贝塞尔函数-5
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来确定。 到此，我们可以得到一个特解
y1
(1)m
m0
x n2m 2n2m m!(n m 1)
(n 0)
用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数 轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为 n 阶第一类贝塞尔函数，记 作
Jn ( x)
(1)m
1)!
]
x
x3 22
(1)k
x 2k 1 22k (k!)2
x[1
x2 22
(1)k
x2k 22k (k!)2
]
即
d d x [ xJ1( x)] xJ0 ( x)
以上结果,可以推广.
d d x J0(x) J1
d d x [ xJ1( x)] xJ0 ( x)
x 2
)n2m
1
(1)m
(
x 2
)
n2
m
n m 1
(
1
m 1
1
)
m0 m!(n m)! k0 k 1 k0 k 1
(n 1,2,3, )
其中, c lim(1 1 1 1 ln n) 0.5772 , 称为欧拉常数.
(第三类n 阶贝塞尔函数)
贝塞尔函数的图象
Jn(x)
x
诺伊曼函数的图象
Jn(x)
x
三、当n为整数时贝塞尔方程的通解
取哪一个特解? 一般情况下认为选取第二类贝塞尔函数比较方便. 不过,
当 n 为整数时
Yn( x)
Jn( x)cos n sinn
J n (
x)
上式右端无意义! 为此, 要想写出整数阶贝塞尔方程的通解
y( x) AJn ( x) BYn ( x)
必须要修改第二类贝塞尔函数的定义. 在 n 为整数的情况下 ,我们定义第二类
贝塞尔函数为
Yn
(
x
)
lim
an
J
n
(
x
)
cos n sinn
J
n
(
x
)
由于当 n 为整数时, Jn ( x) (1)n Jn ( x) cos n Jn ( x) , 所以上式右端的极限
R
J
n
(
x)
S
x
J
n
(
x)
0
的任意两个不同的根 ( 这里 R, S 是常数 ) , 则
1
x Jn( x)Jn( x)d x 0
0
它表明 xJn( x) 和 xJn( x) 在 ( 0 , 1 ) 是正交的 . 我们也可以说
xJn( x) 和 xJn( x) 是关于权函数 x 正交的.
是
"0" 0
形式的不定型的极限, 依据洛必达法则并经过冗长的推导, 最后得到
Y0(
x)
2
J0
(
x)(ln
x 2
c)
2
wk.baidu.com
m0
(1)m ( x )2m 2
( m! )2
m 1 k 0
k
1
1
,
Yn( x)
2
J0( x)(ln
x 2
c)
1
n1 m0
(n
m 1)!( ( m! )2
d (1)k1 dx
x2k2 22k2[(k 1)! ]2
(1)k
(2k 2)x2k1 22k2[(k 1)! ]2
(1)k
x 2k1 22k1 k! (k
1)!
n=1 ；m=0→∞ ：
J1(x)
x 2
x3 23 2!
x5 25 2! 3!
x2
d2y d x2
x
d d
y x
(x2
n2 )
y( x)
0
——贝塞尔方程
设上述贝塞尔方程有一个级数解，其形式为
y xc (a0 a1 x a2 x2 ak xk ) ak xck k 0
a0 0
其中, 常数 c 和 ak (k 0,1,2 ) 可以通过把 y 和它的导数 y 、 y 代入上式
m0
(1)m ( x )n2m m!(n m)! 2
(n 0,1,2 ) .
——n 阶贝塞尔函数
Yn (
x)
Jn(
x)cosn sinn
J n ( x)
Hn( x) Jn( x) i Yn( x)
(n ≠整数)
——n 阶纽曼函数
(第二类n 阶贝塞尔函数)
——n 阶汉克尔函数
m0
x n2m 2n2m m!(n m
1)
(n 0) ——贝塞尔方程的一个特解
当 n 为正整数或零时， (n m 1) (n m)! ，故有
Jn ( x)
(1)m
m0
x n2m 2n2m m!(n m)!
(n 0,1,2, )
或
Jn(x)
x7 27 3! 4!
(1)k
x 2k1 22k1 k!(k 1)!
d (1)k1 dx
x2k2 22k2[(k 1)! ]2
(1)k
(2k 2)x2k1 22k2[(k 1)! ]2
(k 1)! (k 1)k!
(3 1)! 4! (3 1)3!
在下式中, 令 n=0 及 n=1
Jn ( x)
(1)m
m0
x n2m 2n2m m!(n m)
(n 0,1,2, )
Jn ( x)
(1)m
m0
x n2m 2n2m m!(n m)!
(n 0,1,2, )
n=0 ；m=0→∞ ：
J0(x) 1
x
42
Yn( x) ~
2 sin(x n ) .
x
42
八、贝塞尔函数的零点
在求园盘的温度分布时, 是通过分离变量法, 转化为求解贝塞尔方程的
本征值问题:
Jn( R) 0
为了求出上述本征值方程的本征值 , 必须要计算 Jn ( x) 的零点 . Jn ( x)
有没有实的零点? 若存在实的零点 , 一共有多少个? 关于这些问题 ,有以下 几个结论 .
;
(5)
d dx
[ x nJ n ( x)]
xnJn1( x) ;
(6)
d dx
[
xnJn
(
x)]
x n J n1 (
x).
六、可变换成贝塞尔方程的方程
方程 x2 y (2k 1)xy ( 2 x2 2 ) y 0
其中 k , , , 都是常数, 有通解
)
)r
(m 1, 2, ) 的正交性.
R
0
r
J
n
(
(n) m
R
r
)
J
n
(
(n) k
R
r
)d
r
0 R
,
2
2
J
2 n1
(
m
(
n
)
)
R2 2
Jn12(m(n) ) ,
mk mk.
J
n
(
(n) m R
)r
m1
在 0, R 上, 带权重 r 正交 .
代入 Lplace 方程
1
(
u )
1
2
2u
2
2u z 2
0
如果圆柱上、下两底的边界条件不是齐次的，而圆柱的侧面的边界条件是 齐次的，就得出
() A1 sinn A2 cos n
Z(z) B1e z B2e z
2
d d
2R
2
则
(n) m1
(n) m
当
m
时, 其值将无限地接近于π, 即
Jn(x)
几乎是以 2π 为周期的周期函数 .
九、贝塞尔函数的正交性
在求园盘的温度分布时, 是通过分离变量法, 转化为求解贝塞尔方程的
本征值问题:
Jn( R) 0
本征值方程
上述本征方程的解为:
R
(n) m
y
xk
c1J
x
(
)
c2Y
x
(
)
其中 k2 2 . 若 0 , 方程可视为欧拉或柯西方程, 是可解的.
七、贝塞尔函数的渐近公式 对于大的 x 值, 有下列渐近公式:
Jn(x) ~
2 cos(x n ) ,
数学物理方法
贝塞尔函数 ( Bessel Function )
一、贝塞尔函数的引出
在柱坐标系下，对拉普拉斯（Laplace）方程或亥姆霍兹（Helmholtz） 方程进行分离变量，将导出 n 阶 Bessel 方程。
柱坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程问题时, 以
u(,, z) R()() Z(z)
四、贝塞尔函数的生成函数
函数
x( t )
e 2 t1
Jn ( x) t n
称为整数阶第一类贝塞尔函数的生成函数. 它对于得到 n 取整数值的第一类 贝塞尔函数的诸多性质是非常有用的, 然后常可证明这些性质对所有的 n 也 成立.
五、贝塞尔函数的递推公式
不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的, 而是有一定的联系, 这种联系 建立在递推公式上. 首先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系.
d d
R
( 2 2
n2 )R
0
引入新的自变量 x , 上面最后一个方程可改写为
x2
d2y d x2
x
d d
y x
(x2
n2 )
y( x)
0
其中, n 为任意实数或复数, 本章中 n 只限与实数. 这就是贝塞尔方程.
二、贝塞尔方程的解
一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表示，从而就导入了一 类特殊函数——贝塞尔函数。
(m 1, 2, )
即
(n) m
( m(n)
R
)2
本征值
与这些本征值相对应的本征函数为:
Pm (r )
J
n
(
(n m R
)
r
)
(m 1, 2, )
本征函数
Pm (r )
J
n
(
(n) m
R
r
)
(m 1, 2, )
本征函数
本征函数系
J
n
(
(n m R
(1)k
2(k 1) x 2k1 22k2 (k 1)!(k 1)!
(1)k
2(k 1) x 2k1 22k2 k!(k 1)(k 1)!
(1)k
x 2k1 22k1 k! (k
1)!
得到关系
d d x J0(x) J1
J1(x)
x2 22
x4 24 (2!)2
x6 26 (3!)2
(1)k
x2k 2k (k!)2
n=1 ；m=0→∞ ：
J1(x)
x 2
2
x3 3 2!
25
x5 2!
3!
27
x7 3!
4!
(1)k
22k
1
x 2k1 k!(k
1)!
取出第一个级数 J0( x)的第 k+1 项求导数, 得
下列结论对所有的 n 都是成立的:
2n (1) Jn1( x) x Jn ( x) Jn1( x) ;
J (2)
' (x)
n
1 2
[
J
n1
(
x
)
Jn1( x)];
J (3)
x
' n
(
x)
nJn (
x)
xJ n1 (
x)
;
J (4)
x
' (x)
n
xJ n1 (
x)
nJn ( x)
n 2 3
n
依据重新定义的函数, 它的确是贝塞尔方程的解, 而且与 Jn( x) 是线性无
关的(因为当 x 0 时, Jn( x) 为有限值, 而 Yn( x) 为无穷大.
综上所述, 贝塞尔方程
x2
d2y d x2
x
d d
y x
(x2
n2 )
y( x)
0
的通解为 y A Jn ( x) BYn ( x) . 其中 A , B 为任意常数, n 为任意实数 .
J0 ( x) J1( x)
x
（1） Jn ( x) 有无穷多个单重实零点 ， 且这无穷多个零点在 x 轴上关于原 点对称分布 。自然 Jn ( x) 必有无穷多个正的零点。
（2） Jn ( x) 的零点与 Jn1( x) 的零点彼此相间分布 。
（3）以
(n) m
表示
Jn ( x) 的非负零点（正的零点）（m = 1，2，…) ,
x 2
2
x3 3 2!
25
x5 2!
3!
27
x7 3!
4!
(1)k
22k
1
x 2k1 k!(k
1)!
将 J1( x) 乘以 x 并求导数, 又得到
d d x [ xJ1( x)]
d x2 [
dx 2
x4 23 2!
(1)k
x 2k 1 22 k 1 ( k! )( k
若 和 是两个不同的常数 , 可以证明
1
0
x
J n (
x)J n (
x)d
x
Jn( )Jn () Jn()Jn ( ) 2 2
而
1
0
x
J n2 (
x)d
x
1 2
J
n
2
(
)
(1
n2
2
)J
n
2
(
)
由第一式我们看到 , 若 和 是方程
y1
(1)m
m0
x n2m 2n2m m!(n m 1)
(n 0)
用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数 轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为 n 阶第一类贝塞尔函数，记 作
Jn ( x)
(1)m
1)!
]
x
x3 22
(1)k
x 2k 1 22k (k!)2
x[1
x2 22
(1)k
x2k 22k (k!)2
]
即
d d x [ xJ1( x)] xJ0 ( x)
以上结果,可以推广.
d d x J0(x) J1
d d x [ xJ1( x)] xJ0 ( x)
x 2
)n2m
1
(1)m
(
x 2
)
n2
m
n m 1
(
1
m 1
1
)
m0 m!(n m)! k0 k 1 k0 k 1
(n 1,2,3, )
其中, c lim(1 1 1 1 ln n) 0.5772 , 称为欧拉常数.
(第三类n 阶贝塞尔函数)
贝塞尔函数的图象
Jn(x)
x
诺伊曼函数的图象
Jn(x)
x
三、当n为整数时贝塞尔方程的通解
取哪一个特解? 一般情况下认为选取第二类贝塞尔函数比较方便. 不过,
当 n 为整数时
Yn( x)
Jn( x)cos n sinn
J n (
x)
上式右端无意义! 为此, 要想写出整数阶贝塞尔方程的通解
y( x) AJn ( x) BYn ( x)
必须要修改第二类贝塞尔函数的定义. 在 n 为整数的情况下 ,我们定义第二类
贝塞尔函数为
Yn
(
x
)
lim
an
J
n
(
x
)
cos n sinn
J
n
(
x
)
由于当 n 为整数时, Jn ( x) (1)n Jn ( x) cos n Jn ( x) , 所以上式右端的极限
R
J
n
(
x)
S
x
J
n
(
x)
0
的任意两个不同的根 ( 这里 R, S 是常数 ) , 则
1
x Jn( x)Jn( x)d x 0
0
它表明 xJn( x) 和 xJn( x) 在 ( 0 , 1 ) 是正交的 . 我们也可以说
xJn( x) 和 xJn( x) 是关于权函数 x 正交的.
是
"0" 0
形式的不定型的极限, 依据洛必达法则并经过冗长的推导, 最后得到
Y0(
x)
2
J0
(
x)(ln
x 2
c)
2
wk.baidu.com
m0
(1)m ( x )2m 2
( m! )2
m 1 k 0
k
1
1
,
Yn( x)
2
J0( x)(ln
x 2
c)
1
n1 m0
(n
m 1)!( ( m! )2
d (1)k1 dx
x2k2 22k2[(k 1)! ]2
(1)k
(2k 2)x2k1 22k2[(k 1)! ]2
(1)k
x 2k1 22k1 k! (k
1)!
n=1 ；m=0→∞ ：
J1(x)
x 2
x3 23 2!
x5 25 2! 3!
x2
d2y d x2
x
d d
y x
(x2
n2 )
y( x)
0
——贝塞尔方程
设上述贝塞尔方程有一个级数解，其形式为
y xc (a0 a1 x a2 x2 ak xk ) ak xck k 0
a0 0
其中, 常数 c 和 ak (k 0,1,2 ) 可以通过把 y 和它的导数 y 、 y 代入上式
m0
(1)m ( x )n2m m!(n m)! 2
(n 0,1,2 ) .
——n 阶贝塞尔函数
Yn (
x)
Jn(
x)cosn sinn
J n ( x)
Hn( x) Jn( x) i Yn( x)
(n ≠整数)
——n 阶纽曼函数
(第二类n 阶贝塞尔函数)
——n 阶汉克尔函数
m0
x n2m 2n2m m!(n m
1)
(n 0) ——贝塞尔方程的一个特解
当 n 为正整数或零时， (n m 1) (n m)! ，故有
Jn ( x)
(1)m
m0
x n2m 2n2m m!(n m)!
(n 0,1,2, )
或
Jn(x)
x7 27 3! 4!
(1)k
x 2k1 22k1 k!(k 1)!
d (1)k1 dx
x2k2 22k2[(k 1)! ]2
(1)k
(2k 2)x2k1 22k2[(k 1)! ]2
(k 1)! (k 1)k!
(3 1)! 4! (3 1)3!
在下式中, 令 n=0 及 n=1
Jn ( x)
(1)m
m0
x n2m 2n2m m!(n m)
(n 0,1,2, )
Jn ( x)
(1)m
m0
x n2m 2n2m m!(n m)!
(n 0,1,2, )
n=0 ；m=0→∞ ：
J0(x) 1
x
42
Yn( x) ~
2 sin(x n ) .
x
42
八、贝塞尔函数的零点
在求园盘的温度分布时, 是通过分离变量法, 转化为求解贝塞尔方程的
本征值问题:
Jn( R) 0
为了求出上述本征值方程的本征值 , 必须要计算 Jn ( x) 的零点 . Jn ( x)
有没有实的零点? 若存在实的零点 , 一共有多少个? 关于这些问题 ,有以下 几个结论 .
;
(5)
d dx
[ x nJ n ( x)]
xnJn1( x) ;
(6)
d dx
[
xnJn
(
x)]
x n J n1 (
x).
六、可变换成贝塞尔方程的方程
方程 x2 y (2k 1)xy ( 2 x2 2 ) y 0
其中 k , , , 都是常数, 有通解
)
)r
(m 1, 2, ) 的正交性.
R
0
r
J
n
(
(n) m
R
r
)
J
n
(
(n) k
R
r
)d
r
0 R
,
2
2
J
2 n1
(
m
(
n
)
)
R2 2
Jn12(m(n) ) ,
mk mk.
J
n
(
(n) m R
)r
m1
在 0, R 上, 带权重 r 正交 .
代入 Lplace 方程
1
(
u )
1
2
2u
2
2u z 2
0
如果圆柱上、下两底的边界条件不是齐次的，而圆柱的侧面的边界条件是 齐次的，就得出
() A1 sinn A2 cos n
Z(z) B1e z B2e z
2
d d
2R
2
则
(n) m1
(n) m
当
m
时, 其值将无限地接近于π, 即
Jn(x)
几乎是以 2π 为周期的周期函数 .
九、贝塞尔函数的正交性
在求园盘的温度分布时, 是通过分离变量法, 转化为求解贝塞尔方程的
本征值问题:
Jn( R) 0
本征值方程
上述本征方程的解为:
R
(n) m
y
xk
c1J
x
(
)
c2Y
x
(
)
其中 k2 2 . 若 0 , 方程可视为欧拉或柯西方程, 是可解的.
七、贝塞尔函数的渐近公式 对于大的 x 值, 有下列渐近公式:
Jn(x) ~
2 cos(x n ) ,
数学物理方法
贝塞尔函数 ( Bessel Function )
一、贝塞尔函数的引出
在柱坐标系下，对拉普拉斯（Laplace）方程或亥姆霍兹（Helmholtz） 方程进行分离变量，将导出 n 阶 Bessel 方程。
柱坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程问题时, 以
u(,, z) R()() Z(z)
四、贝塞尔函数的生成函数
函数
x( t )
e 2 t1
Jn ( x) t n
称为整数阶第一类贝塞尔函数的生成函数. 它对于得到 n 取整数值的第一类 贝塞尔函数的诸多性质是非常有用的, 然后常可证明这些性质对所有的 n 也 成立.
五、贝塞尔函数的递推公式
不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的, 而是有一定的联系, 这种联系 建立在递推公式上. 首先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系.
d d
R
( 2 2
n2 )R
0
引入新的自变量 x , 上面最后一个方程可改写为
x2
d2y d x2
x
d d
y x
(x2
n2 )
y( x)
0
其中, n 为任意实数或复数, 本章中 n 只限与实数. 这就是贝塞尔方程.
二、贝塞尔方程的解
一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表示，从而就导入了一 类特殊函数——贝塞尔函数。
(m 1, 2, )
即
(n) m
( m(n)
R
)2
本征值
与这些本征值相对应的本征函数为:
Pm (r )
J
n
(
(n m R
)
r
)
(m 1, 2, )
本征函数
Pm (r )
J
n
(
(n) m
R
r
)
(m 1, 2, )
本征函数
本征函数系
J
n
(
(n m R
(1)k
2(k 1) x 2k1 22k2 (k 1)!(k 1)!
(1)k
2(k 1) x 2k1 22k2 k!(k 1)(k 1)!
(1)k
x 2k1 22k1 k! (k
1)!
得到关系
d d x J0(x) J1
J1(x)
x2 22
x4 24 (2!)2
x6 26 (3!)2
(1)k
x2k 2k (k!)2
n=1 ；m=0→∞ ：
J1(x)
x 2
2
x3 3 2!
25
x5 2!
3!
27
x7 3!
4!
(1)k
22k
1
x 2k1 k!(k
1)!
取出第一个级数 J0( x)的第 k+1 项求导数, 得
下列结论对所有的 n 都是成立的:
2n (1) Jn1( x) x Jn ( x) Jn1( x) ;
J (2)
' (x)
n
1 2
[
J
n1
(
x
)
Jn1( x)];
J (3)
x
' n
(
x)
nJn (
x)
xJ n1 (
x)
;
J (4)
x
' (x)
n
xJ n1 (
x)
nJn ( x)
n 2 3
n
依据重新定义的函数, 它的确是贝塞尔方程的解, 而且与 Jn( x) 是线性无
关的(因为当 x 0 时, Jn( x) 为有限值, 而 Yn( x) 为无穷大.
综上所述, 贝塞尔方程
x2
d2y d x2
x
d d
y x
(x2
n2 )
y( x)
0
的通解为 y A Jn ( x) BYn ( x) . 其中 A , B 为任意常数, n 为任意实数 .
J0 ( x) J1( x)
x
（1） Jn ( x) 有无穷多个单重实零点 ， 且这无穷多个零点在 x 轴上关于原 点对称分布 。自然 Jn ( x) 必有无穷多个正的零点。
（2） Jn ( x) 的零点与 Jn1( x) 的零点彼此相间分布 。
（3）以
(n) m
表示
Jn ( x) 的非负零点（正的零点）（m = 1，2，…) ,
x 2
2
x3 3 2!
25
x5 2!
3!
27
x7 3!
4!
(1)k
22k
1
x 2k1 k!(k
1)!
将 J1( x) 乘以 x 并求导数, 又得到
d d x [ xJ1( x)]
d x2 [
dx 2
x4 23 2!
(1)k
x 2k 1 22 k 1 ( k! )( k
若 和 是两个不同的常数 , 可以证明
1
0
x
J n (
x)J n (
x)d
x
Jn( )Jn () Jn()Jn ( ) 2 2
而
1
0
x
J n2 (
x)d
x
1 2
J
n
2
(
)
(1
n2
2
)J
n
2
(
)
由第一式我们看到 , 若 和 是方程