第七章二次曲线的射影性质

§ 7.6 二次曲线的仿射分类
一、 非退化 |aij|0,秩(aij)=3. 1. A33≠0, 有心二阶曲线.
§ 7.4 二次曲线的射影分类
二、二阶曲线的射影分类
1. |aij|0,秩(aij)=3.
S ' a x a x a x 0.
' '2 11 1
' '2 22 2
' '2 33 3
再作一次仅改变单位点的射影坐标变换
xi'
S'=0又可化为
1
' | aii |
xi'' ,
i 1,2,3
a11c1 a12 c2 a13c3 0 a12 c1 a22 c2 a23c3 0
c1 : c2 : c3 A31 : A32 : A33 .
S x1 S x 2
0
C
0
C
于是, 中心坐标为： 有心二阶曲线：(A31, A32, A33). 无心二阶曲线：(A31, A32, 0). 即(a12, –a11, 0)或(a22, –a12, 0).
注1 验证两点P, Q关于共轭, 只要验证上式.
注2 P在上, 则Spp=0, 规定：上的点关于自共轭.
§ 7.3 配极变换
2. 极点与极线
共轭点轨迹p
P 定义7.7 对于点P, 若 P
则称P关于的
切线p
为P关于的极线, 方程为Sp=0. 反之, 称P为直线p关于 的极点.
§ 7.3 配极变换
一、二阶曲线的奇异点
1. 定义
定义7.20 若点P0(p0i)的坐标是方 程组 3
a x
j 1 ij
j
0 (aij a ji , i 1,2,3, 秩(aij ) 1)
的非零解, 则称P0为二阶曲线 ：
i , j 1
a x x
ij i
3
j
0
的一个奇异点.
注1. P0为的奇异点 P0在上, 且 Sp =0.
(2) 双曲线, 椭圆的中心为有穷远点；抛物线的中心为 无穷远点.
双曲线 椭圆

有心二阶曲线
A33 0. 抛物线 无心二阶曲线
A33 0.
§ 7.5 二次曲线的仿射理论
因为中心C为l的极点, 设C(c1,c2,c3). 则中心方程组为
a11 a12 a 13 a12 a22 a23 a13 a23 a33 c1 0 c2 0 . c 1 3
2S pq Sqq 0 S pq 0.
将qi 改为流动坐标xi , 得P关于的共轭点的轨迹为直线 Sp=0.
§ 7.3 配极变换
一、极点与极线
定理7.13 点P关于的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0. 推论7.5 两点P, Q关于共轭Spq=0. 即
a11 ( p1 , p2 , p3 ) a12 a 13 a12 a22 a23 a13 q1 a23 q2 0. a33 q3
易犯之错：A32的符号！
§ 7.5 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
(1). 直径 (XY, ZP)= –1 仿射定义 解几定义 无穷远点P的有穷 一组平行弦中点的 远极线(过中心的通常 轨迹. 直线). l不是任何二阶曲线的直径！ (2). 共轭直径 (XY, ZP)= –1 仿射定义 解几定义 直径AB的共轭直 直径AB的共轭直径 径为AB上无穷远点P 为平行于AB的弦的中 的极线EF(相互通过 点轨迹EF. 对方极点的两直径). (3). 共轭方向：与一对共轭直径平行的方向.
§ 7.3 配极变换
在二次曲线理论中十分重要, 与二次曲线的大部分重要性质 有关. 只讨论二阶曲线, 总假定：非退化.
设 :
S aij xi x j 0
i , j 1
3
aij a ji , | aij | 0.
(1)
一、极点与极线
定义7.1 两点P, Q关于共轭. (如图)
0, i 1, 2,3.
§ 7.3 配极变换
二、配极变换
1. 配极变换 非异实对 注4 称矩阵类 非退化 二阶曲线 配极变换
定义7.9 称由
ui aij x j
j 1 3
i 1,2,3, aij a ji , | aij | 0.
(4.18)
决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线 : S=0的配极变换. 注1 (4.18) 即 u1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 | aij | 0, 0 (4.18) u2 a12 x1 a22 x2 a23 x3 u a x a x a x 13 1 23 2 33 3 3 表示点x与直线u是关于 : S=0的极点极线关系. 注2 任一非退化二阶曲线都决定了平面上的一个配极变换.
双曲线 抛物线. 椭圆
双曲线
抛物线
椭圆
§ 7.5 二次曲线的仿射理论
一、二阶曲线与无穷远直线的关系
设
: S aij xi x j 0
i , j 1 3
aij a ji , 秩(aij ) 1.
(1)
其中xi为射影仿射坐标, 则x1, x2地位平等而x3特殊. 与l的交点为 S 0 2 2 a x 2 a x x a x 11 1 12 1 2 22 2 0, x3 0 解出x1:x2即得交点(x1,x2,0). 于是,对于x1:x2, 有两个 0 相异的实根 双曲型的 a11 a12 A33 0 为 抛物型的. 重合的实根 a12 a22 0 共轭的虚根 椭圆型的
四、渐近线
1. 定义. 二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线. 注1. 等价定义：过中心的有穷远切线称为渐近线. 注2. 与渐近线平行的方向称为渐近方向. 实 双曲线 注3. 有两条虚渐近线, 一对渐近方向；抛物线无渐近线. 椭 圆 从而, 渐近线只对有心二阶曲线讨论.
§ 7.6 二次曲线的仿射分类
简单六线形
a1a2 a3a4 a5a6
简记为：123456
§ 7.2 Pascal定理与Brianchon定理
一、Pascal定理与Brianchon定理
定理4.7(Pascal) Pascal线 Brianchon点 定理4.7'(Brianchon)
定理4.8(Pascal逆定理)
定理4.8'(Brianchon逆定理)
S ' ' x x x 0.
去掉“'' ”之后, 由于齐次性及x1, x2, x3的平等性, 只有两种情 况
'' 2 1
'' 2 2
'' 2 3
§ 7.4 二次曲线的射影分类
2 2 x12 x2 x3 0. 实二阶曲线（长圆曲线）
2 2 x12 x2 x3 0. 虚二阶曲线（零曲线）
§ 7.5 二次曲线的仿射理论
由于l： x3=0为仿射不变的, 因此二阶曲线与l的相交 情况也是仿射不变的, 所以有下列定理
定理7.25 对于二阶曲线 : S=0, A33的符号为仿射 wenku.baidu.com变的.
§ 7.5 二次曲线的仿射理论
二、二阶曲线的中心
定义7.22 l关于的极点C称为的中心.
(1) 通常点C为的中心C为的对称中心 (即C为过C的弦的中点).
定理7.13 点P关于的共轭点的轨 迹为一条直线Sp=0. 足
证明 设P(pi), Q(qi). 则PQ与 : S=0的交点M(pi+qi)满
Sqq 2 2S pq S pp 0.
§ 7.3 配极变换
设两根为1, 2. 则交点为Mj( pi+jqi)(j=1,2). 于是(PQ, M1M2)= –1 1/ 2= –1 1+2=0
§ 7.3 配极变换
二、配极变换
1. 配极变换
定理7.14(配极原则)点P 关于的极线p通过点Q 点Q关于的极线q通过点P.
定理7.14'(配极原则) 直 线p关于的极点P在直线q 上直线q关于的极点Q 在直线p上.
注 本定理为配极变换最基本的几何性质.
§ 7.4 二次曲线的射影分类
§ 7.3 配极变换
一、极点与极线
2. 极点与极线
S S S x x x 1 p 2 p 3 p ( 0) u1 u2 u3
即
S ui . xi p
§ 7.2 Pascal定理与Brianchon定理
两个古老而美丽的定理. 内容包括两个定理及其 逆定理, 以及它们的各种极限、退化形式. 有着重要 的应用意义！
简单六点形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 三双对边 简记为：123456
12, 45；23, 56；34, 61(间隔(n–2)/2条边)
§ 7.4 二次曲线的射影分类
2 x12 x2 0. 一对相交实直线
2 x12 x2 0. 一对共轭虚直线
综上, 当二阶曲线退化且秩为2时, 其方程必可化为 上述两种标准方程之一.
§ 7.4 二次曲线的射影分类
二、二阶曲线的射影分类 3. |aij|=0,秩(aij)=1.
0
注2. : S=0有奇异点|aij|=0 为退化 的.
§ 7.4 二次曲线的射影分类
注3. 若秩(aij)=2, 则有唯一奇异点；若秩(aij)=1, 则 有无穷多的奇异点, 构成一条直线.
2. 性质
(1). 定理7.24. 上一点P为奇异点P与上任一点连线上的 点都在上.
综上, 非退化二阶曲线的方程必可化为上述两种标准方程之一.
§ 7.4 二次曲线的射影分类
二、二阶曲线的射影分类 2. |aij|=0,秩(aij)=2.
退化为两条相交直线m1,m2
取新的射影坐标系如图所示, 的方 程可化为
2 x12 x2 0.
即
2 x12 x2 0. 一对相交实直线
一、极点与极线
2. 极点与极线
推论7.6 平面上任一点P关于的极线存在唯一, 方程 为Sp=0. 反之, 平面上任一直线p关于的极点存在唯一. 证明 只要证后半. 设直线u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求u关 于的极点. 设P(pi)为其一个极点. 由于P(pi)的极线唯一存在为Sp=0, 从而u与Sp=0为同 一直线, 即
问题：在射影仿射平面上, 给定
: S aij xi x j 0
i , j 1 3
aij a ji , 秩(aij ) 1.
(1)
适当选取射影仿射坐标系, 将的方程化为射影仿射标 准方程. 依据： 的秩, A33的符号, 将双曲型、抛物型、椭圆 型三类曲线进一步细分为若干射影仿射等价类, 得到每 一类的标准方程. 注意：由l ：x3=0在射影仿射平面上的特殊性, 故在 选取新的射影仿射坐标系时必须保持A1', A2'总在l上.
退化为一条完全由奇异点构成的直线. 取此直线为 坐标三点形的一边, 比如A'2A'3, 则S=0必可化为
2 x1 0. 一对重合实直线
综上, 当退化且秩为1时, 的方程必可化为上述标准方程.
由以上讨论, 二阶曲线被分成5个等价类, 属于同一等 价类的二阶曲线的方程必可化为上述5种标准方程之一.
§ 7.5 二次曲线的仿射理论
利用中心坐标, 可直接写出的直径方程为
a11 x1 a12 x2 bx3 0(b为常数 ) 即 a11 y x b. a12
或者
a12 x1 a22 x2 bx3 0(b为常数 )
即
a12 y x b. a22
§ 7.5 二次曲线的仿射理论
§ 7.5 二次曲线的仿射理论
约定 本节与下节, 仅在射影仿射平面上讨论, 即指定 l: x3=0.
一、二阶曲线与无穷远直线的关系
定义7.21 对于任意的二阶曲线, 若交l于两个 相异的实点 双曲型的 重合的实点 , 则称为 抛物型的. 若非退化, 则称 共轭的虚点 椭圆型的 为