反常积分审敛法判定

a
1 xp
dx
(a 0)当 p 1时收敛，当
p 1时发散.
结 论 ： 无 穷 积 分
1 2 x lnk x dx
k 1时发散.
当k 1时收敛，当
5
5.2 瑕积分
b f ( x)dx lim b f ( x)dx
a
00 a
b
b-
f ( x)dx lim f ( x)dx
d
1 xp
但是
=sin1+p
sin x 1 x p+1 dx
是收敛的；
sin x sin2 x 1 cos 2x
xp
x
-
, x [1, ),
2x 2x
其中 cos 2x dx 1 cos t dt 是收敛的；
1 2x
22 t
而 dx 发散，因此
1 2x
1
sin x xp
dx
发散.
x 0
x
x 0
因此由推论知, 1 ln x dx 收敛,即 1 ln xdx 收敛.
0x
0x
29
5.５ -函数与B-函数
1. - 函数
定义 ( ) e- x x-1dx ( 0) 0
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 - 1 0 时被积函数在点 x 0 的
右领域内无界.
设
I1
特别地，
结论：瑕积分
1
0
1 xq
dx
当q
1时收敛，当q
1时
发散.
7
5.3 无穷区间上积分的审敛准则 １．非负被积函数的判别法
引理 设函数 f ( x) 在区间 [a, +）上可积，b a，
且
f ( x) 0．若函数 F ( x)
x
f (t)dt
a
在 [a, ) 上有界，则广义积分 f ( x)dx 收敛． a
p 1时发散.
16
例４
讨论无穷积分
2
1 xk ln x dx
(k 0)的收敛性.
解 当k 1时, 1 dx 发散；
2 x ln x
当k 1时,
1
1
xk
ln x
(x x ln x
2)
2
xk
1 ln
x
dx
发散；
当k 1时,
11 xk ln x / xk 0
(x )
2
xk
1 ln
2013年1月7日
南京航空航天大学 理学院 数学系
8
定理5.1 (比较判别法) 设函数 f ( x)、g( x) 在
任何区间[a, b] 上可积，
如果 0 f ( x) g( x) (a x ), 那么
若
g( x)dx
收敛，则
f ( x)dx 也收敛；
a
a
若
f ( x)dx 发散，则
g( x)dx
也发散．
a
a
证明 设 a b ，由 0 f ( x) g( x)及
g( x)dx
a
收敛，得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx.
a
a
a
即 F (b) b f ( x)dx 在 [a,) 上有上界． a
由引理知
f
(
x
)dx
收敛．
a
9
如果
f ( x)dx发散,则
解
sin2 1 x
1
,而
1 dx 收敛，
x
x
０x
sin2 1
根据比较判别法, 1 x dx 收敛， 0x
25
定理5.5 (比较判别法的极限形式)
设函数 f ( x)、g( x) 在任何区间[a , b] (0 b - a)上可积，且当a x b时，
f ( x)，g( x) 0 . 如果 lim f ( x) l， xa0 g( x)
20
综合
当 0
p
1 时,
1
sin x xp
dx
条件收敛;
当 1 p 时， sin x dx 绝对收敛. 1 xp
当 0
p
1 时， 1
cos x xp
dx
条件收敛;
当 1
p
时， 1
cos x xp
dx
绝对收敛.
21
复习思考题
1. 设 f ( x) 在 [a,) 非负, f ( x)dx 收敛,试问此时 a 是否必有 lim f ( x) 0? x
f ( x) )dx 也收敛.
a
故
f ( x)dx
[( f ( x)
f (x) ) -
f ( x) ]dx
收敛.
a
a
例5 判别
sin
x
dx (a 0) 的收敛性.
1 x(a x)
解 由于
sin x x(a x)
1 ,而 xx
1
1 x3
2 dx
收敛,
因此 sin x dx 绝对收敛.
x
dx
收敛.
17
２．一般函数无穷积分的判别法
------绝对收敛与条件收敛
定义 设无穷区间上的积分 f ( x)d x收敛 , a
若 f ( x)dx 收敛 , 则称 f ( x)d x绝对收敛；
a
a
也称 f ( x)在无穷区间[a,)上绝对可积；
若 f ( x)dx 发散 , 则称 a
即 f ( x) g( x), x [ X , ), 因此由 g( x)dx 发散 a
可推得 f ( x) dx 发散. a
15
例３ 判别无穷积分的收敛性：
（1） sin 1
1 x2 dx
；（2） arctan xdx
1
x
记住：无穷积分
a
1 xp
dx
(a 0)当 p 1时收敛，当
定理5.6 若瑕积分 b f ( x) d x(a为瑕点)收敛 , 则瑕积分 a b f ( x)d x收敛 , 称为绝对收敛 . a
例８. 判别瑕积分
的敛散性 .
解 x 0 是瑕点,- ln x 0 ( x (0, 1]).由于
lim x3 / 4 ln x - lim x1 4 ln x 0,
e- x x -1
1 x1-
1 ex
1 x1-
,
I1 收敛.
(2)
lim
x
x2 (e- x x-1 )
lim
x
x 1 ex
0,
I2 也收敛.
(s)
由 (1), (2) 知
e- x x-1dx 对 0 均收敛. 0
o
s
31
－函数的几个重要性质：
１．递推公式 ( 1) ( ) ( 0). ２．当 0 时，( ) . 3．余元公式 ( )(1 - ) (0 1).
g( x)dx
必定发散.
a
a
0 f ( x) g( x).
如果
g( x)dx
收敛，由第一部分知
a
f ( x)dx 也收，这与假设矛盾． a
例１ 判别无穷积分 dx 的收敛性.
1 3 x4 1
解
0
3
1 x4 1
3
1 x4
1 x4/3 ,
p 4 1, 3
根据定理１， 无穷积分 dx 收敛.
13
(2)由 lim f ( x) 0, 存在 X a, 使 x X , 有 x g( x)
f (x) 1 , g( x)
即 f ( x) g( x), x [ X , ), 因此由 g( x)dx 收敛 a
可推得 f ( x)dx 收敛. a
14
(3)由 lim f ( x) , 存在 X a, 使 x X , 有 x g( x) f ( x) 1, g( x)
sin
４．在 ( ) e- x x-1dx 中，作代换 x t 2， 0
lim f ( x) l， x g( x)
则(1)当 0 l 时，二无穷积分有相同的收敛性；
(2)当 l 0 时，若 g( x)dx 收敛，则 f ( x)dx 收敛；
a
a
(3)当 l 时，若 g( x)dx 发散，则 f ( x)dx 发散．
a
a
12
证 (1) 由 lim f ( x) l 0, 故存在 X a,使 x X ,有 x g( x)
f ( x) - l l , 即 l g( x) f ( x) 3l g( x).
g( x)
2
2
2
若 f ( x)dx 收敛, 则可得 l g( x)dx 收敛,从而
a
a2
g( x)dx 收敛. a
反之,若 g( x) dx 收敛, 可得 3l g( x)dx 收敛,
a
a2
从而 f ( x)dx 收敛. a
则(1)当 0 l 时，两瑕积分有相同的收敛性；
(2)当
l0
时，若
b
a g( x)dx
收敛，则
b
f ( x)dx
a
收敛；
(3)当 l 时，若
b g( x)dx
发散，则
b
f ( x)dx
a
a
发散．
在定理６中若选择 法．
g( x)
(x
1 - a)q
则有Cauchy判别
26
推论 设非负函数 f 定义于 (a,b] ,a 为瑕点,且在任
2. 若 f ( x)dx 收敛,能否推得 f 3( x)dx 收敛?
a
a
反之呢?
22
5.4 无界函数积分的审敛准则
瑕积分的性质与收敛判别, 与无穷积 分的性质与收敛判别相类似. 因此本节
内容大都是罗列出一些基本结论, 并举 例加以应用, 而不再进行重复论证.
23
定理5.4 (比较判别法) 设函数 f ( x)、g( x) 在
何 [u,b] (a,b] 上可积.若 lim ( x - a)q f ( x) ,则 xa
(i) 当0 q 1,0 时，b f ( x)dx 收敛; a
(ii) 当q 1,0 时，b f ( x)dx 发散. a
利用 x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) ~ ex - 1 ( x 0),
5.4 无界函数积分的审敛准则
3
5.1 无穷积分
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
b a
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
-
a- a
f (x)dx
lim
b
f ( x)dx
-
a- a
b
当极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在
时，称无穷积分发散.
4
结论：无穷积分
1 e- x x -1dx,
0
I2
e- x x -1dx,
1
(1) 当 1 时, I1 是定积分; 当 0 1 时,
e- x x -1
1 x1-
1 ex
1 x1-
,
I1 收敛.
设
I1
1 e- x x -1dx,
0
I2
e- x x -1dx,
1
(1) 当 1 时, I1 是定积分; 当 0 1 时,
第3章 一元函数积分学及其应用
第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程
1
第5节 反常（广义）积分
定积分
积分限有限 被积函数有界
推广
5.1 无穷积分 广义积分 5.2 瑕积分
2
第5节 反常积分 5.1 无穷积分-无穷区间上积分 5.2 瑕积分-无界函数的积分 5.3 无穷区间上积分的审敛准则
a
00 a
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
Baidu Nhomakorabea
c-
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
00 a
00 c
当极限存在时，称瑕积分收敛；当极限不存在 时，称瑕积分发散.
6
结论：瑕积分
b a
(
x
1 -a
)
p
dx
当
p
1时收敛，当
p 1时发散.
1 x(a x)
19
例6
讨论
1
sin x xp
dx
与
1
cos x xp
dx
(
p
0)
的收敛性.
解 当 p 1时, 由于
sin x xp
1 xp
,
因此
1
sin x xp
d
x
绝对收敛.
若0 p1,
1
cos x xp
dx
=
1
1 xp
d
sin
x
=
1 xp
sin x
-
1
1
sin x xp
f ( x)d x条件收敛.
a
绝对收敛的无穷积分 f ( x)dx 必定收敛． a
18
定理5.3 如果 f ( x) dx 收敛 f ( x)dx 也收敛．
a
a
证 0 ( f ( x) f ( x) ) 2 f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
( f (x)
任何区间[a , b] (0 b - a)上可积，
如果 0 f ( x) g( x) (a x b), 那么
若
b
g( x)dx
收敛，则
b f ( x)dx也收敛；
a
a
若 b f ( x)dx发散，则
b
g( x)dx
也发散．
a
a
24
sin2 1
例６ 判别瑕积分 1 x dx 的收敛性. 0x
可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.
27
例７ 判别瑕积分 3 dx 的收敛性. 1 ln x 解 被积函数在点 x 1的左邻域内无界．
由洛必达法则知
1
lim ( x - 1)
x 1 0
ln x
1
lim
x 1 0
1
1 0,
x
根据比较判别法极限形式,所给瑕积分发散.
28
类似定理5.3, 有下列结论:
1 3 x4 1 10
例２
判别无穷积分的收敛性:
(1) e- x2 dx; 1
e- x2 e- x
( x 1)
e x
(2) 1
x3 dx.
ex
lim
x
x3
11
定理5.2 (比较判别法的极限形式)
设函数 f ( x)、g( x) 在任何区间[a, b]上可积，
且当x a时，f ( x)，g( x) 0 . 如果