实对称矩阵与二次型
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实对称矩阵与二次型
课后习题详解 习题8.1
1 求正交矩阵Q 使T Q AQ 化为对角矩阵D ,其中A 为:
(1) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭
(2)
724247⎛⎫ ⎪-⎝⎭
(3) 1141
41411⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭ (4) 2
22254245-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭
(5) 3242
62423-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪⎝
⎭
(6) 744490405-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
(7) 0041001441001
40
0⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭ (8) 1333313333133
331---⎛⎫
⎪
--- ⎪
⎪
--- ⎪
---⎝⎭
解: (1) 22
1
||43(1)(3)1
2
E A λλλλλλλ---=
=-+=----
所以 121,3λλ==
11λ=代入 ()0E A X λ-= ,
12120|0
x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系, 1(1,1)T
α=-,标准正交化为
:11,1)T η=
- 23λ=代入 ()0E A X λ-= ,
121200
x x x x -=⎧⎨
-+=⎩得基础解系, 2(1,1)T
α=,标准正交化为
:2T η=
取Q ⎛
= ⎝, 1003T Q AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭
. (2) 27
24
||625(25)(25)24
7
E A λλλλλλ---=
=-=+--+
所以 1225,25λλ==-
125λ=代入 ()0E A X λ-= ,
12121824024320x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系, 1
4(,1)3T
α=,标准正交化为:13443(,1)(,)5355
T T
η==
225λ=-代入 ()0E A X λ-= ,
12123224024180
x x x x --=⎧⎨
--=⎩得基础解系, 23(,1)4T
α=-,标准正交化为:24334(,1)(,)5455
T T
η=-=-
取43553455Q ⎛⎫- ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,250025T
Q AQ ⎛⎫= ⎪-⎝⎭. (3) 1
1401(1)(4)41||1
4
11
41
41
1
1416
14
E A λλλλλλλλλλ----+----+-=---=--------+-+
2325336954(6)(3)(3)4153
λλλλλλλλλλλ-+--==--+=--+-++
所以 1236,3,3λλλ===-
16λ=代入 ()0E A X λ-= ,
12312312354020450
x x x x x x x x x --=⎧⎪
-+-=⎨⎪--+=⎩
得基础解系, 1(1,1,1)T α=,标准正交化为
:1T
η= 23λ=代入 ()0E A X λ-= ,
1231231232400420
x x x x x x x x x --=⎧⎪
---=⎨⎪--+=⎩
得基础解系, 2(1,2,1)T α=-,标准正交化为
:2T
η= 33λ=-代入 ()0E A X λ-= ,
123123123440
70440
x x x x x x x x x ---=⎧⎪
---=⎨⎪---=⎩
得基础解系, 3(1,0,1)T α=-,标准正交化为
:2(T
η=
取
0Q ⎫⎪⎪
⎪=-
⎪⎪⎪⎪⎭
,633T
Q AQ ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.
(4) 2
2
22
22
||2
5
4
01124
5
2
45
E A λλλλλλλλ-----=--=
---- 22
242
4
01
(1)
(1)(1110)2
9
2
4
9
λλλλλλλλλ---=
-=-=--+--
(1)(1)(10)λλλ=---
所以 1231,10λλλ===
121λλ==代入 ()0E A X λ-= ,
1231231
23122024402440
x x x x x x x x x --+=⎧⎪
--+=⎨⎪+-=⎩得基础解系, 12(2,1,0),(2,0,1)T T αα=-=, 正交为:
*
**
*21121**112522(,)44(2,1,0),(2,0,1)01(,)55101T T αηηηηηη⎛⎫
⎪
-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭
, 标准化
12254(,351513T
ηη⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
310λ=代入 ()0E A X λ-= ,
1231231
238220
25402450
x x x x x x x x x -+=⎧⎪
-++=⎨⎪++=⎩得基础解系, 2(1,2,2)T α=--,标准正交化为:3122(,,)333
T η=--
取11532153203
3Q ⎛⎫- ⎪ ⎪
⎪
⎪=- ⎪
⎪ ⎪
⎪⎝
⎭
,1110T Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭