因动点产生的等腰三角形模型
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因动点产生的等腰三角形模型
例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC 交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.(1)求ED、EC的长;
(2)若BP=2,求CQ的长;
(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.
图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“13虹口25”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,△PDM 与△QDN保持相似.观察△PDF,可以看到,P、F可以落在对边的垂直平分线上,不存在DF=DP的情况.
请打开超级画板文件名“13虹口25”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,△PDM 与△QDN保持相似.观察△PDF,可以看到,P、F可以落在对边的垂直平分线上,不存在DF=DP的情况.
思路点拨
1.第(2)题BP=2分两种情况.
2.解第(2)题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系.
3.第(3)题探求等腰三角形PDF时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三角形CDQ.
满分解答
(1)在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,所以BC=10.
在Rt△CDE中,CD=5,所以
315
tan5
44
ED CD C
=⋅∠=⨯=,
25
4
EC=.
(2)如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是△ABC的两条中位线,DM=4,DN=3.
由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN.
因此△PDM∽△QDN.
所以
4
3
PM DM
QN DN
==.所以
3
4
QN PM
=,
4
3
PM QN
=.
图2 图3 图4 ①如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1.
此时
33
44
QN PM
==.所以
319
4
44
CQ CN QN
=+=+=.
②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时,PM=5.
此时
315
44
QN PM
==.所以
1531
4
44
CQ CN QN
=+=+=.
(3)如图5,如图2,在Rt△PDQ中,
3 tan
4
QD DN
QPD
PD DM
∠===.
在Rt△ABC中,
3
tan
4
BA
C
CA
∠==.所以∠QPD=∠C.
由∠PDQ=90°,∠CDE=90°,可得∠PDF=∠CDQ.
因此△PDF∽△CDQ.
当△PDF是等腰三角形时,△CDQ也是等腰三角形.
①如图5,当CQ=CD=5时,QN=CQ-CN=5-4=1(如图3所示).
此时
44
33
PM QN
==.所以
45
3
33
BP BM PM
=-=-=.
②如图6,当QC=QD时,由cos
CH
C
CQ
=,可得
5425
258
CQ=÷=.
所以QN=CN-CQ=
257
4
88
-=(如图2所示).
此时
47
36
PM QN
==.所以
725
3
66
BP BM PM
=+=+=.
③不存在DP=DF的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图5,图6所示).
图5 图6
考点伸展
如图6,当△CDQ是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP也是等腰
三角形,PB=PD.在△BDP中可以直接求解
25
6 BP=.
例2 2012年扬州市中考第27题
如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△P AC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12扬州27”,拖动点P在抛物线的对称轴上运动,可以体验到,当点P落在线段BC上时,P A+PC最小,△P AC的周长最小.拖动点M在抛物线的对称轴上运动,观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系,可以看到,点M有1次机会落在AC的垂直平分线上;点A有2次机会落在MC的垂直平分线上;点C有2次机会落在MA的垂直平分线上,但是有1次M、A、C三点共线.
思路点拨
1.第(2)题是典型的“牛喝水”问题,点P在线段BC上时△P AC的周长最小.2.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3, 0)两点,设y=a(x+1)(x-3),
代入点C(0 ,3),得-3a=3.解得a=-1.
所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.
当点P落在线段BC上时,P A+PC最小,△P AC的周长最小.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.
由BH PH
BO CO
=,BO=CO,得PH=BH=2.
所以点P的坐标为(1, 2).
图2 (3)点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6
-)或(1,0).