平面和平面平行的性质定理
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平a a P'b 二.•「a// ■-面平行。
符合表示：a//b2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：a広oa//«=■ a//ba -:-b二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
n 〃b "m // aa"b = Mm □ n = N符号表示：2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
a //P ]符号表示：: =| = l//d （更加实用的性质：一个平厂L： d面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面符号表示:$:三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直符号表示:oA 二、：po -:2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
a _ ■ ,a---:2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面：=b, a x 上，a_b= a -:Welcome !!! 欢迎您的下载, 资料仅供参考!。
直线和平面平行,平面和平面平行的性质
证明： AB // CD 过AB和CD可作平面 , 且 AC， BD. // AC // BD 故四边形ABCD为平行四边形. 即有AB CD.
B
A
D
C
6、设 // ，A ， 过点A作直线 l // , 则l与的位置关系如何？为什么？
面面平行性质定理:
面面平行
线线平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
小结
讲授新课：
线面平行的性质定理： 一条直线和一个平面平行，则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
l // l m
β
l
l // m
m
简记为： “线面平行，则线线平行” 作用：判定直线与直线平行的重要依据。 关键： 寻找平面与平面的交线。
α
例1.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
作用： 判定直线与平面平行的重要依据。
简记为： 线线平行，则线面平行。
新课引入：
线面平行的判定定理解决了判定线面 平行的问题（即所需条件）；反之，在直 线与平面平行的条件下，会得到什么结论？
问题讨论：
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a a
b
b α
c
a
c
b
a
c
a // c b // c
a // b
c
b
b //
线面平行
线线平行
判定定理 线面平行
课堂小结：
1．直线与平面平行的性质定理 a ∥ b． a b
性质定理的运用． 2．判定定理与性质定理展示的数学思想方法：
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平ab a //面平行。
符合表示：a// b2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：aa//a // bab二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
n // b m // aa b M //mnN符号表示：2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
//符号表示：l l// d （更加实用的性质：一个平d面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直a c线垂直这个平面。
符号表示： a b ab c M＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直aoApoa oA A2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平 面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、 判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
a , a2、 性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一 个平面。
， b, a ,a b a 符号表示:a PA。
两个平面平行的性质
抽象概括：
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a∩ b=A b// β //β β
a// β
简述为：线面平行面面平行
回顾：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
两个平面平行的性质
平面是经过点A与直线b的平面. 设 a // a a // b b a l a l
l
b
lbl
a
A
例1 一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，它也垂直于另一个平面．
l
β
这个结论可作为两个 平面平行的性质 3
两个平面平行的性质
复习：
1、两个平面的位置关系 2、两个平面平行的判定方法
（a）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面 平行。（定义） （b) 两上平面平行的判定定理——两条相交直线 都平行于另一个平面 （c) “例1”——垂直于同一条直线的两个平面平行 (d) “例2”——平行于同一个平面的两个平面平行
BD, 且 //
AE // BD
B
D
证明：连结 DM并延长交于E，连AE、CE AB DE M AB和DE可确定一个平面
AE, BD, 且 //
AE // BD
M是AB的中点 AEM BDM DM ME, M 又 DN NC, MN // EC, 又 EC ，MN B MN //
E A
C
N
D
两个平面平行的性质
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理之青柳念文创作
一、线面平行.
1、断定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那
末这条直线与这个平面平行.符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，颠末这条直线的
平面和这个平面相交，那末这条直线和交线平行.
符号暗示：
二、面面平行.
1、断定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另外一个平面内的两条相交直线，那末这两个平面平行.
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，
那它们的交线平行. 符号暗示：
行另外一平面）
三、线面垂直.
1、断定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线
都垂直，那末这条直线垂直这个平面. 符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（常常考到这种逻辑）在平面内的一条
直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那末它
也和这条斜线垂直.
符号暗示：
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行.（更加
实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直
线.）
四、面面垂直.
1、断定定理：颠末一个平面的垂线的平面与该平面垂直.
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交
线的直线垂直于另外一个平
面.βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
平面与平面平行的性质定理
平面与平面平行的性质定理
平面与平面平行的性质定理有很多，其中一些常用的定理如下:
1.平面平行定理：如果两条直线在同一平面上且互相平行，
那么它们所在的平面一定平行。
2.平行面定理：如果两个平面互相平行，那么它们之间的
任意一条直线都平行。
3.垂直平面定理：两个平面垂直，当且仅当它们的法向量
互相垂直。
4.平面夹角定理：如果两个平面互相垂直，那么它们之间
的夹角为90度。
5.平面交线定理：如果两个平面互相平行，那么它们之间
没有交线。
6.平面平行于直线定理：如果一个平面与直线平行，那么
这个平面所有的直线都与该直线平行。
7.平面垂直于直线定理：如果一个平面与直线垂直，那么
这个平面所有的直线都与该直线垂直。
8.平面平分直线定理：如果一个平面平分一条直线，那么
这个平面所有的直线都与该直线平分。
9.平面平分直线定理：如果一个平面平分一条直线，那么
这个平面所有的直线都与该直线平分。
10.平面平分线段定理: 如果一个平面平分线段，那么这个平
面所有直线都与该线段平分。
这些定理都是几何学中的基本定理，用于解决平面与直线、线段之间关系的问题。
在解决几何问题时，可以运用这些定理来确定平面和直线、线段之间的关系，为进一步的解决问题提供依据。
平面与平面的位置关系判定平面与平面的位置关系有哪些平面与平面垂直的性质定理
一、平面与平面的位置关系有且只有两种1、两个平面平行——没有公共点；2、两个平面相交——有一条公共直线。
二、面面垂直性质定理1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）三、平面与平面垂直的性质如果两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
平面与平面垂直有如下性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面；如果两个平面垂直，那么与一个平面垂直的直线平行于另一个平面或在另一个平面内。
四、面面垂直定义若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
五、线面垂直定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。
六、线面垂直判定定理直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
两个平面的位置关系的符号语言及其图形如下表：。
面面平行的性质
α E FG
A
练：A、B是不在直线l上的两点，则过点A、B 且与直线l平行的平面的个数是 （ D ）
A．0个
B．1个
C．无数个 D．以上三种情况均有可能
小结与归纳
1、若两个平面互相平行，则其中一个 平面中的直线必平行于另一个平面；
2、平行于同一平面的两平面平行；
3、夹在两平行平面间的平行线段相等。
β
答:两条交线平行.
α
a
b
下面我们来证明这个结论
如图，平面α，β，γ满足α∥β，
α∩γ＝a,β∩γ=b，
求证：a∥b
证明：∵α∩γ=a,
β∩γ=b
∴aα，bβ
a
α
∵α∥β ∴a，b没有公共点，
又∵ a，b同在平面γ内，
b
β
∴ a∥b
面面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行.
2.2.4 平面与平面 平行的性质
复习回顾：
平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（1）平行
（2）相交
α∥β
a
探究新知
探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面 内的直线与另一个平面有什么位置关系？
a
异面直线
平行直线
探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直 线有什么位置关系？
探究新知
探究3:当第三个平 面和两个平行平面 都相交时，两条交 线有什么关系？为 什么？
用符号语言表示性质定理：
/ /
a,
b
a//b
想一想：这个定理的作用是什么?
由平面与平面平行得出直线与直线平行
平行于同一个平面的两个平面平行.
已知：α∥γ，β∥γ 求证：α∥β
2.2.4_平面与平面平行的性质定理
平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们 的交线平行. 的交线平行. γ (1)该定理中有三个条件： α // β 该定理中有三个条件： 该定理中有三个条件 α I γ = a ⇒ a // b α a β I γ = b
DE AG AB DE ∴ = ,所以 = . EF GF BC EF
A D
α
G
B
E
β
H
F
γC
练习
1.α、β、γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同直 、 、 为三个不重合的平面 为三个不重合的平面， ， ， 为三条不同直 则有一下列命题，不正确的_______. 线，则有一下列命题，不正确的 ②③④⑤
β
b
α
a ∩ b = P ⇒ α // β a // α b // α
4.面面平行判定定理推论： 面面平行判定定理推论： 面面平行判定定理推论 如果一个平面内的两条相交直线分别 平行于另一个平面内的两条直线,那么这 平行于另一个平面内的两条直线 那么这 a ⊂α 两个平面平行. 两个平面平行 b ⊂α
α
a e
b f
β
c g
例 α // β // γ , 直线a与b分别交α，β，γ 于点A,B,C和点D,E,F, AB DE (1)求证： = . (2)连接CD交β 于点H，求证BGEH为平行四边形. BC EF a b 证明 : 如图，连接AF交β 于点G，
再连接BG，CF和GE，AD. 则面ACF与β 和γ 的交线分别为BG，CF 又 Q β // γ ,∴ BG // CF BG AB AG ∴ = BC GF 同理,面ADF与α 和β的交线分别为AD，GE ∴由α // β 可得AD//GE
直线、平面平行的判定与性质
直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( )(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( )(3)若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥α.( )(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的( )A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交解析：选D.因为a ∥平面α，直线a 与平面α无公共点，因此a 和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αc ∥β⇒α∥β ②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αa ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α其中正确的命题是________．解析：②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内． 答案：②(教材习题改编)在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析：如图，连接AC ，BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案：平行线面平行的判定与性质(高频考点)平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题的某一问中．高考对线面平行的判定与性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)线面位置关系的判断；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用．[典例引领]角度一线面位置关系的判断设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β【解析】A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α有可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.【答案】 D角度二线面平行的证明在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D.【证明】(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1∥MC1.又因为在平面BCC1B1中，BM綊FC1，所以四边形BMC1F为平行四边形，所以MC1∥BF，所以BF∥HD1.(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE∥DC且OE＝12DC，又D1G∥DC且D1G＝12DC，所以OE綊D1G，所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥D1O.又D1O⊂平面BB1D1D，GE⊄平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.角度三线面平行性质的应用B1C1D1中，E为线段AD上的任意一如图，在四棱柱ABCD-A点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.证明：FG∥平面AA1B1B.【证明】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D，又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG，因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG，而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.证明直线与平面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明．(2)判定定理法：在利用判定定理时，关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．[通关练习]1．(优质试题·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：选A.对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.2.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)在PC 上求一点G ，使FG ∥平面AEC ，并证明你的结论．解：(1)证明：连接BD 与AC 交于点O ，连接EO . 因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点， 所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)PC 的中点G 即为所求的点． 证明如下： 连接GE 、FG ， 因为E 为PD 的中点， 所以GE 綊12CD .又F 为AB 的中点，且四边形ABCD 为矩形， 所以F A 綊12CD . 所以F A 綊GE .所以四边形AFGE 为平行四边形，所以FG ∥AE .又FG ⊄平面AEC ，AE ⊂平面AEC ，所以FG∥平面AEC.面面平行的判定与性质[典例引领]B1C1中，E，F，G，如图所示，在三棱柱ABC-AH分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理之袁州冬雪创作
一、线面平行.
1、断定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那
末这条直线与这个平面平行.符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，颠末这条直线的
平面和这个平面相交，那末这条直线和交线平行.
符号暗示：
二、面面平行.
1、断定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另外一个平面内的两条相交直线，那末这两个平面平行.
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，
那它们的交线平行. 符号暗示：
行另外一平面）
三、线面垂直.
1、断定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线
都垂直，那末这条直线垂直这个平面. 符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（常常考到这种逻辑）在平面内的一条
直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那末它
也和这条斜线垂直.
符号暗示：
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行.（更加
实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直
线.）
四、面面垂直.
1、断定定理：颠末一个平面的垂线的平面与该平面垂直.
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交
线的直线垂直于另外一个平
面.βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
面面平行的定义和判定定理
面面平行的定义和判定定理
面面平行的性质定理：
一、线线平行
1、同位角成正比两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所封盖，如果
内错角成正比，那么这两条直线平行。
2、内错角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁
内角互补，那么这两条直线平行。
3、同旁内角优势互补两直线平行。
二、线面平行
1、利用定义：证明直线与平面并无公共点；
2、利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的'直线必平行于另一个平面。
平行平面间的距离处处相等。
已知：α∥β，ab⊥α，dc⊥α，且a、d∈α，b、
c∈β求证：ab=cd证明：连接ad、bc由线面垂直的性质定理可知ab∥cd，那么ab和cd
构成了平面abcd∵平面abcd∩α=ad，平面abcd∩β=bc，且α∥β∴ad∥bc（定理2）
∴四边形abcd是平行四边形∴ab=cd。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理之杨若古兰创作 一、线面平行.
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那
么这条直线与这个平面平行.符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面订交，那么这条直线和交线平行. 符号
暗示：
二、面面平行.
1、判定定理：如果一个平面内有两条订交直线分别平行于另一个平面内的两条订交直线，那么这两个平面平行.
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面订交，
那它们的交线平行. 符号暗示：（更加实用的性质：一个平面内的任不断线平行另一平
面）
三、线面垂直.
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条订交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面. 符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（经常考到这类逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
符号暗示：
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行.（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任不断线.） 四、面面垂直.
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直.
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
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α.
β
α
A
M
C
P
N
D
α
B
E
练习 1. 若α∥β，β∥γ，求证 α∥γ . 求证: a' M N α b' a b bn an
β γ
O
是长方形ABCD所在平面外的一点，AB、 所在平面外的一点， 、 例2 P是长方形 是长方形 所在平面外的一点 PD两点 、N满足 两点M、 满足 满足AM：MB=ND：NP。 两点 ： ： 。 求证： 求证：MN∥平面 ∥平面PBC。 。
证明 ∵α ∩γ = a, β ∩γ = b,
∴a α, b β.
∵α//β
所以a,b没有公共点 所以 没有公共点
γ
∵a, b γ
∴a//b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α
β
a b
面面平行的其它一些性质 1、若两个平面互相平行，则其中一个平面 、若两个平面互相平行， 中的直线必平行于另一个平面； 中的直线必平行于另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行； 、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这 、 个平面平行； 个平面平行； 4、夹在两平行平面间的平行线段相等。 、夹在两平行平面间的平行线段相等。
N D E A M B C P
例3、已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD 已知ABCD是平行四边形， ABCD是平行四边形 是平面ABCD 外一点， PC的中点， DM上取一点 上取一点G 外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G， 的中点 画出过G AP的平面。 画出过G和AP的平面。 的平面
5、 α // β， 、 ∈α， 、 ∈β， 若 A B C D 且AC∥BD，则AC与BD的长度关系 则 与 的长度关系 如何？ 如何？
α A B
βC
D
6、 α // β， ∈α， 设 A 过点A作直线 过点 作直线 l // β,则 与 的 置 系 何 l α 位 关 如 ？
α A
l
β
7、如果平面α、β都与平面γ相 如果平面α 都与平面γ 且交线平行， 交，且交线平行，则α∥β吗？
1
D1
C1 B1
P
D C
A
Q
B
问题讨论
β 1、若 α // β，l α, 则 l与 的位 置关系如何？该结论有何功能作用？ 置关系如何？该结论有何功能作用？
α
l
判定线面平 行的依据
β
且 β γ 2、若 α // β， α ∩γ = a,则 与 的位置关系如何？ 的位置关系如何？
设 ∩γ = b， β 则直线a 则直线a、b的位置 关系如何？为什么？ 关系如何？为什么？
γ a α β b
8 如图 设AB、CD为夹在两个平行平面 如图,设 、 为夹在两个平行平面
α、 β之间
的线段，且直线 、 为异面直线 为异面直线， 、 的线段，且直线AB、CD为异面直线，M、P 分别 的中点， 为AB、CD 的中点， 、 求证： 直线MP // 平面 求证： 直线
提示： 提示：过A做CD的平行 做 的平行 直线交 于E， AE的中点为N， 的中点为N， E 取AE的中点为
α β a
b γ
定理： 定理：两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线平行 平面相交，那么它们的交线平行.
简记:面面平行， 简记:面面平行，则线线平行
符号语言： 符号语言：
α ∩γ = a, a // b β ∩γ = b
α // β
γ
α
β
a b
β 如图， 例1 如图，已知平面 α ， ，γ ，满足 α // β 求证： 且 α ∩γ = a, β ∩γ = b, 求证： // b 。 a
问题提出
1、什么叫两平面平行？ 什么叫两平面平行？ 2、两平面平行的判定定理是什么？ 两平面平行的判定定理是什么？ 如果一个平面内有两条相交直 线分别平行于另一个平面， 线分别平行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行.
3、两平面平行的判定定理解决了 两平面平行的条件；反之， 两平面平行的条件；反之，在两平面 平行的条件下，会得到什么结论？ 平行的条件下，会得到什么结论？
P M
G
D H A
O
C
B
练习： 练习： 在平面VAC内，画出过点 作一个截面 点P在平面 在平面 内 画出过点P作一个截面 平行于直线VB和 。 平行于直线 和AC。 V
F P G B H A E C
例4 如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 如图：a∥α， 另一侧的点， 是α上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G 线段AB AC、AD交于 AB、 交于E BD=4，CF=4，AF=5， 点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
B C D
a
α
E
F
G
A
课外作业： 课外作业： 1、已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交 已知α∥β AB交 α∥β， CD交 α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9， AB∩CD=S，AS=8，BS=9，
S
CD=34， SC。 CD=34，求SC。
A C
S
α
A
C
α
β
D
B
β
B
D
2、已知P、Q是边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 已知P 是边长为1的正方体ABCD ABCD的面AA 的面AA1DD1 、面ABCD的中心 ABCD的中心 （1）求证：PQ// 平面DD1C1C 平面DD A 求证： （2）求线段的PQ长 求线段的PQ PQ长