相似多边形、相似三角形判定(提高)

相似多边形、相似三角形判定

一、相似多边形

1．相似多边形

具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性

两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比

两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．

二、相似三角形

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相

似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：

①应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．

② 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．

④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

三、三角形相似的判定方法

1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

四、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式

证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法

欲证

AB BC

BE BF

=

，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．

2．纵向定型法

欲证AB DE

BC EF

=

，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证A B C D E F △∽△．

3．中间比法

由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．

五、相似证明中的基本模型

六、.黄金分割

在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC

AB

AC =

,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中

618.021

5≈-=AB AC

A B

C

【例1】 三角形三边之比为357∶

∶，与它相似的三角形最长边是21cm ，另两边之各是 （ ） A ．15cm B ． 18cm C ． 21cm D ． 24cm

【巩固】ABC △的三边长分别为2、10、3，'''A B C △的两边长分别为1和5，若ABC △与'''A B C △

相似，则'''A B C △的第三条边长 ．

【拓展】已知ABC △的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条

各一根，做一个三角形木架与ABC △相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm ）分别为 多少？

【例2】 已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )

A.AM ∶BM=AB ∶AM

B.AM=21

5-AB

C.BM=2

1

5-AB

D.AM ≈0.618AB

【例3】 著名的斐波那契数列指的是数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和．该数列有很多性质，“相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比

=0.6180339887…”是其中的一个性质．请经过探究，猜测该数列中的第2010项与2011项的比

值与黄金分割比的大小关系为（ ）

A 、大于

B 、等于

C 、小于

D 、无法确定

【例4】 如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，

2

1

5-=

BC AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.

角角角判定法

【例5】如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．

【巩固】如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．

【例6】在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）

试说明△AMD∽△EMB；（2）求FN

NE

的值．