广西“创新杯”数学竞赛高二初赛试题答案及评分标准

2016 年广西“创新杯”数学竞赛高二初赛解答
考试时间：2016 年 9 月 25 日(星期日) 8：30--11：00 一、选择题（每小题 6 分，共 36 分，请将答案的序号填写在第二页答题区选择 题相应题号后面的括号内）． 1. D 2. A 3.C 4. C 5. B 6. A
{ } { } 1．已知集合 A = x x −1 ≤ 10 ，x ∈ Z ，B = y y = −x2 +1，x ∈ R ，则 A ∩ B
则 a < 0 时， h(t) 的最小值为 h(0) = 4a −1 ．由 4a −1 = −2 ，得 a = − 1 ，符合 4
要求．
0 ≤ a ≤ 3 时， h(t) 的最小值 为 h(a) = −a2 + 4a −1 ．由 −a2 + 4a −1 = −2 ，得
a = 2 ± 5 ，不符合要求，舍去．
的非空真子集有（ ）
A．31 个 答案： D
B．30 个
C．15 个
D．14 个
解析：由条件知， A = { − 2 ，−1，0 ，1，2 ，3，4 } ， B = (−∞ ，1] ，进而得到
A ∩ B = { − 2 ，−1，0 ，1 } ．所以 A ∩ B 的非空真子集有 24 − 2 = 14 个．（命题组提供）
三、解答题（每小题 20 分，共 60 分） 13．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且 a＝12c＋bcos C．
若 S△ABC＝ 3，b＝ 13，求 a＋c 的值．2-1 解：由正弦定理，得 sin A＝12sin C＋sin Bcos C，又因为 A＝π－(B＋C)， 所以 sin A＝sin(B＋C)，可得 sin Bcos C＋cos Bsin C＝12sin C＋sin Bcos C， 即 cos B＝12，又 B∈(0，π)，所以 B＝3π．．．．．．．．．..．．．．．3＝ 3，所以 ac＝4， 由余弦定理可知 b2＝a2＋c2－ac， 所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即 a＋c＝5．．．．．．．．．．．．．．．．．．20 分 （命题组提供）
去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则 q＝( )．
A．1＋2 5或－1＋2 5
B．1＋2 5
C．－1＋2
5或 1− 5 2
D．1＋ 5
答案 A 解析：由题意知 a1＞0，q＞0，若删去 a1，得 2a1q2＝a1q＋a1q3，解得 q＝1(舍去)；
若删去 a2，得 2a1q2＝a1＋a1q3，即(q－1)(q2－q－1)＝0，解得 q＝1＋2 5；若删
体，所以共有 3×12 = 36 对异面直线．（柳州高中数学组提供）
10．若函数 f (x) = 1 + cos 2x − a sin x cos(π − x ) 的最大值为 2，则实数 a 的值
π 4sin( + x)
2
2
2
为
．
答案： ± 15 ．
解析： f (x) = 2cos2 x + a sin x cos x = 1 cos x + a sin x = 1 + a2 sin(x + ϕ) ，其中角
2．若函数
f
(x)
=
x2 2
− 2x + log
+ 4 ，x x ，x
≤ >
3 ，（ 3，
a
a
>
0 ，且 a
≠ 1）的值域为[3，+ ∞)
，则实
数 a 的取值范围为（ ）
A． (1，3]
B． (1，3)
C． (3，+ ∞)
D．[3，+ ∞)
答案：A
解析：∵ x ≤ 3 时，函数 f (x) = x2 − 2x + 4 = (x −1)2 + 3 的值域为[3，+ ∞) ，
答案：1 或 − 3 ．
( ) 解析：圆心 (a,2) 到直线 l 的距离 d
=
a−2+3 2
=
a +1 ．所以有 d 2 + 2
22 2
2
= r 2 ，即
(a +1)2 = 4 ，所以 a = 1 或 a = −3．（命题组提供）
12． 设 x, y, z 为不全相等的整数，且 x + y + z = 3, x3 + y 3 + z 3 = 3 ，则
∴
x
>
3 时，
2
+
log a
x
≥
3
，即
x
>
3 时，
log a
x
≥1
=
log a
a
．
∴ a > 1，且 x > 3 时， x ≥ a 恒成立．
∴ 1 < a ≤ 3 ， a 的取值范围为 (1，3] ． （命题组提供）
3．已知函数 f (x) = 2 x ， g(x) = ax3 − 3x(a ∈ R) ． 若 f [g(1)] = 1 ，则 a = （ ）
A． 1 2
答案 B
B． 1 C． 15
8
16
D． 1 16
解析：选择机器人
A
作为参照标准，当
A
确定运动方向时，
B ,
C ,
D
有
1 2
的概率
与 A 相同，所以避免相撞的概率为 1 × 1 × 1 = 1 ． 222 8
(柳州高中数学组提供） 6．已知 a1，a2，a3，a4 是各项均为正数的等比数列，且公比 q≠1，若将此数列删
4 ,
xxy+=y1=
2 ,
xxy+=y1=68,
前六个方程组无解；后两个方程组解得 x = y = z = 1; x = y = 4, z = −5 ．又 x, y, z 为
不全相等的整数，所以 x = y = 4, z = −5 . 因此 x2 + y 2 + z 2 = 57． （命题组提供）
A． 1
B． 2
C． 3
D． −1
答案：C． 解析： g(1) = a − 3 ， f [g(1)] = f (a − 3) = 2 a−3 = 1 = 20 ，所以 a − 3 = 0 ，即 a = 3 ．
（恭城中学韦兴洲提供）
4．已知两点 A (1，2)， B (3，1) 到直线 L 的距离分别是 2, 5 − 2 ，则满足 条件的直线 L 共有（ ）条．
2
x
+
2
y
+
2
z
=
．
答案：57
解析：将
z
=
3−
x
−
y
代入 x3
+
3
y
+
3
z
=
3
得到
xy = 3(x + y) − 9 + 8 ，因为 x, y 都是整数，所以 x+ y
xxy+=y−=20−1, xxy+=y−=23−4, xxy+=y−=19−2, xxy+=y−=34−8,
xxy+=y2=1,
xxy+=y5=
由 ∠BCD = 120° ， CB = CD 知， ∠CBD = 30° ，
所以 ∠ABC = 90° ，即 BC ⊥ AB ，所以 ND ∥ BC ．
又 ND ⊄ 平面 BEC ， BC ⊂ 平面 BEC ，∴ ND ∥平面 BEC ． 又因为 MN ⊂ 平面 MND ， ND ⊂ 平面 MND ， MN ∩ ND = N ， 所以平面 MND ∥平面 BEC ． 又 DM ⊂ 平面 MND ，所以 DM ∥平面 BEC ．．．．．．．．．．．．．．．．20 分 （恭城中学韦兴洲提供）
．
答案：1
解析：由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bc×13＝4，由基本不等式可得 4≥43bc，即 bc≤3，
所以A→B·A→C＝bccos A＝13bc≤1．（命题组提供）
9. 正三棱柱的六个顶点两两连线，则异面直线有
对．
答案：36
解析：一个四面体有 3 对异面直线，在正三棱柱的六个顶点中可构成 12 个四面
7. −4 < m < 0 8. 1 9. 36 10. ± 15 11. 1 或－３ 12. 57
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7．已知方程 52x − 5x+1 = m 有一正一负两个实数根，则实数 m 的取值范围是 ． 答案： −4 < m < 0 ．
解析：令 t = 5x ，则原方程化为 t2 − 5t − m = 0 （ t > 0 ）．
A．1
B．2 C．3 D．4
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答案：C
解析： 由 AB = 5, 分别以 A，B 为圆心， 2, 5 − 2 为半径作两个圆，则两
圆外切，有三条公切线．
（南宁三中数学组提供）
5．一个正方形 ABCD 的每一个角都有一个机器人，每个机器人开始时都沿着正
方形的边随机的朝另一个机器人作直线运动，则机器人不相撞的概率（ ）
（2）存在，取 M 为线段 AE 的中点，则满足 DM ∥平面 BEC ．
证明如下：设 AB 的中点为 N ，连接 MN, DN ．
∵ M 是 AE 的中点，∴ MN ∥ BE ． 又 MN ⊄ 平面 BEC ， BE ⊂ 平面 BEC ，∴ MN ∥平面 BEC ． ∵△ ABD 是等边三角形，∴ DN ⊥ AB ．
由 f (g(x)) 在区间[1，3] 上为单调函数，知 g(x) 在区间[1，3] 上是单调函数，
且 g(x) > 0 ．