例谈解等差(比)数列的基本量法和性质法

例谈解等差(比)数列的基本量法和性质法
大罕
已知数列的某些元素，求解它的其它元素，叫解数列.
解数列常用的方法是基本量法和性质法.
基本量法是指把条件和结论统一化归为首项和公差（或公比）的式子，通过方程（组）的变换，得到欲求的结果.
性质法是指利用等差（比）数列的性质，得到欲求的结果.
一般说来，基本量是基本的方法，是“保本”的方法.只要足够的耐心，任何可解的等差（等比）数列都可以解出. 而性质法是快捷的方法，用得巧妙就可直达目标.
这两种方法都是行之有效的，不可偏废.一味求稳守旧沿用基本法，可能会事倍功半；一味追求技巧凑用性质，可能会弄巧成拙，功亏一篑.
请看下例，方法一四平八稳，方法二出奇制胜，都值得称道！
例：设a,b,c,d成等比数列，求证：(b-c)2 +(c-a)2 +(d-b)2=(a-d)2.
证明一（基本量法）：
∵a,b,c,d成等比数列，∴ b=aq,，c=aq2，d=aq3，
∴左边＝(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2
＝a2[(q-q2)2+(q2-1)2+(q3-q)2]
＝a2(q2-2q3+q4+q4-2q2+1+q6-2q4+q2)
＝a2(q6-2q4+1)
＝a2(q3-1)2
＝(qq3-a)2
＝(a-d)2
＝右边.

证明二（性质法）：
∵a,b,c,d成等比数列，
∴ bc=ad,，b2=ac，c2=bd，
∴左边＝a2+d2-2ad+2(b2+c2-ac-bd)
＝a2+d2-2ad
＝(a-d)2
＝右边.