高等数学第二节初等函数

x u f y
自变量
中间变量 因变量
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx.
则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), u=(x)=sinx，能否构成
复合函数？
因u=sinx的值中,不能使y=lg(u-2)有意义， 所以 它们不能构成复合函数
税率（%） 3 10 20
写出个人月收入x （不大于12500元）元与应缴纳税款y元 之间的关系，当某人月收入为6500元时，应缴纳多少税款？
解： 依此可以列出下面的函数关系：
0,
0 x 3500
y
(x (x
-
3500) 3500)
都是初等函数。
y
3 3x tan 5x x3 sin x - 2-x
今后我们所讨论的函数，绝大多数都是初等函数。
四、函数关系举例
1.如何选择通信公司
小王买部手机想入网，他得知：中国联通130网的收费标准 是：月租费30元，每月来电显示6元，本地通话每分钟0.4元； 中国移动“神州行”储值卡的收费标准是：本地通话每分钟 0.6元，月租费和来电显示费全免，小王相拥有来电服务，请 问他如何选择？
第二节初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数 四、建立函数关系举例
一、基本初等函数
1 、常数函数 y C y
O
yc
x
函数定义域为R，只有一个函数值
1.1 函数
2、幂函数
y x y
y x2
1
(是常数)
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
随着而不同，但在(0, )中都有定义；经过点 (1,1)， 在(0, )内当 0时，x为增函数； 0时，x为减函数
y y=cot x
-
2
O
2

x
函数图象关于原点对称，是奇函数；
是周期函数，周期为 ；
当 x (k , k ), k Z 时， 是单调递减的。
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数 y csc x
y csc x
6、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x, x [-1,1]
2.我国工薪人员应缴纳多少税
根据最新修订的《中华人民共和国个人所得税法（修正案）》规定：个人所 得税起征点自 2011 年 9 月 1 日起由 2000 元提高到 3500 元，应纳税所得额=扣 除三险一金后月收入 —3500
个人所得税税率表(表中仅保留原表中的前 3 级税率)
级数 1 2 3
全月应纳税所得额（超过 3500 元的数额） 不超过 1500 元的部分 超过 1500 元到 4500 元的部分 超过 4500 元至 9000 元的部分
反函数图象关于原点对称， 是奇函数； 是单调增函数； arcsin x ，是有界函数。
2
反余弦函数 y arccos x, x [-1,1]
是单调减函数；
0 arccos x ，是有界函数。
反正切函数 y arctan x
反正切函数图象关于原点对称， 是奇函数； 是单调增函数； arctan x ， 是有界函数。
因此气压表的读数y是通过高度h和时间t建立起函数关系
y=f[g(t)] 称为复合函数， 其中h是中间变量，t是自变量
设 y u, u 1- x2,
y 1- x2
定义: 设函数 y f (u),其中u ( x)， 且(x) 的
值的全部或部分落在 f(u)的定义域内, 则称函数
y f [( x)]为 x的复合函数，而 u 为中间变量
解
y y 设通话x分钟，中国联通收费 1 元，中国移动收费 2 元
则
y1 36 0.4x, y2 0.6x
令y1 y2，得x 180
即如果他每月通话180分钟，可随意选择一处
当x 180，y1 y2，
即如果他每月通话大于180分钟，应选择中国联通
当x 180，y1 y2，
即如果他每月通话小于180分钟，应选择中国移动
函数图象关于 y 轴对称，是偶函数；
是周期函数，周期为 2 ；
cos x 1，是有界函数。
正切函数： y=tan x
y
y=tan x
-
2
O
2
函数图象关于原点对称，是奇函数；
是周期函数，周期为 ；
当 x (k - , k ), k Z 时，
x 是单调增加的。2
2
余切函数： y=cot x
0
0 a 1 (2)图像在y轴右侧，且过点(1,0)
(3)当a 1时，y loga x为增函数； 当0 a 1时，y loga x为减函数
5、三角函数
正弦函数： y=sin x
函数图象关于原点对称，是奇函数；
是周期函数，周期为2 ；
sin x 1,是有界函数。
余弦函数： y=cos x
例3. 指出下列复合函数的结构
（1） y cos2 x
（2） y
（3） y sin x 1
cot x 2
解 : （1） y u 2， u cos x
（2）
y
u，
u cot，
x
2
（3） y sin u,u v, v x 1
注意: （1）不是任何两个函数都可以复合成一 个复合函数的; Z Df ——复合条件
2
反余切函数 y arccot x
是单调减函数； 0 arccot x ，是有界函数。
二、复合函数
在实际问题中，因变量与自变量的关系不是直接的，
而是通过一个或几个变量联系起来的。 引 飞机例在飞行时，气压表的读数y是飞机离地面高度h 的函：数y=f(h), 而飞机的高度h又是飞行时间的函数h=g(t).
（2）复合函数可以由两个以上的函数复合 而成. （3）分析一个复合函数的复合过程时，
每个层次都应是基本初等函数或基本初等 函数的四则运算式，这时不再分解了。
三、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 表示的函数,称为初等函数.
例如： y ln 5x - 3x
3、指数函数 y a x (a 0, a 1)
0 a 1
a 1
y ex
0
图形在x轴上方，且都过点(0,1) 当0 a 1时，ax为减函数； 当a 1时，ax为增函数
4、对数函数y loga x (a 0, a 1) y ln x
a 1 （1）与y ax , (a 0, a 1) 互为反函数