矩阵的概念及旋转变换

2
3
2
3
2
对应的变换作用下得
1
2
到的图形，并画出示意图，其中 A(0,0),B(1, 3 ),C(0,2).
表 示 列 矩 阵 .
课题：选修4-2 1.矩阵的概念及旋转变换
树自信，誓拼搏，升大学回报父母 !
矩阵的概念
行向量： [ x y ]
列向量： xy
习 惯 上 ， 我 们 把 平 面 上 的 向 量 （ x,y)的 坐 标
写 成 列 向 量 x y的 形 式 .
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系。（规定每个人都和自己相识）
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矩阵的相等
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对 于 两 个 矩 阵 A 、 B 的 行 数 与 列 数 分 别 相 等 ， 且 对 应 位 置 上 的 元 素 也 分 别 相 等 时 ， A和 B才 相 等 , 记 作 AB.
者用( a ij )表示，其中 i, j 分别表示元素 a ij 所
在的行与列.
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矩阵的概念
同一横排中按原来次序排列的一行数 （或字母）叫做矩阵的行,
同一竖排中按原来次序排列的一列数 （或字母）叫做矩阵的列．
1 3
,
练习：
1.
将向量 a
2 1
绕原点按逆时针方向旋转
2
4
得到向
量
r b
，则向量
r b
的坐标为=____ _3_22 _2 _ ______.
2. 在某个旋转变换中，顺时针旋转 所对应的变换矩 3
阵为 ＿＿＿＿＿＿． 1
2 3
2
3
2 1
2
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通常叫做旋转变换矩阵.
对应的变换称做旋转变换.
其中的角q做旋转角. 点O叫做旋转中心.
旋转变换只改变几何图形的位置，不会 改变几何图形的形状.
图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
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练习
1、在直角坐标系下，将每个点绕原点逆
时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵
因此，旋转前后叶 片上的点的位置变化可 以看做是一个几何变换.
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y P’(x’，y’)
r P(x，y)
q
O
x
思考：怎样用矩阵来刻画这一变换？
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旋转变换：
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矩阵
cosq sinq
sin q cosq
sin q cosq
通常叫做旋转变换矩阵.
对应的变换称做旋转变换.
其中的角q做旋转角. 点O叫做旋转中心.
旋转变换只改变几何图形的位置，不会 改变几何图形的形状.
图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
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1
求出△ABC
在矩阵
例 2、若△ABC 在矩阵 M 对应的旋转变换作用下得到
△A′B′C′，其中 A（0，0），B（1， 3 ），C（0，
2），A′（0，0）， C′（- 3 ，1），试求矩阵 M 并
求 B′的坐标.
1 3
M
2 3
2
2 1
2
B/ 1,2
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例1、已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩 形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图 形，并求出其顶点坐标，画出示意图.
变式、将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针 旋转300，其结果又会如何？
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例２：
பைடு நூலகம்
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某公司负责从两 向个 三矿 个区 城市送煤 矿： 区从 向甲 城市
A,B,C送煤的量分 20别 万 0 是 吨24、 万 0 吨 16、 万 0 吨；从乙矿区
城市 A,B,C送煤的量分 40别 万 0 是 吨36、 万 0 吨82、 万 0 吨。请用矩
谈谈这堂课你有 哪些收获？
课题：选修4-2 1.矩阵的概念及入乘法运算
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小结： 1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵; 2.矩阵的表示； 3.相等的矩阵;
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4、旋转变换：
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矩阵
cosq sinq
阵表示从两矿区 城向 市三 送个 煤的量。
解：
• 甲矿区
• 乙矿区
城市A 城市B 城市C
200 240 160 400 360 820
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练一练
已知甲、乙、丙三人中,甲、乙相识，甲、丙不相 识，乙、丙相识。若用0表示两个人之间不相识，1表示 两个人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关
是
；
cos120 sin120
sin120
cos120
1
2 3
2
3
2 1
2
2、如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶
单位矩阵，则该旋转变换是 R 3 6 0 ;
1 0
0
cos
1
sin
sin cos
360
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数学应用
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2 3m 3 2 4
简记为32
3 2
m 4
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矩阵的概念
形
如
1
3
,
80 90
6
0
8
5
,
2 3 m
3
2
4
这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵
而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素
通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示，或
8 0 9 0 2 3 m
6
0
8
5
,
3 2
4
21矩阵 22矩阵
23矩阵
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特殊的矩阵
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零矩阵： 所有元素均0的 为矩阵, 记为 0
a 1 1a 1 2 称 为 行 矩 阵 （ 仅 有 一 行 ） ，
a a1 11 2称 为 列 矩 阵 （ 仅 有 一 列 ） ,用 ， L
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例１：用矩阵表示如图所示的ABC,
其 A ( 中 1 ,0 )， B (0 ,2 )C ,(2 ,0 ).
y 2B
A
0
1
C 2
x
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练一练
现用矩M阵00
1 2
3 2
40表示平面中的图
请问该图形有什特么征几？何
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某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手 初赛、复赛成绩如表：
初赛 复赛
甲
80
90
乙
60
85
80 90 60 85
简记为8600
90 85
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2x 3y mz 1, 3x2y 4z 2
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1.矩阵的概念
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何为矩阵?
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y P(1,3)
3
O
1
1 3
x
简
记
为
1
3
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问题：
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y
O
x
假设大风车的叶片在同一平面内转动，以 旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如上图。
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2、旋转变换：
已知大风车上一点 P(x，y)，它围绕旋转中 心O逆时针旋转q角到另 外一点P’(x’，y’).
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例３：
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已 A 知 4 x 3 2 ,B 1 z y 2 ,若 A B ,试 x,y求 ,z.
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练一练
已A 知 2 y 3 x,B2 m x ny m x y n,若 AB, 试x求 ,y,m,n的值。