巧用轴对称 构等腰三角形解题

巧用轴对称 构等腰三角形解题

在几何解题中,若遇有高线、角平分线、线段的垂直平分线,可根据图形的轴对称性,巧妙

构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够迅速找到解题途径,直观易懂,简捷明

快.这样不仅能使问题化难为易,迎刃而解,而且有助于同学们创新思维的培养.现略举几例析

解如下,供同学们参考:

一、图形含有垂线（或高线）, 以垂线（或高线）为对称轴构等腰三角形

例1.如图1,已知AD ⊥BC 于点D,且∠B=2∠C,试说明AB+BD=DC

分析:因为AD ⊥BC,以AD 为对称轴进行变换,点B 的对称点E 必落在BC 上,

连AE,则△ABE 为等腰三角形,根据等腰三角形的性质使问题迎刃而解.

解:因为AD ⊥BC,以AD 为对称轴进行变换,点E 为点B 的对称点.

连AE,则△ABE 为等腰三角形,所以∠AEB=∠B=2∠C,且DB=DE.

因为∠AEB=∠C+∠CAE,而∠AEB=2∠C,所以∠C=∠CAE,从而AE=CE.因此 图1

AB=AE=EC

所以AB+BD=EC+DE=DC.

二、图形含有角平分线, 以角平分线为对称轴构等腰三角形

例2.如图2,等腰Rt △ABC 中,∠A=900,∠B 的平分线交AC 于D,过C 作BD 的垂

线交BD 的延长线于E,,试说明::BD=2CE 分析:因为BE 是∠ABC 的平分线,且BE ⊥CE,以BE 为对称轴进行变换,点C 的

对称点必是BA 和CE 的延长线的交点F,,则△BCF 为等腰三角形,根据等腰三角形的

性质可使问题巧妙获解. 图2

解:因为BE 是∠ABC 的平分线,且BE ⊥CE,以BE 为对称轴进行变换,点C 的对称点则为

BA 和CE 的延长线的交点F,,则△BCF 为等腰三角形.

所以CE=EF ，即CF=2CE ，

在△ABD 和△ACF 中,因为∠BAD=∠CAF=Rt ∠, AB=AC, ∠ABD=900-∠F=∠ACF

所以△ABD ≌△ACF(ASA),

所以BD=CF=2CE(全等三角形的对应边相等)

三、图形含有线段的垂直平分线, 以垂直平分线为对称轴构等腰三角形

例3.如图3,在△ABC 中,AB=AC,∠A=1200,AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点

D,

试说明BD=2

1CD 分析:因为DE 是线段AB 的垂直平分线,以DE 为对称轴进行变换,点B 的

对称点必为点A,,连AD,则△ABD 为等腰三角形,根据等腰三角形的性质可使问 题迅捷获解.

解:DE 为线段AB 的垂直平分线,连AD,则△ABD 为等腰三角形. 图3

因为AB=AC ，∠A=1200，所以∠B=∠C=300，

因为△ABD 为等腰三角形，BD=AD ．则∠BAD=∠B=300，

从而∠DAC=900，又∠C=300，所以AD=21CD ，而BD=AD ，所以BD=2

1CD. 评注:根据图形的轴对称,巧妙构造等腰三角形,可迅速找到解题途径,构思新颖,方法独特,

不仅能使问题化难为易,迎刃而解,而且有助于培养同学们探索求新的学习习惯,提高数学思

维能力和几何解题能力．