平面向量的数量积(学案)

高三数学第一轮复习讲义

平面向量的数量积

一．复习目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂

直的充要条件和向量数量积的简单运用．

二．主要知识：

1．平面向量数量积的概念；

2．平面向量数量积的性质：22||a a = 、cos ,||||

a b

a b a b ⋅<>=

；

3．向量垂直的充要条件：0a b a b ⊥⇔⋅=

． 三．课前练习：

1.下列命题中是正确的有

①设向量a 与b 不共线，若()()0a b a b +⋅-= ，则||||a b = ； ②||||||a b a b ⋅=⋅

； ③a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ； ④若()a b c ⊥- ，则a b a c ⋅=⋅

2．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅ （ ） ()A 甲是乙的充分条件但不是必要条件

()B 甲是乙的必要条件但不是充分条件

()C 甲是乙的充要条件 ()D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3．已知向量(3,4),(2,1)a b ==- ，如果向量a xb + 与b 垂直，则x 的值为 （ ）

()A 323 ()B 23

3 ()C 2 ()D 25-

4．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-=

，且5a b ⋅= ，则向量b = ___ __ ____.

5．已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的投影为 。

6．设向量,a b 满足||||1,|32|3a b a b ==-= ，则|3|a b +=

。

7．已知向量,a b 的方向相同，且||3,||7a b == ，则|2|a b -=

___ ____。

8．已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a

⋅-)2(= 。 四．例题分析：

例1．已知平面上三个向量a 、b 、c

的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，

（1）求证：)(b a -⊥c ； （2）若1||>++c b a k

)(R k ∈，求k 的取值范围.

小结：

例2．已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1）若|c |52=，且//，求c 的坐标； （2）若|b |=

,2

5

且b a 2+与-2垂直，求a 与b 的夹角θ.

小结：

例3．设两个向量1e 、2e ，满足2||1=e ，1||2=e ，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e e t

+与向量21e t e

+的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.

小结：

例4．如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与

的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值。

小结：

五．课后作业： 班级 学号 姓名

1．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分（ ）

()A 0,24 ()B 24,4 ()C 16，0 ()D 4，0

2．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ，)3,1(-B ，若点C 满足 βα+=，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为： （ ） ()A 01123=--y x ()B 5)2()1(22=-+-y x ()C 02=-y x ()D 052=-+y x

3．已知向量)75sin ,75(cos =a ，)15sin ,15(cos

=b ，那么||b a -的值是（ ）

()

A 21 ()

B 22 ()

C 2

3

()D 1 4．在ABC ∆中，0<⋅，ABC ∆的面积是4

15

，若3||=AB ，5||=AC ，

则BAC ∠=( ) ()A 6

π

()B 32π ()C 43π ()D 65π 5．已知O 为原点，点,A B 的坐标分别为)0,(a A ，),0(a B ，其中常数0>a ，点P 在线

段AB 上，且有t =)10(≤≤t ，则⋅的最大值为 （ ）

()A a ()B a 2 ()C a 3 ()D 2a

6．设12,F F 是双曲线14

2

2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅= ，则||||21PF PF ⋅的值等于

（ ） ()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8

7.设,,a b c

是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 （ ）

①()()0a b c c a b ⋅-⋅= ； ② ||||||a b a b -<-

③()()b c a c a b ⋅-⋅

不与c 垂

直 ④22

(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-

中，是真命题的有 ( ) （A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④

8．设,,,O A B C 为平面上四个点，a OA =，b OB =，c OC

=，且0 =++c b a ，

c b b a ⋅=⋅=a c ⋅1-=，则||||||c b a

++＝___________________。

9．若对n 个向量n a a a ,,21存在n 个不全为零的实数n k k k ,,,21 ，使得02211=+++n n a k a k a k 成立，则称向量n a a a ,,21为“线性相关”

．依此规定， 能说明