7-1描述函数法

非线性系统对于正弦输入信号的响应则比较复杂， 非线性系统对于正弦输入信号的响应则比较复杂， 会产生一些比较奇特的现象。 会产生一些比较奇特的现象。例如跳跃谐振和多值响 波形畸变、倍频振荡和分频振荡等。 应、波形畸变、倍频振荡和分频振荡等。 考虑有名的杜芬方程
& m&& + fx + k1 x + k 3 x 3 = p cos ωt x
r(t)=0 x y N G(s) c(t)
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的。 ）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。 ）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。
12
2.描述函数的定义 描述函数的定义 设系统的非线性环节输入信号是正弦信号 x(t) = Asinωt 则其输出一般为周期性的非正弦信号， 则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅 氏级数 ∞ y(t) = A + ∑( An cos nωt + Bn sin nωt) 0
0,| x |≤ a y = k(x − a), x > a k(x + a), x < −a
3. 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起 而是在输入—输出曲线上出现闭合环路 输出曲线上出现闭合环路。 ，而是在输入 输出曲线上出现闭合环路。又称为间 隙特性。 隙特性。
0
x(t) x0>1 x0<1
递减并趋于0。 当x0<1时，x(t) 递减并趋于 。 时
x0 t ln x −1 0
由上例可见，初始条件不同， 由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 非线性系统的稳定性不仅与 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。 系统的初始条件有直接的关系 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。
8
所谓自激振荡 自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定运动， 时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定运动， 简称自振。 简称自振。 考虑著名的范德波尔方程
&& − 2 ρ (1 − x 2 ) x + x = 0 ρ >0 & x
y M 0 x
16
y M 0 x M 0
y
π
2π
ωt
0
x
π
由于输出周期方波信号是奇函 数，则傅氏级数中的直流分量 与基波余弦分量的系数为零A 与基波余弦分量的系数为零 0 = A1= 0，而基波正弦分量的系 ， 数B1为
2π ωt
17
B= 1 = 2
π∫
π
0
1
2π
0
y(t)sinωtd (ωt ) = 4M
x 1
6 5 3
2
4
ω
10
7.1.3 非线性系统的分析方法
到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟， 到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构， 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及 初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种： 初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：
5
y b 0 -b x -a
y b 0 -b a x -a
y
b
0 -b
a
x
(1) 若a＝0，称这种特性为理想继电器特性所示。 ＝ ，称这种特性为理想继电器特性所示。 (2) 若m=1，称为死区继电器特性。 ，称为死区继电器特性。 (3) 若m=-1，滞环继电器特性。 ，滞环继电器特性。 实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。 实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。
4
y b -a 0 -b a x
k(x − asignx) y ≠ 0 y = bsignx y =0
4 继电器特性
y b -a -ma 0 ma -b a
−ma < x < a, x > 0 0 −a < x < ma, x < 0 0 y = bsignx | x |> a x b x ≥ ma, x < 0 −b x ≥ −ma, x > 0
M -a k 0 -M 饱和特性在控制系统中是普遍存在的， 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节 器就具有饱和特性。 器就具有饱和特性。
3
a
x
2．死区特性 ． 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号， 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但 其输出为零。 其输出为零。
y k -a 0 a x
（4）计算机求解法 ）
用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程， 用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程 ， 对于 11 分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。 分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。
※7.2
描述函数
7.2.1 描述函数的定义 1. 描述函数的应用条件 （1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环 ） 和一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 串联的闭环结构。 节N和一个线性部分 和一个线性部分 串联的闭环结构
15
7.2.2 描述函数的求法
（1）首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输 ）首先由非线性静特性曲线， 入下的输出波形，并写出输出波形y(t)的数学表达式 的数学表达式。 入下的输出波形，并写出输出波形 的数学表达式。 的基波分量。 （2）利用傅氏级数求出 ）利用傅氏级数求出y(t) 的基波分量。 （3）将求得的基波分量代入定义式，即得 ）将求得的基波分量代入定义式，即得N(A). 下面计算几种典型非线性特性的描述函数。 下面计算几种典型非线性特性的描述函数。 1. 理想继电器特性
第七章 非线性系统
内容提要 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 典型非线性特性 描述函数 描述函数法 相平面法 非线性系统的相平面法分析
学习指导与小结
1
※7.1 典型非线性特性 7.1
前面各章研究的都是线性系统， 前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线 性系统，仍可进行线性化处理。从而可视为线性系统。 性系统，仍可进行线性化处理。从而可视为线性系统。 事实上，几乎所有的实际控制系统， 事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带 有某种程度的非线性、系统中只要具有一个非线性环 有某种程度的非线性、 就称为非线性系统。 节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是 非线性系统。 非线性系统。本章将主要讨论关于非线性系统的基本 概念，以及两种基本分析方法： 概念，以及两种基本分析方法：描述函数法和相平面 法。
由非线性环节描述函数的定义可以看出： 由非线性环节描述函数的定义可以看出： (1) 描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用 描述函数类似于线性系统中的频率特性， 描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作 一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。 一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。 (2) 描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传 递能力。 递能力。π∫2 Nhomakorabeaπ
0
y(t)sinωtd (ωt )
π∫
M sinωtd(ωt) =
π
sinωt
所以基波分量为
π 故理想继电器特性的描述函数为
Y 4M 1 N( A) = ∠ϕ1 = A πA
y1(t) =
4M
的相位角为零度,幅值是输入正弦信号 的函数. 即 N(A)的相位角为零度 幅值是输入正弦信号 的函数 的相位角为零度 幅值是输入正弦信号A的函数
（3）相平面法（本质非线性） ）相平面法（本质非线性）
相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。 相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相 平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。 平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。 这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。 这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。
n= n=1
非线性环节奇对称，则有 非线性环节奇对称，则有A0=0
An = Bn =
π∫ π∫
1
1
2π
0 2π
y(t)cos nωtd (ωt ) y(t)sin nωtd (ωt )
13
0
由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高， 由于在傅氏级数中 越大，谐波分量的频率越高，An, 越大 越小。此时若系统又满足第三个条件， Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波 分量又进一步被充分衰减， 分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳 态输出只含基波分量， 态输出只含基波分量，即
（1）小偏差线性化（非本质非线性） ）小偏差线性化（非本质非线性） （2）描述函数法（本质非线性） ）描述函数法（本质非线性）
这是一种频域分析方法， 其实质是应用谐波线性化的方法， 这是一种频域分析方法 ， 其实质是应用谐波线性化的方法 ， 将非线性特性线性化， 然后用频率法的结论来研究非线性系统。 将非线性特性线性化 ， 然后用频率法的结论来研究非线性系统 。 它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广， 它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广 ， 这种方法不 受系统阶次的限制。 受系统阶次的限制。
6
7.1.2 非线性系统的若干特征
由于上述非线性特性的存在， 与线性系统相比， 由于上述非线性特性的存在 ， 与线性系统相比 ， 非线性系统具有如下特点： 非线性系统具有如下特点： （1）稳定性的复杂性。 ）稳定性的复杂性。 （2）可能存在自激振荡现象 。 ） （3）频率响应。 ）频率响应。
& x = x 2 − x = x( x − 1)
2
7.1 典型非线性特性
在控制系统中， 在控制系统中 ，若控制装置或元件其输入输出 间的静特性曲线，不是一条直线， 间的静特性曲线 ， 不是一条直线 ， 则称为非线性特 性 。 如果这些非线性特性不能采用线性化的方法来 处理，称这类非线性为本质非线性。 处理 ， 称这类非线性为本质非线性 。 为简化对问题 的分析， 的分析 ， 通常将这些本质非线性特性用简单的折线 y 来代替，称为典型非线性特性。 来代替，称为典型非线性特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类 1．饱和特性
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。 该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。 当扰动使x<1时，因为−ρ(1−x2 )<0，系统具有负阻 当扰动使 时 因为− − ， 此时系统从外部获得能量， 的运动呈发散形式 的运动呈发散形式； 尼，此时系统从外部获得能量，x(t)的运动呈发散形式； 当x>1时，因为−ρ(1−x2 )>0，系统具有正阻尼，此 时 因为− − ，系统具有正阻尼， 时系统消耗能量， 的运动呈收敛形式； 时系统消耗能量 ， x(t)的运动呈收敛形式 ； 而当 的运动呈收敛形式 而当x=1时 ， 时 系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 系统为零阻尼 ， 系统运动呈等幅振荡形式 。 上述分析 表明， 系统能克服扰动对x的影响 保持幅值为1的等 的影响， 表明 ， 系统能克服扰动对 的影响 ， 保持幅值为 的等 9 幅振荡。 幅振荡。
y(t) ≈ y1(t) = A cosωt + B sinωt = Y sin(ωt +ϕ1) 1 1 1 式中 A= 1 B= 1
π∫ π∫
1
1
2π
0 2π
y(t)cosωtd (ωt ) y(t)sinωtd (ωt )
0
2 Y = A1 + B12 1
A ϕ1 = arctan 1 B 1
14
类似于线性系统中频率特性的定义， 类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元 件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义 为非线性环节的描述函数， 来表示。 为非线性环节的描述函数，用N(A)来表示。 来表示
2 A1 + B12 Y jϕ1 A 1 ∠arctan 1 N( A) = e = A A B 1
1 x(t) x0>1 x0<1
设t = 0，系统的初始状态为 0 0 ，系统的初始状态为x
dx = dt x( x − 1)
x0 e −t x(t ) = 1 − x 0 + x 0 e −t
x0 t ln x 1 0−
7
相应的时间响应随初始条件而 变。 当x0 >1，t <lnx0/(x0 −1) 时，随t 1 ， 增大， 递增； 增大，x(t) 递增；t = lnx0 /(x0 −1) 为无穷大。 时，x(t)为无穷大。 为无穷大