微积分B(2)第4次习题课参考答案(二重积分概念、性质、计算)_330203012

微积分 B(2)
第 4 次习题课（By ） Huzm
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微积分 B(2)第 4 次习题课
参考答案
注：不带“*”的是基本题．
1．（比较定理，区域可加性）确定积分区域
D
，使得二重积分
I
=
∫∫
D
(1
−
x2 9
−
y2 4
)dxdy
达到
最大值．
解：根据重积分的比较定理和积分区域的可加性性质，只要积分域 D 包含了使得被积函数
x2 + y2 dσ =
3π
2 π
dθ
−2cosθ r ⋅ rdr
0
D2
D2
2
3π
∫ ， = − 8 3
3π
2 π
2
cos3θ dθ
=
−
8 (sinθ 3
−
1 sin3 θ ) 3
2 π
= 32 9
2
D
所以 ． ∫∫ I = ( x2 + y2 + y)dσ = 16 (3π − 2)
D
9
解法 2：由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知 ∫∫ ydσ ， = 0
− arccos r
f (r cosθ , r sinθ )dθ
2
D 2
．（二重积分的概念、计算）求极限 ． 3
∑ ∑ n n
n
lim
n→∞ i=1 j=1 (n + i)(n2 + j2 )
解： ∑∑ ∑∑ n n lim
n
nn
= lim
1
⋅1
n→∞ i=1 j=1 (n + i)(n2 + j2 )
x
∂f
( x, ∂x
y)
x2
+ +
y
∂f
(x, ∂y
y)
y2
dxdy
= − 2π lim δ →0+
f (δ cosξ ,δ sinξ ) = −2πf (0,0)
8．（二重积分的性质，在极坐标系下的计算）设 D ={(x, y) x2 + y2 ≤1, x≥0} ，计算二重积
分 ． ∫∫ I
=
D
1 + xy 1+ x2 + y2
3π
． = 8 × 1 (sinθ + cosθ ) 4 = − 8
34
π
3
4
11 ．（ 二 重 积 分 的 性 质 ， 在 直 角 坐 标 系 下 的 计 算 ） 设 { D = (x, y) x + y ≤2} ，
x2 ,
≤ x + y 1,
≤ 计算二重积分 ． f (x, y) =
1 ,
x2 + y2
f (x, y) =1− x2 − y2 ≥0 的所有点，而没有包含 f (x, y) =1− x2 − y2 < 0 的点，那么二重积分
94
94
I
=
∫∫
D
(1
−
x2 9
−
y2 4
)dxdy
就会达到最大值，所以积分域应取为
≤ ． D = {(x, y) x2 + y2 1} 94
2．（二重积分与累此积分的关系）设函数 f (x, y) 连续，交换下列累次积分的积分次序：
（ ） ； ∫ ∫ 1
x2
1 dx f (x, y)dy
0
−x
（ ） ； ∫ ∫ ∫ ∫ 2
1
dx
2x−x2 f (x, y)dy +
2
dx
2−x
f (x, y)dy
0
0
1
0
（ ） ； ∫ ∫ 3
π
3 dθ
1 f (r cosθ , r sinθ )rdr
0
0
（ ） ∫ ∫ ． 4
π
2 −π
dθ
2 cosθ 0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
2
解：（1）
∫ ∫ 1
x2
dx
0
−x
f
( x,
y)dy
对应的二重积分的积分域
D
由
y
=
−x
，
y = x2 ， x = 0 ， x =1围成（如图）．
(1,1)
令 ： ≤≤≤≤ ： ≤≤ ≤≤ 则 ，所以 D1 0 y
x 1, y 1,
− y x 1, D2 −1 y 0,
r2 ) 1 0
=
π 2
ln 2
9．（二重积分的性质，在极坐标系下的计算）设 D 是介于圆周 x2 + y2 = 4 与圆周
之间的部分，计算二重积分 ． (x +1)2 + y2 =1
I = ∫∫ ( x2 + y2 + y)dσ
D
解法 ：记 ： ≤ ， ： ≤ ，则 1
D1 x2 + y2 4 D2 (x + 1)2 + y2 1
∫∫ ∫ ∫ ， f (x, y)dxdy =
1
dx
1−x x2dy =
1
D11
0
0
12
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ， f (x, y)dxdy =
1
dx
2− x
1
dy +
2
2−x
dx
1
dy = 2 ln
D12
0 1−x x2 + y2
1
0
x2 + y2
2 +1
所以 ( )． ∫∫ D
f
(பைடு நூலகம்,
y)dxdy
D1
dx f (x, y)dy
1
0
．记 ，则 ： ≤ ≤ ≤ ≤ 所以 D2
D = D1 ∪ D2
D 1 − 1 − y2 0 y 1,
x 2 − y,
y= 2x-x2
∫ ∫ ∫ ∫ 1
dx
2x−x2 f (x, y)dy +
2
dx
2−x
f (x, y)dy
0
0
1
0
∫ ∫ ． =
1
dy
2− y
f (x, y)dx
0
0
， =
π(t 2
−
sin t2 )
=
π[t 2
−
t2
+
1 6
t6
+
o(t6 )]
=
π 6
t6
+
o(t6 )
所以 f (t) 在t → 0+ 时是6 阶无穷小量．
7．*（复合函数微分法，二重积分在极坐标下的计算）设函数 f (x, y) 具有连续偏导数，记
≤ + ≤ ．若 ，求证： Dδ = {(x, y) δ 2 x2 y2 1}
π
2 −π
dθ
2
1 1+ cos θ
[1 −
r(1 +
cosθ
)]rdr
=
2
0
9
5．（函数平均值的概念，交换积分次序）求函数 f (x) = ∫xsint2dt 在区间[0,1]的平均值． 1
解：函数 f (x) = ∫ xsint2dt 在区间[0,1] 的平均值为 1
． ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ f =
n→∞
i=1
j =1
(1 +
i )(1 + n
j n
2 )
n2
=
∫∫
00≤≤xy≤≤11
(1
+
1 x)(1
+
y2
)
dxdy
． ∫ ∫ =
1 dx 01+ x
⋅
1 dy 01+ y2
=
π ln 2 4
4．（二重积分的几何意义，在极坐标系下的计算）设 Ω ⊂ R3 由锥面 z =1− 与平面 x2 + y2
f (x, y) = 0 (x2 + y2 = 1)
∫∫ ． lim
δ →0+
Dδ
x
∂f
( x, ∂x
y)
x2
+ +
y
∂f
(x, ∂y
y)
y2
dxdy
= −2πf (0,0)
解：令 则 x y
= =
r r
cosθ , sinθ ,
， ∂
∂r
[
f
(r
cosθ , r
sinθ )]
=
∂f
(x, ∂x
y)
cosθ
+
∂f
(x, ∂y
y)
sin θ
=
1[x r
∂f
(x, ∂x
y)
+
y
∂f
(x, ∂y
y)]
所以 ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Dδ
x
∂f
(x, ∂x
y) x2
+ +
y ∂f y2
(x, ∂y
y)
dxdy
=
2π dθ
0
1
r
∂f ∂r
⋅ rdr
=
δ r2
2π dθ
0
1 ∂f δ ∂r dr
∫ ∫ =
2π
2
所以 ． f = 1 (cos1−1) 2
6 ．（ 二 重 积 分 在 极 坐 标 系 下 的 计 算 ， 泰 勒 公 式 ） 当 t → 0+ 时 ， 求 无 穷 小 量
的阶． f (t) = ∫∫ 1− cos(x2 + y2 ) dσ ≤ x2 + y2 t2
解：因为 ∫ ∫ f (t) = 2π dθ t (1− cos r2 )rdr
D11
D12
其中 ≤ ≤ ≤ ≤ ， D11 = {(x, y) 0 x 1,0 y 1− x}
≤ ≤ ≤ ≤ D12 = {(x, y) 0 x 1,1 − x y 2 − x} ∪
x+y=2 x+y=1
D12
D11 1
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≤ ≤ ≤ ≤ ． {(x, y) 1 x 2,0 y 2 − x} 因为
=
1 3
+
4
2 ln
2 +1
注：利用极坐标系，得
∫∫ ∫ ∫ ∫ f (x, y)dxdy = 1
， D(x, y) = 1
D(u, v)
所以
v=u
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ (x − y)dxdy = (u− v)dudv =
D
D
5π
4 π
dθ
4
2 (r cosθ − r sinθ ) ⋅ rdr = − 8
0
3
D
．
解法 ：由 ≤ 得 ≤ ，所以 2 (x −1)2 + (y −1)2 2 r 2(sinθ + cosθ )
0
1− 1− y2
x+y=2 D1 D2
1
2
（3）
∫
π 3
dθ
∫
1
f
(r
cosθ
,
r
sin
θ
)rdr
对应的积分域为
D
（如图），
0
0
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所以
． ∫ ∫ ∫ ∫ π 3 dθ
1 f (r cosθ , r sinθ )rdr =
1
rdr
π
3 f (r cosθ , r sinθ )dθ
D = D1 ∪ D2
(1,-1)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ． 1 dx
x2 f (x, y)dy =
1
1
dy
f (x, y)dx +
0
1
dy f (x, y)dx
0
−x
0
y
−1
−y
（ ） 如图， 对应的积分域为 ， 对应的积分域为 2
∫ ∫ 1
2 x− x2
dx
f (x, y)dy
0
0
∫ ∫ 2
2−x
1 f (x)dx =
1
dx
x
sin
t 2 dt
=
−
1
dx
1sin t2dt
0
01
0
x
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交换积分次序，得
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ． 1 dx
1
sin
t
2dt
=
1
dt
t sin t2dx =
1
t
sin t2dt
=
1
(1 −
cos1)
0
x
00
0
． I = ∫∫ ( x2 + y2 + y)dσ − ∫∫ ( x2 + y2 + y)dσ
D1
D2
因为 ， ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ( x2 + y2 + y)dσ = x2 + y2 dσ = 2π dθ 2 r ⋅ rdr = 16 π
D1
D1
0
0
3
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ( x2 + y2 + y)dσ =
[f
(cosθ
,sinθ
)
−
f (δ cosθ ,δ sinθ )]dθ = −
2π f (δ cosθ ,δ sinθ )dθ
0
0
， = −2πf (δ cosξ ,δ sinξ )
其中 0 < ξ < 2π ．
因为函数 f (x, y) 在 (0,0) 处连续，所以
∫∫ ． lim
δ →0+
Dδ
设 ≤ ≥ ，计算二重积分 ． D = {(x, y) (x −1)2 + (y −1)2 2, y x}
∫∫ (x − y)dxdy
D
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解法
1：作变量代换（平移）
u v
= =
x y
− −
1, 1,
则
≤ ≥ ，（如图） D = {(u,v) u2 + v2 2,v u}
z = x 和 x = 0 围成，求Ω 的体积．
解：Ω 在 xOy 平面上的投影域 D 由曲线1− x = x2 + y2 与直线 x = 0 围成，D 在极坐标下可
以表示成 所以 ： ≤ ≤ D 0
r
1
+
1 cosθ
,
≤ ≤ ， −
π 2
θ
π 2
∫∫ ∫ ∫ ． V = [(1− D
x2 + y2 ) − x]dxdy =
D
所以
∫∫ ∫∫ ∫∫
I=
D
x2 + y2 dσ = 2 上D 1
x2 + y2 dσ +
上D 2
x2 + y2 dσ
∫ ∫ ∫ ∫ =
2
π
2 dθ
0
2 r 2dr +
0
π π
dθ
2
2 −2
cosθ
r
2
dr
． =
2
4 3
π
+
(
4 3
π
−
16 9
)
=
16 9
(3π
−
2)
10．（二重积分的变量替换公式，二重积分在极坐标系下的计算）
∫∫ ∫ ∫ (x − y)dxdy =
3π
4 π
dθ
2(sinθ +cosθ )
(r
cosθ
−
r sinθ )
⋅ rdr
0
D
4
∫=
3π
4 π
4
1 3
(cosθ
−
sinθ ) ⋅
r3
2(sinθ +cosθ ) 0
dθ
∫=
3π
4 π
4
8 (cosθ 3
−
sinθ ) ⋅ (sinθ
+
cosθ )3 dθ
0
0
0
0
（ ） 对应的积分域 是一个圆心 4
∫ ∫ π
2 −π
dθ
2 cosθ 0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
D
2
在(1,0) ，半径为1的圆（如图），所以
D 1
∫ ∫ π
2 −π
dθ
2 cosθ 0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
2
∫ ∫ ． =
2
rdr
0
arccos r 2
dxdy
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解：因为
D
关于
x
轴对称，且
1
+
xy x2 +
y
2
关于
y
是奇函数，所以
． ∫∫D
1+
xy x2 +
y2
dxdy
=
0
从而 ∫∫ ∫ ∫ ． I
=
D
1+
1 x2 +
y2
dxdy
=
π
2 −π
dθ
2
1r 01+ r2
dr
=
π 2
ln(1 +
1< x + y
2,
∫∫ f (x, y)dxdy
D
解：记 D1为区域 D 位于第一象限的部分，根据对称性得
． ∫∫ f (x, y)dxdy = 4∫∫ f (x, y)dxdy
D
D1
又 ， ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy
D1