14.几何综合：2020年北京市各区初三数学二模试题分类整理(学生版)

202006初三数学二模试题整理：几何综合（学生版）

一、 以四边形为背景的几何综合题 （一）四边形+旋转

1.（202006二模燕山27）已知菱形ABCD 中，∠A ＝60°，点E 为边AD 上一个动点（不与点A ，D 重合），点F 在边DC 上，且AE ＝DF ，将线段DF 绕着点D 逆时针旋转120°得线段DG ，连接GF ，BF ，EF ． （1）依题意补全图形；

（2）求证：△BEF 为等边三角形；

（3）用等式表示线段BG ，GF ，CF 的数量关系， 并证明．

（二）四边形性质

2.（202006二模西城27）（轴对称）

在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点（CE >DE ），AE ，BD 交于点F . （1）如图1，过点F 作GH ⊥AE ，分别交边AD ，BC 于点G ，H . 求证：∠EAB =∠GHC ；

（2）AE 的垂直平分线分别与AD ， AE ， BD 交于点P ，M ，N ，连接CN . ① 依题意补全图形；

② 用等式表示线段AE 与CN 之间的数量关系，并证明．

图1 备用图

C

B

A

D

E

A

F

D

C

E

B

G H

A

F

D

C

E

B

二、以三角形为背景的几何综合题

（一）三角形+轴对称

3.（202006二模顺义27）（轴对称+旋转）

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为线段BC上一动点（点D不与

点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．

（1）依题意补全图形；

（2）AE与DF的位置关系是；

（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D 在运动变化的过程中，∠DAF的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF= °，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：

想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可

证△AFG≌△AFE……

想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造□ABGF，然后可

证△AFE≌△BGC……

请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．

B

（二）三角形+旋转 4.（202006二模海淀27）

如图1，等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，满足BD CD <, 连接AD , 以点A 为中心,将射线AD 顺时针．．．旋转60°，与△ABC 的外角平分线BM 交于点E . （1）依题意补全图1； （2）求证：AD =AE ；

（3）若点B 关于直线AD 的对称点为F ，连接CF .

① 求证：AE ∥CF ；

② 若BE CF AB +=成立，直接写出∠BAD 的度数为__________°.

5.（202006二模丰台27）（旋转）

如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，将CA 绕点C 顺时针旋转45°得到CP ，点A 关 于直线CP 的对称点为D ，连接AD 交直线CP 于点E ，连接CD ． （1）根据题意补全图形； （2）判断△ACD 的形状并证明；

（3）连接BE ，用等式表示线段AB ，BC ，BE 之间的 数量关系，并证明.

温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难， 可以参考下面几种解法的主要思路.

解法1的主要思路：延长BC 至点F ，使CF =AB ，连接EF ，可证△ABE ≌△CEF ， 再证△BEF 是等腰直角三角形.

解法2的主要思路：过点A 作AM ⊥BE 于点M ，可证△ABM 是等腰直角三角 形，再证△ABC ∽△AME .

解法3的主要思路：过点A 作AM ⊥BE 于点M ，过点C 作CN ⊥BE 于点N ， 设BN =a ，EN =b ，用含a 或b 的式子表示出AB ，BC . ……

A

B

C

A

B C

M

备用图

图 1

6.（202006二模东城27）在△ABC中AB=AC，BACα

∠=，D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D，A，E不共线，连接AD，BD，CD．

（1）如图1，当60

α=︒，∠ADB=30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；

（2）当90

α=︒，∠ADB=45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关

系并证明；

（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）

（3）当

1

2

ADBα

∠=时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等

式直接表示出它们之间的关系．

图1 图2

7.（202006二模房山27）（旋转+相似）

点C 为线段AB 上一点，以AC 为斜边作等腰ADC Rt Δ，连接BD ，在ABD Δ外侧, 以BD 为斜边作等腰Rt BED △，连接EC . （1）如图1，当30DBA =︒∠时： ① 求证：AC BD =；

② 判断线段EC 与EB 的数量关系，并证明；

图1 （2）如图2，当°45<∠<°0DBA 时，EC 与EB 的数量关系是否保持不变？ 对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路： 想法1： 尝试将点D 为旋转中心. 过点D 作线段BD 的垂线，交BE 延长线于 点G ，连接CG ；通过证明三角形ADB ∆≌CDG Δ全等解决以上问题； 想法2：尝试将点D 为旋转中心. 过点D 作线段AB 的垂线，垂足为点G ，连 接EG .通过证明ADB Δ∽GDE Δ解决以上问题；

想法3：尝试利用四点共圆. 过点D 作AB 垂线段DF ，连接EF ，通过证明 D 、F 、B 、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题. 请你参考上面的想法，证明EC =EB （一种方法即可）

图2

A

A