常微分方程试卷与答案

2010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 AB 卷答案

理学 院 年级 信息与计算科学 专业

填空题（每题4分，共20分）

1. 形如)()('x Q y x P y += （)(),(x Q x P 连续）的方程是 一阶线性微分 方程，它的通解为⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎰+⎰-⎰

=c dx dx

x P e x Q dx x P e y )()()( . 2. 形如0y y '''-=的方程是 3 阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310λ-=.

3. 形如1

111110n n n

n n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx

----++++=L L 的方程为 欧拉 方程, 可通过变换t x e =把它转化成常系数方程.

4. 2

(1)0,y dx x dy ++= 满足初始条件：x =0,

y =1的特解1

1ln 1y x

=

++

5．5.微分方程0000(,),(),:,dy

f x y y x y R x x a y y b dx

==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是:

(,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件

一、下列微分方程的解（每题5分，共30分） 1．

dx dy =2)

(1y x + 解：令x+y=u ,则

dx dy =dx

du

-1 (3)

dx du -1=21

u

u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. (5)

2．()()053243

=+++xdy ydx y xdy ydx x

解：两边同乘以y x 2得：

()()

0532*******

=+++ydy x dx y x ydy x dx y x

(3)

()()

05324=+y x d y x d

故方程的通解为：c y x y x =+5324

(5)

3．2

⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=dx dy y x

解：令

p dx

dy

=，则2p x y +=， 两边对x 求导，得

dx

dp p

p 21+=

p

p dx dp 21-=， (3)

解之得 ()c p p x +-+=2

1ln 2，

所以()c p p p y +-++=2

21ln 2， (4)

且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.

(5)

4. 04)5(='''-x x

解：特征方程0435=-λλ

有三重根0=λ，42λ=，52λ=- ............................3 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=- . (5)

5. 4523x x x t ''''''--=+

解：特征方程32450λλλ--=有根=1λ0,231,5λλ=-=

齐线性方程的通解为x=5123t t c e c e c t -++ (3)

又因为=λ0是特征根，故可以取特解行如2x

At Bt =+%代入原方程解得A=14

25

，

B=2

5- (4)

故通解为x=521232

5

t t c e c e c t t -++- (5)

6. 2

ln 0,xy y y '-=初值条件:y(1)=e

解: 原方程可化为

ln dy y y dx x

= ………………………1 分离变量可得

ln dy dx y y x

= ...........................................................3 两边积分可得ln y cx = ...........................................................4 将初值代入上式求得方程的解: ln 2y x = . (5)

二、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）

1．求一曲线，使其任一点的切线在OY 轴上的截距等于该切线的斜率. 解： 设(,)p x y 为所求曲线上的任一点，则在p 点的切线l 在Y 轴上的截距为：

dy

y x

dx - ……………………….3 由题意得 dy

y x

x dx

-= 即

1

1dy y dx x

=- 也即 ydx xdy dx -+=- 两边同除以2x ，得

2

ydx xdy dx

x x

-+=- ………………….5 即

()ln y

d d x x

=- (7)

即

ln y cx x x =+ (10)

为方程的解。

2. '2'43x x y y x y =+⎧⎨=+⎩ 满足初值条件(0)3(0)3x y =⎧⎨=⎩

解:

方程组的特征值125, 1λλ==-, (2)

对应特征值15λ=的特征向量12u u u ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

应满足

11242()042u A E u u λ-⎛⎫

⎛⎫-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

对任意常数0α

≠, 2u αα⎛⎫

= ⎪⎝⎭, 取1α=, 得12u ⎛⎫= ⎪⎝⎭

(4)

对应特征值21λ=-的特征向量12v v v ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

应满足

12222()044v A E v v λ--⎛⎫

⎛⎫-== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

对任意常数0β≠, v ββ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 取1β=, 得11v ⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

(6)

所以基解矩阵为: 55()2t

t t

t e e t e

e φ--⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

……………………….8 51

051133

3()()()21323

3t

t t

t e e t t t e

e ϕφφη---⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭

555512113333

12113333t t t t t t t t e e e e e e e e ----⎛⎫

+- ⎪

=

⎪ ⎪-+

⎪⎝⎭

33⎛⎫ ⎪⎝⎭=5524t t t

t e e e e --⎛⎫+ ⎪-⎝⎭

(10)