高考数学基础教材

第1节 常见不等式及其解法

1．一元一次不等式的解法

不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为：当a ＞0时，解集为{x |x ＞b a }．当a ＜0时，解集为{x |x ＜b

a

}．

的情形，以便确定解集的形式．

解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式！！

解不等式（高中我们能遇到的所有不等式）的通用步骤：①解方程②画图像③写解集 例1．解下列不等式：

(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －81

4≥0；

(4)－1

2x 2＋3x －5＞0；

(5)－2x 2＋3x －2＜0；

(6)已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．

例2．解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －1

3－4x

>1

1．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝( )

A ．[2,3]

B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)

C ．(2,3]

D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞)

2．设a >0，不等式－c

A ．1∶2∶3

B ．2∶1∶3

C ．3∶1∶2

D ．3∶2∶1 3．(2013·高考江西卷)下列选项中，使不等式x ＜1

x

＜x 2成立的x 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－1,0)

C ．(0,1)

D ．(1，＋∞)

4．若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－2,2]

B ．(－2,2)

C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)

D ．(－∞，2]

5．解下列不等式

214x +≥

1213x <-<

6．解下列方程组

213211x y x y +=⎧⎨-=⎩

221

4x y x y +=⎧⎨+=⎩

22

112

y x x y =+⎧⎪

⎨+=⎪⎩

第2节 高考数学中的运算——对数运算

对数的概念 (1)对数的定义：

如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数（真数必为正数）．当a ＝10时叫常用对数，记作x ＝lg N ；当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln N ．

(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0．

②log a a ＝1，m a m

a =log

③对数恒等式：a log aN ＝N ．

④换底公式：log a b ＝log c b

log c a ，

推广log a b ＝1

log b a

log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．

(3)对数的运算法则：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M

N

＝log a M －log a N ；

③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；

④log a m M n ＝n

m

log a M=

1．化简下列各式： (1)1

4lg 23lg5lg 5

+-

(2)3

lg

lg 70lg 37+-

(3) 2

lg 2lg5lg 201+⋅- (4)

25

941

log log 27

log 12

3

2

3

5

-+

2（15．浙江）计算：2

log =________，24log 3log 32+=________．若4log 3a =，则22a a -+=________．

3．方程log 2 (1－2x )＝1的解x ＝_________． 计算log 6[log 4(log 381)]＝_________． 4．有下列五个等式，其中a>0且a≠1，x>0 , y>0，其中正确的是 ． ①log ()log log a a a x y x y +=⋅， ②22

log ()2(log log )a a a x y x y -=-

③1

log log log 2

a

a a x y y =-， ④log log log ()a a a x y x y ⋅=⋅

第3节 高考数学中的运算——三角计算

一．任意角 1．角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

2．角的表示

顶点：用O 表示；始边：用OA 表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB 表示，用语言可表示为终止位置．

3．角的分类

（1）正角：按 方向旋转形成的角；加一个角按 方向旋转． （2）负角：按 方向旋转形成的角；减一个角按 方向旋转． （3）零角：射线没有作任何旋转，称为形成一个零角．

任意角大小比较： ，因此小于90°的角不一定是锐角…………

4．象限角

在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

5．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{}β|β＝α＋k ·

360°，k ∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

二．弧度制

1．角度制和弧度制

角度制

用度作为度量单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1

360

弧度制

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度

以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制

2．任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 3．角的弧度数的计算

如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l

r

．

扇形的面积公式：

4．角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的互化：

角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad ＝360° 180°＝π rad π rad ＝180° 1°＝π180rad ≈0．01745 rad 1 rad ＝(180π

)°≈57．30°

(2)一些特殊角与弧度数的对应关系：

度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度 0 π180 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π

2

2π

三．任意角的三角函数

1．任意角三角函数的定义

将角的顶点与原点O 重合，始边与直角坐标系x 轴非负半轴重合，角的终边上任意取一点P (x ，y )，则对应