x( x − 1)
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。 该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。 当扰动使x<1时，因为−ρ(1−x2 )<0，系统具有负阻 当扰动使 时 因为− − ， 此时系统从外部获得能量， 的运动呈发散形式 的运动呈发散形式； 尼，此时系统从外部获得能量，x(t)的运动呈发散形式； 当x>1时，因为−ρ(1−x2 )>0，系统具有正阻尼，此 时 因为− − ，系统具有正阻尼， 时系统消耗能量， 的运动呈收敛形式； 时系统消耗能量 ， x(t)的运动呈收敛形式 ； 而当 的运动呈收敛形式 而当x=1时 ， 时 系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 系统为零阻尼 ， 系统运动呈等幅振荡形式 。 上述分析 表明， 系统能克服扰动对x的影响 保持幅值为1的等 的影响， 表明 ， 系统能克服扰动对 的影响 ， 保持幅值为 的等 9 幅振荡。 幅振荡。
非线性系统对于正弦输入信号的响应则比较复杂， 非线性系统对于正弦输入信号的响应则比较复杂， 会产生一些比较奇特的现象。 会产生一些比较奇特的现象。例如跳跃谐振和多值响 波形畸变、倍频振荡和分频振荡等。 应、波形畸变、倍频振荡和分频振荡等。 考虑有名的杜芬方程
& m&& + fx + k1 x + k 3 x 3 = p cos ωt x
第七章 非线性系统
内容提要 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 典型非线性特性 描述函数 描述函数法 相平面法 非线性系统的相平面法分析
学习指导与小结
1
※7.1 典型非线性特性 7.1
前面各章研究的都是线性系统， 前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线 性系统，仍可进行线性化处理。从而可视为线性系统。 性系统，仍可进行线性化处理。从而可视为线性系统。 事实上，几乎所有的实际控制系统， 事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带 有某种程度的非线性、系统中只要具有一个非线性环 有某种程度的非线性、 就称为非线性系统。 节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是 非线性系统。 非线性系统。本章将主要讨论关于非线性系统的基本 概念，以及两种基本分析方法： 概念，以及两种基本分析方法：描述函数法和相平面 法。
5
y b 0 -b x -a
y b 0 -b a x -a
y百度文库
b
0 -b
a
x
(1) 若a＝0，称这种特性为理想继电器特性所示。 ＝ ，称这种特性为理想继电器特性所示。 (2) 若m=1，称为死区继电器特性。 ，称为死区继电器特性。 (3) 若m=-1，滞环继电器特性。 ，滞环继电器特性。 实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。 实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。
M -a k 0 -M 饱和特性在控制系统中是普遍存在的， 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节 器就具有饱和特性。 器就具有饱和特性。
3
a
x
2．死区特性 ． 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号， 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但 其输出为零。 其输出为零。
y k -a 0 a x
（3）相平面法（本质非线性） ）相平面法（本质非线性）
相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。 相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相 平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。 平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。 这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。 这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。
x 1
6 5 3
2
4
ω
10
7.1.3 非线性系统的分析方法
到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟， 到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构， 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及 初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种： 初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：
r(t)=0 x y N G(s) c(t)
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的。 ）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。 ）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。
12
2.描述函数的定义 描述函数的定义 设系统的非线性环节输入信号是正弦信号 x(t) = Asinωt 则其输出一般为周期性的非正弦信号， 则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅 氏级数 ∞ y(t) = A + ∑( An cos nωt + Bn sin nωt) 0
π∫
2
π
0
y(t)sinωtd (ωt )
π∫
M sinωtd(ωt) =
π
sinωt
所以基波分量为
π 故理想继电器特性的描述函数为
Y 4M 1 N( A) = ∠ϕ1 = A πA
y1(t) =
4M
的相位角为零度,幅值是输入正弦信号 的函数. 即 N(A)的相位角为零度 幅值是输入正弦信号 的函数 的相位角为零度 幅值是输入正弦信号A的函数
n= n=1
非线性环节奇对称，则有 非线性环节奇对称，则有A0=0
An = Bn =
π∫ π∫
1
1
2π
0 2π
y(t)cos nωtd (ωt ) y(t)sin nωtd (ωt )
13
0
由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高， 由于在傅氏级数中 越大，谐波分量的频率越高，An, 越大 越小。此时若系统又满足第三个条件， Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波 分量又进一步被充分衰减， 分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳 态输出只含基波分量， 态输出只含基波分量，即
0
x(t) x0>1 x0<1
递减并趋于0。 当x0<1时，x(t) 递减并趋于 。 时
x0 t ln x −1 0
由上例可见，初始条件不同， 由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 非线性系统的稳定性不仅与 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。 系统的初始条件有直接的关系 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。
类似于线性系统中频率特性的定义， 类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元 件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义 为非线性环节的描述函数， 来表示。 为非线性环节的描述函数，用N(A)来表示。 来表示
2 A1 + B12 Y jϕ1 A 1 ∠arctan 1 N( A) = e = A A B 1
4
y b -a 0 -b a x
k(x − asignx) y ≠ 0 y = bsignx y =0
4 继电器特性
y b -a -ma 0 ma -b a
−ma < x < a, x > 0 0 −a < x < ma, x < 0 0 y = bsignx | x |> a x b x ≥ ma, x < 0 −b x ≥ −ma, x > 0
2
7.1 典型非线性特性
在控制系统中， 在控制系统中 ，若控制装置或元件其输入输出 间的静特性曲线，不是一条直线， 间的静特性曲线 ， 不是一条直线 ， 则称为非线性特 性 。 如果这些非线性特性不能采用线性化的方法来 处理，称这类非线性为本质非线性。 处理 ， 称这类非线性为本质非线性 。 为简化对问题 的分析， 的分析 ， 通常将这些本质非线性特性用简单的折线 y 来代替，称为典型非线性特性。 来代替，称为典型非线性特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类 1．饱和特性
15
7.2.2 描述函数的求法
（1）首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输 ）首先由非线性静特性曲线， 入下的输出波形，并写出输出波形y(t)的数学表达式 的数学表达式。 入下的输出波形，并写出输出波形 的数学表达式。 的基波分量。 （2）利用傅氏级数求出 ）利用傅氏级数求出y(t) 的基波分量。 （3）将求得的基波分量代入定义式，即得 ）将求得的基波分量代入定义式，即得N(A). 下面计算几种典型非线性特性的描述函数。 下面计算几种典型非线性特性的描述函数。 1. 理想继电器特性
y M 0 x
16
y M 0 x M 0
y
π
2π
ωt
0
x
π
由于输出周期方波信号是奇函 数，则傅氏级数中的直流分量 与基波余弦分量的系数为零A 与基波余弦分量的系数为零 0 = A1= 0，而基波正弦分量的系 ， 数B1为
2π ωt
17
B= 1 = 2
π∫
π
0
1
2π
0
y(t)sinωtd (ωt ) = 4M
8
所谓自激振荡 自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定运动， 时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定运动， 简称自振。 简称自振。 考虑著名的范德波尔方程
&& − 2 ρ (1 − x 2 ) x + x = 0 ρ >0 & x
（1）小偏差线性化（非本质非线性） ）小偏差线性化（非本质非线性） （2）描述函数法（本质非线性） ）描述函数法（本质非线性）
这是一种频域分析方法， 其实质是应用谐波线性化的方法， 这是一种频域分析方法 ， 其实质是应用谐波线性化的方法 ， 将非线性特性线性化， 然后用频率法的结论来研究非线性系统。 将非线性特性线性化 ， 然后用频率法的结论来研究非线性系统 。 它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广， 它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广 ， 这种方法不 受系统阶次的限制。 受系统阶次的限制。