构造全等三角形的方法专题

知识体系

利用三角形全等是证明线段或角相等的重要方法之一，但有时不能直接应用，就需要根据条件，通过作辅助线的方法构造全等三角形。构造全等三角形的方法主要有：中线倍长，截长补短，翻折，作平行线或垂线。

（1）遇到与中点有关的条件时，通常将过中点的线段延长一倍，构造 字形全等三角形。

（2）证一条线段等于另外两条线段和或差时，通常在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段中的某一条，（此谓之“截长”），或将两条较短的线段转化到一条线段上，（此谓之“补短”）注意：不管是截长还是补短，都要证明截取或补上的线段所在的三角形与另一个对应三角形全等。

（3）遇角平分线时，通常用翻折构造全等或向角两边作垂线构造全等。

例题选讲

例1如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,M 是BC 的中点,过M 作MF ∥AD 交BA 的延长线于F ,交AC 于P ,求证:CP =BF =21(AB +AC )

例2如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，M 为AB 上一动点，N 为AC 上一动点，且∠MDN =90°.

（1）求证：BM +CN ＞MN ；

F

P M

D C B A A M N C B D

（2）若M在AB的延长线上，N在CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由；

（3）若点M在BA的延长线上，点N在AC的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由。

例3如图，在四边形ABCD中，AD=DC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°

变形1，如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC，求证：AD=DC

变形2，如图，在四边形ABCD中，DE⊥BC于E，BD平分∠ABC，若BE=1

2

（AB+AC），求证：∠A+∠C=180°

A

C

B

D

M

B

A

C

N

A

D

C B

A

D

C

B

A

D

C

B E

变形3，如图，在四边形ABCD 中，DE ⊥BC 于E ，BD 平分∠ABC ，若∠A +∠C =180°，

求证：BE =12

（AB +BC ）

例4已知AM ∥BN ，AC 平分∠MAB ，BC 平分∠NBA

① 过C 作直线DE ，分别交AM 、BN 于点D 、E ，求证：AB =AD +BE ；

② 将直线绕C 转动，使DE 与AM 交于点D ，与NB 的延长线交于点E ，则AB 、AD 、BE 三条线段是否存在确定的数量关系？

例5已知如图，在正方形ABCD 中AB =AD ，∠B ＝∠D ＝90°．

（1）如果BE ＋DF ＝EF ，求证：①∠EAF ＝45°；②FA 平分∠DFE ．

（2）如果∠EAF ＝45°，求证： BE ＋DF ＝EF ．

A B C D

E M N A B C D E M N A B C

D E F A D C

B

E

A C

B F D

（3）如果点F 在DC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，满足（1）的条件，则（1）中结论是否仍然成立？ 巩固练习

1．已知: 如图, AD 为△ABC 的中线, 且∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. 求证: BE ＋CF ＞EF

说明：有角平分线时常在角两边截相等的线段, 构造全等三角形.

2．已知，如图，△ABC （AB ≠AC ）中，D 、E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ，求证：AE 平分∠BAC 。

3．如图, 梯形ABCD 中, AD ∥BC , E 是

CD 的中点, AE 平分∠BAD , AE ⊥BE .

(1) 求证：BE 平分∠ABC ；

(2) 求证：AD ＋BC ＝AB ；

(3) 若S △ABE ＝4, 求梯形ABCD 的面积.

4．（1）如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，求证：AD ＜

21(AB ＋AC )

（2）已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．

1． 已知：如图，AB ⊥AD ，AC ⊥AE ，AB =AC ，AD =AE .。 求证：（1）BD =CE ；（2）AF 平分∠BFE .

A B C

D E F A B C D A

E D

F C B

5．如图，AB ∥CD ，AB =AC +CD ，点E 为BD 中点.

（1）求证：AE ⊥CE ；

（2）若AB =3CD ，S △DCE =1，求四边形ABCD 的面积.

6．正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE ＝2∠DAM 。 求证：AE ＝BC ＋CE ．

B A D

C E A

B C

D E M