4整数规划 运筹学 西南交通大学 经济管理学院
运筹学_第4章__整数规划习题
运筹学_第4章__整数规划习题第四章整数规划4.1 某⼯⼚⽣产甲、⼄两种设备，已知⽣产这两种设备需要消耗材料A 、材料B ，有关数据如下，问这两种设备各⽣产多少使⼯⼚利润最⼤？（只建模不求解）解：设⽣产甲、⼄这两种设备的数量分别为x 1、x 2，由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建⽴模型如下：2123max x x z +=≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x4.2 2197max x x z +=≥≤+≤+-且为整数0,35763.212121x x x x x x t s割平⾯法求解。
（下表为最优表）线性规划的最优解为：63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x由最终表中得：27221227432=++x x x ④将系数和常数项分解成整数和⾮负真分式之和，上式化为；2132********+=++x x x移项后得：①②③④①②③即：21221227212212274343-≤--→≥+x x x x只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。
表4－3表4－4由x 1⾏得：7327171541=-+x x x 将系数和常数项分解成整数和⾮负真分数之和：74476715541+=+-+x x x x得到新的约束条件： 74767154-≤--x x747671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，⽤对偶单纯形法求解：则最优解为3,421==x x ，最优⽬标函数值为z =55。
4.3 max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥+≥++≤+-10,,13344352.32132321321或x x x x x x x x x x x t s隐枚举法解：（1）先⽤试探的⽅法找出⼀个初始可⾏解，如x 1＝x 2＝0，x 3＝1。
满⾜约束条件，选其作为初始可⾏解，⽬标函数z 0＝2。
（2）附加过滤条件以⽬标函数0z z ≥作为过滤约束：2234321≥++x x x原模型变为：max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥++≥+≥++≤+-10,,22341334435232132132321321或x x x x x x x x x x x x x x 求解过程如表所⽰。
运筹学中的整数规划问题分析
运筹学中的整数规划问题分析运筹学是运用数学和定量分析方法，通过对系统的建模和优化，来解决实际问题的学科。
其中整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在许多实际情况中得到广泛应用。
本文将对整数规划问题进行分析，并探讨其解决方法与应用领域。
一、整数规划问题定义及特点整数规划是一类线性规划问题的扩展，其目标函数和约束条件中的变量取值限定为整数。
通常，整数规划问题可以形式化表示为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z为目标函数值，x₁, x₂, ..., xₙ为待求解的整数变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数。
整数规划问题的特点在于整数约束条件的引入，使其解空间变得有限，增加了问题的复杂性。
与线性规划问题相比，整数规划问题更接近实际情况，能够更准确地描述和解决很多实际问题。
二、整数规划问题的解决方法解决整数规划问题的方法主要有以下几种：穷举法、剪枝法、分支定界法、动态规划法等。
具体使用哪种方法需要根据问题的规模和特点来确定。
1. 穷举法是最简单直观的方法，通过枚举搜索整数解空间中的每一个可能解来寻找最优解。
然而，由于整数解空间往往非常大，这种方法在实际问题中往往是不可行的。
2. 剪枝法是一种通过对解空间进行剪枝操作，减少搜索空间的方法。
通过合理选择剪枝条件，可以避免对明显无解的解空间进行搜索，从而提高求解效率。
3. 分支定界法是一种将整数规划问题不断分解为子问题，并对子问题进行界定的方法。
通过不断缩小问题规模，并计算上下界确定最优解的位置，可以有效地求解整数规划问题。
西南交通大学《管理运筹学B》_在线作业二
西南交《管理运筹学B》在线作业二
在图论中，通常用点表示（）
A:研究对象
B:连接各边
C:研究对象之间一般关系
D:研究对象之间特定关系
参考选项：A
线性规划问题的标准形式中，所有变量必须（）
A:大于等于零
B:小于等于零
C:等于零
D:自由取值
参考选项：A
以下各项中不属于运输问题的求解程序的是（）
A:分析实际问题，绘制运输图
B:用单纯形法求得初始运输方案
C:计算空格的改进指数
D:根据改进指数判断是否已得最优解
参考选项：B
数学模型中，“s·t”表示（）
A:目标函数
B:约束
C:目标函数系数
D:约束条件系数
参考选项：B
求解需求量小于供应量的运输问题不需要做的是（）
A:虚设一个需求点
B:令供应点到虚设的需求点的单位运费为0
C:取虚设的需求点的需求量为恰当值
D:删去一个供应点
参考选项：D
运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。
可以说这个过程是一个（）
A:解决问题过程
B:分析问题过程
C:科学决策过程
D:前期预策过程
1。
运筹学B课程教学大纲-西南交通大学经济管理学院中心
课程实验大纲《运筹学B》课程实验大纲课程名称：运筹学英文名称：Operational Research课程代码：5037700一、实验总学时（课外学时/课内学时）： 24学时总学分：3学分必开实验个数：4个选开实验个数：4 二、实验的地位、作用本课程是管理类专业的一门主要课程，是一门应用科学，强调科学性和定量分析，它广泛应用现有科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。
要求学生运用来自企业和生活的实际案例，掌握建立数学模型的方法，用Excel电子表格对数学模型进行求解，培养学生分析问题的思想方法和提炼数学模型的技巧，运用运筹学方法解决管理实际问题的能力。
三、基本原理及课程简介《运筹学》是管理类专业的一门主要课程，是一门应用科学，强调科学性和定量分析，它广泛应用现有科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。
要求的先修课程主要有：高等数学、线性代数、概率论。
《运筹学》实验的主要内容包括：线性规划；灵敏度分析；运输问题和指派问题；网络最优化问题；项目管理；整数规划；非线性规划；目标规划；决策分析等。
四、实验的目的本课程实验的目的有以下几点：1、帮助学生获得管理科学的基本知识，了解管理科学发展的前沿，掌握研究管理科学知识的一般方法。
2、引导学生运用来自企业和生活的实际案例掌握建立数学模型的方法，用Excel电子表格对数学模型进行求解。
3、培养学生分析问题的思想方法和提炼数学模型的技巧，运用运筹学方法解决管理实际问题的能力。
五、实验基本要求学生必须熟悉应用EXCEL软件的使用；必须能够运用EXCEL软件对已知数据进行整理分析，根据实际的管理情况，对公司面临的一些进行简单的决策问题进行分析，在以上基础上能够建立问题的数学建模，并运用所学的运筹学知识对模型进行求解，最终得到结果，给管理决策提供相关对策建议。
六、实验项目与内容七、考核方式与评分办法所有实验以小组为单位，以PPT演讲的形式对老师和所有同学演示，并以电子文档形式上交演示稿及建模过程。
西南交通大学管理运筹学试题（C）
西南交通⼤学管理运筹学试题（C）管理运筹学试题（C）⼀．单项选择（将唯⼀正确答案前⾯的字母填⼊题后的括号⾥。
正确得1分，选错、多选或不选得0分。
共15分）1．线性规划⼀般模型中，⾃由变量可以⽤两个⾮负变量的（）代换。
A．和B．差C．积D．商正确答案：A: B: C: D:2．满⾜线性规划问题全部约束条件的解称为（）A．最优解B．基本解C．可⾏解D．多重解正确答案：A: B: C: D:3．当满⾜最优检验，且检验数为零的变量的个数⼤于基变量的个数时，可求得（）A．多重解B．⽆解C．正则解D．退化解正确答案：A: B: C: D:4．原问题与对偶问题的最优（）相同。
A．解B．⽬标值C．解结构D．解的分量个数正确答案：A: B: C: D:5．运输问题中，m+n-1个变量构成基本可解的充要条件是它不含（）A．松弛变量B．多余变量C．闭回路D．圈正确答案：A: B: C: D:6．只有⼀部分变量限制为整数的线性规划称为（）A．混合整数规划B．局部整数规划C．部分整数规划D．0—1规划正确答案：正确答案：A: B: C: D: 7．有向图的基本图⼀定是（）A．⽆向图B．有向图C．完备图D．有向树正确答案：A: B: C: D:8．树T的任意两个顶点间恰有⼀条（）A．边B．初等链C．欧拉链D．回路正确答案：A: B: C: D:9．若运输⽹络G中不存在流f的增流链，则称流f为G （）A．最⼩流B．零流C．平凡流D．最⼤流正确答案：A: B: C: D:10．若Q为f增流链，则Q中所有后向边都为f （）A．零边B．正边C．饱和边D．对边正确答案：A: B: C: D:11．对G上任⼀流f和任⼀割K，⼀定有（）A．Valf=CapK B．Valf≥CapK C．Valf≤CapK D．⽆法⽐较正确答案：A: B: C: D:12．若T*为G的⽣成树，且有W（T*）=min{W（T）|T为G的⽣成树}，则称T*为G的（）A．⽣成树B．最⼩⽣成树C．根树D．最⼩边集正确答案：A: B: C: D:13．树T的任意两个顶点间恰有⼀条（）A．回路B．路径C．初等链D．根正确答案：A: B: C: D:14．若是否采⽤j项⽬的0-1变量为xj,那么J个项⽬中⾄多只能选择⼀个项⽬的约束⽅程为（）D．⽆法表⽰正确答案：A: B: C: D:15．若K*为满⾜下列条件的割，CapK*=min{CapK |K为G的⼀个割}，则称K*为G的（）A．最⼩割B．最⼩流C．最⼩值D．最⼩费⽤正确答案：A: B: C: D:⼆．多项选择题（每题⾄少有⼀个答案是正确的。
西南交大经管院《运筹学》运输与整数规划
凑整法
例：max: z = 3x1 + x2
s.t.
2x1 + x2
≤5
2x1 + 3x2 = 5 x1, x2 为非负整数 松弛问题解: x = (2.5, 0 ) T, 四舍五入得不到可行解;
整数最优解: x = (1, 1) T
凑整法
例：max: x1 + 5x2
x2
s.t. x1 + 10x2 ≤ 20
-
Month Installed
2
3
1.10
1.11
1.12
1.13
1.11
1.13
1.12
1.14
-
1.10
-
1.11
-
-
-
-
4 1.13 1.15 1.14 1.15 1.12 1.13 1.13 1.15
Units Produced
1
1 (RT) 10
1 (OT) 0
2 (RT) 0
Month 2 (OT) 0
如指派问题、背包问题、旅行推销商问题都是整数规划问 题； 整数规划又是最难求解的问题之一，至今还没有找到有效算 法。
邮局排班问题
例1：邮局一年365天都要有人值班，每天需要的职工数因 业务忙闲而异，据统计邮局每天需要的人数按周期变化， 一周内每天需要的人数如下表：
排班要符合每周连续工作五天，休息两天的规定。如 何排班可使用人最少。
operationsresearch运输与整数规划西南交通大学经济管理学院transportationproblem运输问题sourcesdestinations运输问题的特征每一个出发地都有一定的供应量supply配送到目的地每一个目的地都有需要从一定的需求量demand接收从出发地发出的产品需求假设therequirementsassumption可行解特性thefeasiblesolutionsproperty成本假设thecostassumption数解性质integersolutionsproperty选择顾客耐芙迪公司在3个工厂中专门生产一种产品这种产品有着优良的品质所以现在公司接到了许多订单产品供不应求
5动态规划 运筹学 西南交通大学 经济管理学院
运筹动 态 规 划学Operations Research西南交通大学经济管理学院西南交通大学经济管理学院需要倒推求解的问题 拾火柴游戏: 桌子上放30根火柴, 每人一次可拾起1－ 3根, 谁拾起最后一根火柴谁输, 如果你先选择, 如何 保证你能赢得游戏？ 29－25－21－17－13－9－5－1 买牛奶：给你4升和9升两个瓶子，让你买回6升牛 奶，如何满足这一要求？ 9升: 6－6－9－0－1－1－5－5－9 4升: 0－4－1－1－0－4－0－4－0西南交通大学经济管理学院静态的优化方法:线性规划、非线性规划-----静态性，叙述和 解决问题都是征对某一时刻发生的情况，与时间的推移无关 另一类问题：包含有与时间相关联的变量----多阶段决策过程 最优性原理 一系列相互联系的单阶段问题 状态 决策 状态 1 状态 决策 状态 k 状态 决策 状态 n所有决策构成一个决策序列，多阶段决策过程目的是求使 整个过程达到最好活动效果的决策序列。
一个决策序列是在 变化的状态中产生出来的，这种规划叫动态规划西南交通大学经济管理学院动态规划的基本概念 动态规划是解决多阶段最优决策的方法, 由美国数 学家贝尔曼(R. Bellman) 于 1951年首先提出; 1957年贝尔曼发表动态规划方面的第一部专著“动 态规划”, 标志着运筹学的一 个新分支的创立。
动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为一系列简 单的、离散的单阶段决策问题，采用顺序求解方法, 通过解一系列小问题达到求解整个问题目的； 动态规划的各个决策阶段不但要考虑本阶段的决策 目标，还要兼顾整个决策过程的整体目标；从而实 现整体最优决策。
西南交通大学经济管理学院动态规划的特点 动态规划没有准确的数学表达式和精确算法, 它强 调具体问题具体分析, 依赖分析者的经验和技巧。
与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤其在处理非 线性、离散性问题时有其独到的特点。
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
运筹学笔记4、5-特殊线性规划(整数规划、对偶问题)
每个线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题。
简单考虑如下的生产分配问题我们有下面的对偶问题：该问题的任意一个可行解对应的目标函数值都不小于原问题的目标函数值，但是两个问题的最优目标函数值（有限）相同。
一般而言：1、每个对偶变量对应原问题的一个约束条件2、原问题是等式约束则对偶变量无不等式约束（非负约束）3、原问题是不等式约束则对偶变量有不等式约束4、原问题变量和对偶问题约束条件同样具有如上规律任何原问题和对偶问题之间都存在下述相互关系：弱对偶性：原对偶问题任何可行解的目标值都是另一问题最优目标值的界（推论：原对偶问题目标值相等的一对可行解是各自的最优解）强对偶性：原对偶问题只要有一个有最优解，另一个就有最优解，并且最优目标值相等互为对偶的线性规划问题解之间关系有如下四种：原问题与对偶问题之间存在互补松弛性：一般形式的线性规划互补松弛定理：经济学中有所谓影子价格的概念：如果增加某些约束条件的数值，原问题的最优目标值应该增加，增加单位约束使得原问题最优值的增加量为该约束条件的影子价格。
影子价格可以由对偶线性规划问题清楚地描述：对偶单纯形法：当线性规划问题中地某个约束条件或价值变量中含有参数时，原问题称之为参数线性规划，它有如下的处理方法：1）固定λ的数值解线性规划问题2）确定保持当前最优基不变的λ的区间3）确定λ在上述区间附近的最优基，回2）如以下问题：在实际问题中，许多变量以及它们的约束条件往往是离散的，或者说限定在整数域上，这便引入了整数线性规划的概念。
具体而言，整数线性规划包含纯整数线性规划（所有变量是整数变量）、混合整数线性规划（同时包含整数和非整数变量）、0-1型整数线性规划（变量等于0或1）去除整数规划的整数约束后的问题称为其松弛问题。
一般情况，原问题的解并不一定是其松弛问题的最优解附近的整数解，例如：通常的解决办法是在松弛问题的基础上出发，不断地引入整数的约束条件，从而求出整数规划的解。
运筹学 第4章 整数规划与分配问题
匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
运筹学 第4章 整数规划
第四章整数规划整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。
一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。
整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。
本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。
第一节整数规划问题及其数学模型一、问题的提出在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。
整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。
当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。
先来看下面的例子。
例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？表4－112量都要求为整数，建立模型如下：2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x 要求该模型的解，首先不考虑整数约束条件④，用单纯形法对相应线性规划求解，其最优解为：x 1＝3.25 x 2＝2.5 max z ＝14.75由于x 1＝3.25，x 2＝2.5都不是整数，不符合整数约束条件。
管理运筹学4 整数规划
甲
乙
丙 丁
39
34 24
38
27 42
26
28 36
20
40 23
33
32 45
x ij 0或1 ，i、j 1,2,3,4
整数规划的特点及应用
整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法
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匈牙利法（指派问题）
分配问题与匈牙利法
指派问题的数学模型的标准形式：
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设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作， 每件工作只有一个人去做。已知第i个人去做第j 件工作的效率 （ 时间或费用）为Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij ≥0。问应 如何分配才能使总效率（ 时间或费用）最高？ 设决策变量
每项工作只能安排一人，约束条件为：
x11 x 21 x 31 x 41 x12 x 22 x 32 x 42 x13 x 23 x 33 x 43 x14 x 24 x 34 x 44 1 1 1 1
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变量约束：
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
如
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1. 变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数 2. 对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑变 量 x，当x=1表示投资，x=0表示不投资； 3. 人员的合理安排问题，当变量xij=1表示安排第i人去做j工作，
整数规划的特点及应用
min z c ij x ij [1200y1 1500y 2 ]
i 1 j 1 4 4
交大《管理运筹学》课程教学大纲
《管理运筹学》课程教学大纲2、具体要求第一章〜第八章规划论（数学规划）［目的要求］主要研究如何有效利用有限资源，合理分配生产任务，选择最佳生产布置以及合理安排物资调运方案，以求取得最好的经济效果。
它包括：线性规划、整数规划和动态规划。
其中线性规划是运筹学中发展较成熟、应用最广泛的一个重要分支，因此是这门课的中心内容。
［教学内容］运筹学概述和线性规划基础；单纯形算法、单纯形法的进一步讨论和线性规划问题解的讨论；线性规划数学模型的建立；线性规划问题的对偶问题及对偶单纯形法；线性规划问题的灵敏度分析；运输问题；整数规划；动态规划。
［重点难点］单纯形算法、单纯形法的进一步讨论和线性规划问题解的讨论；线性规划问题的对偶问题及对偶单纯形法；线性规划问题的灵敏度分析；0-1整数规划；动态规划；［教学方法］讲授［作业］每种类型的作业一般布置2〜4道,目的是加深理论知识的理解和掌握［课时］48第九章〜第十一章图论［目的要求］通过把研究的问题构造成网络模型，然后再作数量的分析，以获得最优的决策效果；在交通运输当中可应用于解决物资运输中的最短路、最大流、最小费用最大流等问题。
［教学内容］图与网络的基本概念；最短路径问题；运输网络流；统等方法。
［重点难点］最短路径问题；运输网络流［教学方法］讲授［作业］每种类型的作业一般布置2〜4道,目的是加深理论知识的理解和掌握［课时］20第十二章排队模型［目的要求］］用数学方法研究如何确定最适当的服务人员和服务设施数目，达到服务质量和服务费用两方面总体效果最理想的目的。
［教学内容］排队模型；排队论在决策中的应用［重点难点］排队模型［教学方法］讲授［作业］每种类型的作业一般布置2〜4道,目的是加深理论知识的理解和掌握［课时］8第十三章决策论［目的要求］主要是通过对各种客观条件可能出现的概率进行调查分析和对各种方案的经济效益进行计算，研究方案的合理选择问题，从而获得最优的经济效果。
［教学内容］决策的分类；确定型决策问题；风险型决策问题；非确定型决策问题［重点难点］风险型决策问题［教学方法］讲授［作业］每种类型的作业一般布置2〜4道,目的是加深理论知识的理解和掌握［课时］4三、大纲说明1、考试要求与考试方式：一般要求闭卷考试，考试成绩按照期末考试（70%）+平时成绩（30%）构成2、采用多媒体+黑板讲授方式3、使用教材及主要参考书⑴教材焦永兰.管理运筹学.北京：中国铁道岀版社.2003（2）教学参考书郭耀煌.运筹学原理与方法.四川：西南交通大学出版社.1997钱颂迪.运筹学.北京：清华大学出版社.2002运筹学教材编写组.运筹学.北京：清华大学岀版社，1990许永仁.运筹学试题精选与答题技巧.哈尔滨工业大学岀版社.2000.说明："表示该内容要考，★表示该内容的重要程度（最高五星）。
西南交大经管院《运筹学》线性规划
Linear Programming With Spreadsheet每个小组都有一组拼装玩具(8个小块和6 大块) ，这些是你们的原材料（raw materials ），你们要用这些原材料去生产桌和椅（tables and chairs ）这两种产品（products ），具体拼装图如下一个幻灯片。
你怎么去分析呢？The Lego Production Problem拼装玩具生产自己动手想想看！自己动手原材料6 大块8 小块产品桌椅Profit = $20/Table Profit = $15/Chair自己动手为了最小化成本或最大化利润的目的需要对一些稀缺资源进行配置Maximize ($15)Chairs+($20)Tablessubject toLarge Bricks:Chairs+2Tables≤6Small Bricks:2Chairs+2Tables≤8andChairs≥0, Tables≥0.你的答案是什么？Components of the Model模型的组成部分Decision variables 决策变量Objective function 目标函数Constraints 约束使用EXCEL求解线性规划Excel自1991年问世，目前已有几千万用户；其免费的规划求解软件由Frontline System提供()，专为大多数没有受过OR/MS专门训练的用户设计；Excel将GUI，各种函数功能，模型语言，优化软件和编程功能(VBA) 结合在统一的环境下；Excel 提供了强大的数据组织、运算和呈现功能，在Excel 表格中可用更工程化的方式提供模型使用的数据，并可将输出结果用各种图表的方式表示出来；EXCEL模型的基本构成Excel通过表格(cell)所含数据或公式来表示运筹模型的变量、目标函数、约束方程和模型参数:y数据：Excel强大的数据组织与呈现功能可使模型数据组织的更简洁明了；y变量：Excel中的可变单元格定义决策变量，决策变量是模型求解的未知量，也称为可变量；y目标函数：由目标单元格中的数学表达式表示；y约束：约束由表示约束左边项与右边项的数学表达式或数值的单元格定义，通常约束的左边项是数学表达式，右边项既可是表达式，也可是参数如何进入Excel中的优化模块选择主菜单“工具”→“规划求解”可进入“规划求解参数”定义窗口；如找不到“规划求解”项，可通过“工具”→“加载宏”加入该项功能。
运筹学实验报告四整数规划
2018-2019学年第一学期《运筹学》实验报告（四）班级：交通运输171学号： 1000000000姓名： *****日期： 2018.11.22实验一：用Lingo 软件求解下列整数规划问题（要求附程序和结果）12121212max 25062210,1,2i z x x x x x x x x x i =++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥=⎩且取整数12312323123123123max 232452244,,01z x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-++≤⎧⎪+≤⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪=⎪⎩或解：例题（左）解题程序及运行结果如下：sets :bliang/1,2/:x,a; yshu/1,2,3/:b;xshu(yshu,bliang):c; endsets data : a=2,1; b=5,0,21; c=1,1 -1,1 6,2; enddatamax =@sum (bliang(i):a(i)*x(i));@for (yshu(j):@sum (bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j)); @for(bliang(i):@gin(x(i)));Global optimal solution found.Objective value: 7.000000 Objective bound: 7.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX( 1) 3.000000 -2.000000X( 2) 1.000000 -1.000000A( 1) 2.000000 0.000000A( 2) 1.000000 0.000000B( 1) 5.000000 0.000000B( 2) 0.000000 0.000000B( 3) 21.00000 0.000000C( 1, 1) 1.000000 0.000000C( 1, 2) 1.000000 0.000000C( 2, 1) -1.000000 0.000000C( 2, 2) 1.000000 0.000000C( 3, 1) 6.000000 0.000000C( 3, 2) 2.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7.0000001.0000002 1.000000 0.0000003 2.000000 0.0000004 1.000000 0.000000例题（右）解题程序及运行结果如下：sets:bliang/1,2,3/:x,a;yshu/1,2,3,4/:b;xshu(yshu,bliang):c;endsetsdata:a=2,1,-1;b=2,5,2,4;c=1,3,10,4,11,2,-11,4,-1;enddatamax=@sum(bliang(i):a(i)*x(i));@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));@for(bliang(i):@bin(x(i)));Global optimal solution found.Objective value: 2.000000Objective bound: 2.000000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value ReducedCostX( 1) 1.000000 -2.000000X( 2) 0.000000 -1.000000X( 3) 0.000000 1.000000A( 1) 2.000000 0.000000A( 2) 1.000000 0.000000A( 3) -1.000000 0.000000B( 1) 2.000000 0.000000B( 2) 5.000000 0.000000B( 3) 2.0000000.000000B( 4) 4.000000 0.000000C( 1, 1) 1.000000 0.000000C( 1, 2) 3.000000 0.000000C( 1, 3) 1.000000 0.000000C( 2, 1) 0.000000 0.000000C( 2, 2) 4.000000 0.000000C( 2, 3) 1.000000 0.000000C( 3, 1) 1.000000 0.000000C( 3, 2) 2.000000 0.000000C( 3, 3) -1.000000 0.000000C( 4, 1) 1.000000 0.000000C( 4, 2) 4.000000 0.000000C( 4, 3) -1.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 2.0000001.0000002 1.000000 0.0000003 5.000000 0.0000004 1.000000 0.0000005 3.000000 0.000000实验二：一、问题重述某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。
运筹学整数规划
2 0 5 0 3
0 0 7 0 6
2 0 2 4 5
3。重复。依行，不考虑划去的0，只有一个0的 对0打圈，划去列 2
1
5 2 0 9 0
0 3 10 8 6
2 0 5 0 3
0 0 7 0 6
2 0 2 4 5
3
4。重复。依列，不考虑划去的0，只有一个0的 对0打圈，划去行 2
7 8 11
任务 人员
分派情况
甲 乙 丙
E J G R
丁
4
15
所需时间
13
9
甲 1 1 乙 1 丙 1 丁
对应每个指派问题, 都有类似的表格，我们称之 为效率矩阵或系数矩阵，某元素 cij ( i , j = 1,2, · · · · · · , n ) 表示指派第 i 个人去完成 第 j 项任务时的效率(或
整数规划问题的求解要比一般的线性规划困难
本章将着重讨论 1。一类特殊的整数规划——指派问题，它的数 学模型和求解。 2。求解整数规划方法——分枝定界法。
一、指派问题的数学模型
1。数学模型
某单位需要指派 n 个人去完成 n 项任务，每个人 只做一项工作，同时，每项工作只由一个人完成。由 于各人的专长不同，每个人完成各项任务的效率也不 同。于是产生了应指派哪一个人去完成哪一项任务， 使完成 n 项任务的总效率最高（如所用的时间为最 少）。我们把这类问题称之为指派问题或分派问题 (Assignment Problem)。
二、匈牙利法
指派问题的效率矩阵的每一个元素aij≥0
解矩阵是每行或每列只能有一个元素为1，其余 均为 0 的 n 阶方阵。如：
0 0 ( xij ) 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
运筹四 整数规划
– 若松弛问题最优解为整数解，则其也是整数规划的 最优解
2、分枝过程
– 若松弛问题最优解中某个 xk=bk 不是整数，令 bk 为 bk 的整数部分 – 构造两个新的约束条件 xk bk 和 xk bk +1，分 别加于原松弛问题，形成两个新的整数规划
0 3 1 ( 0) 0 1 2 0*
逐 列 检 查
2 3 ( 0) 1
( 0) 2 2 2
0 * 1 0 * 2
3、重复1、2后，可能出现三种情况； a. 每行都有一个 (0)，显然已找到最优解，令对应(0)位置的 xij=1； b. 仍有零元素未标记，此时，一定存在某些行和列同时有多个零， 称为僵局状态，因为无法采用 1. 2 中的方法继续标记。 4、打破僵局。令未标记零对应的同行同列上其它未标记零的个数为 该零的指数，选指数最小的先标记 ( )；采用这种方法直至所有零都 被标记，或出现 情况 a，或 情况 c 。 10
表4.2.1 分枝问题解可能出现的情况
序号 问题 1 问题 2 无可行解 无可行解 1 无可行解 整数解 2 无可行解 非整数解 3 整数解 整数解 4 非整数解 5 整数解，目标函 数优于问题 2 整数解 非整数解，目标 6 函数优于问题 1 说 明 整数规划无可行解 此整数解即最优解 对问题 2 继续分枝 较优的一个为最优解 问题 1 的解即最优解 问题 1 停止分枝(剪 枝)， 其整数解 为 界， 对问题 2 继续分枝
9
清华算法的步骤：例4.6.1
2、逐列检查，若该列只有一个未标记的零，对其加( )标记，将( )标 记元素同行同列上其它的零打上*标记。若该列有二个以上未标记的 零，暂不标记，转下一列检查，直到所有列检查完；
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n
计算量
计算时间
10
1.02×103
1.02毫秒
20
1.05×106
1.05秒
30
1.07×109
18 分钟
40
1.10×1012
13 天
50
1.73×1015
36 年
100
1.27×1030
4 亿亿年
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凑整法
例：max: z = 3x1 + x2
s.t.
2x1 + x2
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模型约束
（3）电站只能建一次约束: ∑t yit ≤ 1 ∀ i
y11+ y12+ y13+ y14+ y15 ≤ 1 y21+ y22+ y23+ y24+ y25 ≤ 1 y31+ y32+ y33+ y34+ y35 ≤ 1 y41+ y42+ y43+ y44+ y45 ≤ 1 （4）非负约束: xit ≥ 0, yit 为0-1整数变量
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邮局排班模型
解：设 xi 为第 i 天开始上班的人数：
min: z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
s.t. x1
+x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17
x1 + x2
+x5 + x6 + x7 ≥ 13
x1 + x2 + x3
+x6 + x7 ≥ 15
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模型约束
（1）发电量约束: ∑i xit + 50 ≥ 80 + 20(t - 1) ∀ t x11 + x21 + x31 + x41 ≥ 30 x12 + x22 + x32 + x42 ≥ 50 x13 + x23 + x33 + x43 ≥ 70 x14 + x24 + x34 + x44 ≥ 90 x15 + x25 + x35 + x45 ≥ 110
SUB 1 max: x1+x2 s.t.6x1+2x2≤17 5x1+9x2≤44
x1 ≤1 x1, x2 ≥0
SUB 3 max: x1+x2 s.t.6x1+2x2≤17 5x1+9x2≤44
x1 ≤1 x2≤4
x1, x2
zU =5.33 zL =5.00
zU =5.545 zL=-∞
x1≤1
运筹学
Operations Research
整数规划
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§ 1 基本概念
线性规划的一个重要的假设是决策变量可取非整 数的连续值。然而这一假设在很多情况下不能满 足实际问题的要求；
对决策变量有整数要求的数学规划问题称为整数 规划问题；
整数规划是数学规划的一个重要分枝，有广泛的 应用背景，如指派问题、背包问题、旅行推销商 问题都是整数规划问题；
目标函数线 3.0
2.0
x1≤1
1.0
x1≥2
6x1+ 2x2 ≤ 17
0
1.0
2.0
3.0
4.0
x1
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§ 3 割平面法
max z = x 1 + x 2 − x1 + x 2 ≤ 1 3 x1 + x 2 ≤ 4 x1 , x 2 ≥ 0 x 1 , x 2 为整数
cj
1
cB xB x1
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模型约束
（2）发电能力限制约束: xit ≤ CAPi ∑tj =1 yij ∀ i, t x11 ≤ 70 y11 x12 ≤ 70(y11 + y12) x13 ≤ 70 (y11 + y12 + y13) x14 ≤ 70 (y11 + y12 + y13 + y14) x15 ≤ 70 (y11 + y12 + y13 + y14 + y15) …… x21 ≤ 50y21; x22 ≤ 50(y21+ y22) ;
§ ２分枝定界法
分枝定界技术(Branch-and-Bound Technique)
x2 5 4 3 2 1
12345
xx1
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分枝定界算法举例
x2
整数规划问题：
5.0
max: z = x1 + x2
4.0
s.t. 6x1 + 2x2 ≤ 17
解：令 yi 为租赁 i 类设备的数量; xi为各类服装的生产量, 具 体模型为：
max 120x1+10x2+100x3-5000y1-2000y2-1000y3
s.t. 5x1+ x2 + 4x3
≤ 3000
3x1
- 300y1
≤0
0.5x2
-500y2
≤0
2x3
- 300y3 ≤ 0
x1
≤ 150
目标函数: 投资与运行费最小 min: ∑i {Ii ∑t yit + Ci ∑t ( 6 - t ) yit } = 200 (y11 + y12 + y13 + y14 + y15) + 15 (5y11 + 4y12 + 3y13 + 2y14 + y15) + 160 (y21 + y22 + y23 + y24 + y25) + 8 (5y21 + 4y22 + 3y23 + 2y24 + y25)….
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整数规划与线性规划的关系
整数规划 = 相关的线性规划 + 整数约束 整数规划是约束得更紧的问题, 它的可行域
是其相关线性规划问题可行域的一个子集； 整数解的数目远少于线性规划的解，只要可行
域有界，整数解的数目有限；整数规划的求解 难度远大于线性规划。 整数规划分类 y 纯整数规划：所有决策变量取整数值； y 混合整数规划：部分决策变量取整数值； y 0-1整数规划：整数变量只能取0或1。
四舍五入法：解的质量差，有时无法得到可行解 分枝定界: 计算效率高, 应用广泛; 割平面法: 有理论意义, 但计算效率较低； 启发算法: 效率高, 但不能保证找到最优解, 可解大
规模问题。
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穷举法
方法简单，只可解小问题，计算量很大；对0-1整 数规划，计算量为2n，按指数增长：
x2≤4
x2≥5
SUB 3
SUB 4
z3 =5.0
x1 =1.0
infeasible
x2 =4.0
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SUB 4
max x1+x2 s.t.6x1+2x2≤17 5x1+9x2≤44
x1 ≤1 x2≥5
x1, x2
x2
5.0
整数最优解
线性规划最优解
4.0
5x1+ 9x2 ≤ 44
序 服装 种类
1 西服 2 衬衫 3 羽绒服
市场 需求 150 800 350
租金 元/台 5000 2000 3000
生产 成本 280
30 200
销售 价格 400
40 300
人工 工时
5 1 4
设备 可用工 工时 时/台
3 300 0.5 500 2 300
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服装厂生产模型
1 x2 0
1 x1 1
1
0
0
bi
x2
x3
x4
1 3/4 1/4 7/4
0 -1/4 1/4 3/4
x2
+
3 4
x3
+
1 4
x4
=
7 4
将方程中的系数和右侧常数分解成整数和非负真分数两部分
( ) ( ) (1+ 0)x2
+
0+
3 4
x3 +
0+
1 4
x4
=1+
3 4
将上式中自变量带整数系数的部分移到等号右侧，得
LP松弛
z0 =5.545 x1 =1.477 x2 =4.068
SUB 2
max x1+x2
s.t.6x1+2x2≤17
5x1+9x2≤44
x1 ≥2
x1 ≥2
x1, x2
SUB 1
SUB 2
zU =5.33
z1 =5.33
z2 =4.5
zL=-∞
x1 =1.00 x2 =4.33
x1 =2.0 x2 =2.5
解
令
1 对项目j投资； xj = 0 否则。
模型
n
∑ max z = c j x j j=1
n
∑ajxj ≤ b
j=1
x j = 0或1 j = 1,", n
只有选择项目 l 时，才考虑是否选择项目k ，增加约束
xk ≤ xl
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背包问题 已知一个背包的容积为b，现有n 种物品可以装 入，物品j的体积和使用价值分别为aj 和 cj，问应如何搭配