幂函数与二次函数

幂函数与二次函数基础梳理

1．幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．

2．幂函数的图象

在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，

y ＝x －1的图象分别如右图．

3.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)

图象

定义域

(－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性 在x ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增 在x ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性

当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点

⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 对称性

图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形

5.二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)

(2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)

(3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)

函数y ＝f (x )对称轴的判断方法

(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2

2对称．

(2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．

练习检测

1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )．

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3.

答案 A

2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，

则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．

A ．－2，－12，12，2

B ．2，12，－12，－2

C ．－12，－2,2，12

D ．2，12，－2，－12

答案 B

3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ，x ≤0，x 2，x ＞0.

若f (α)＝4，则实数α等于( )． A ．－4或－2 B ．－4或2C ．－2或4 D ．－2或2

解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ α＞0，α2＝4，

得α＝－4或α＝2，故选B. 答案 B

4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )．

A ．3

B ．2或3

C ．2

D ．1或2

解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，

由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f (b )＝b ，

b >1，即⎩⎨⎧

b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2.

答案 C

5．(2012·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.

解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2

由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，

则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，b ＝－2，

2a 2＝4.因此f (x )＝－2x 2＋4.

答案 －2x 2＋4

6.函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．

(1)试写出g (t )的函数表达式；

(2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．

[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式．

解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.

当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1.

当t <1

当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1

综上可知g (t )＝⎩⎨⎧ t 2＋1≤0，t ≤0，1，0

t 2－2 t ＋2，t ≥1.

(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上

取到最小值

1.

(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在[m ，n ]上的最值需要根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象对称轴的位置，通过讨论进行求解．

7. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．

(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．

解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，

∴x ＝1时，f (x )取得最小值1；

x ＝－5时，f (x )取得最大值37.

(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，

∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，

∴－a ≤－5或－a ≥5，

故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.

8.已知幂函数)()(*322N m x x f m m

∈=--的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33)23()1(m

m

a a ---<+的a 的取值范围．

[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．

解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，

∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.

∵m ∈N *，∴m ＝1,2.

又函数的图象关于y 轴对称，

∴m 2－2m －3是偶数，

而22－2×2－3＝－3为奇数，

12－2×1－3＝－4为偶数，

∴m ＝1.

而f (x )＝x －13

在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13等价于a ＋1＞3－2a ＞0

或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a .

解得a ＜－1或23＜a ＜32.

故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32.