高中数学必修二课件：简单几何体的表面积和体积

[ 方法总结]
1.求柱体的表面积，关键是弄清侧面的形状；
求柱体的体积，关键是找出柱体的高． 2．由三视图求几何体的侧(表)面积、体积的方法步骤： 根据三视图 确定几何体的结 利用有关 ―→ ―→ 画出直观图 构特征和几何量 公式计算
(文)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积是( )
2 π r h 6．柱体体积 V 柱＝Sh.特殊地，圆柱体积 V＝________. 1 2 1 πr h 7．锥体体积 V 锥＝ Sh.特殊地，圆锥体积 V＝________. 3 3
4 3 8．球的体积 V 球＝ πR . 3 1 h(S 上＋ S上· S下＋S 下) ，特殊地，V 圆台 9．台体体积 V 台＝____________________ 3 1 2 ＝ πh(r2 ＋ r 1 2＋r1r2)(其中 r1、r2 为两底面半径)． 3
2
棱柱的表面积与体积
(2015· 开封四中期中 ) 如图，四棱柱 ABCD － A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O⊥底面 ABCD，AB＝AA1＝ 2.
(1)证明：A1C⊥平面 BB1D1D； (2)求三棱柱 ABD－A1B1D1 的体积．
[ 解析 ]
(1)证明：∵ A1O⊥平面 ABCD， BD， AC ⊂ 平面
1 4 × ×2×2×2＝ (cm3)． 2 3
(理)(2014· 贵州遵义模拟)一个几何体的三视图如图所示， 其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( A. 3＋ 6 B． 3 ＋ 5 C. 2＋ 6 D． 2＋ 5 )

＝OB＝1，AB＝ 2，∴PA＝ 3，PD＝ 5， ∴侧面积 S＝2×(S△PAB＋S△PAD) 1 1 ＝2×( PB· AB＋ PA· AD)＝ 2＋ 6. 2 2
简单几何体的表面积和体积
1.圆柱的侧面积S＝2πRh(R、h分别为圆柱的底面 半径和高)． πRl R、l分别为圆锥底半 2．圆锥的侧面积S＝________( 径和母线长)． 3．球的表面积S＝4πR2(R为球半径)． 4．柱、锥、台的全面积等于侧面积与底面积的 和． 5．祖暅原理的应用：等底面积、等高的柱体(或 锥体)体积相等．

[答案] A
[ 解析] 如图，设球心为 O，△ABC 所在截面圆的圆心为
3 2 O′，则 AO′＝2 3× × ＝2，(PO′)2＝(2 5)2－4＝16， 2 3 ∴PO′＝4，在 Rt△AO′O 中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2 5 ＝4＋(4－R) ，∴R＝ ，∴球 O 的表面积 S＝4πR2＝25π. 2
是一个长方体，则由三视图的尺寸知该几何体的体积为 V＝ 1 1×2×4＋( π×12)×4＝8＋2π. 2
( 理 )(2014· 乌鲁木齐诊断 ) 已知某几何体的三视图如图所 示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为 V1；直径为 2 的球 的体积为 V2.则 V1 V2＝( A．1 4 B．1 2 C．1 1 D．2 1 )

[答案] B
[ 解析] 由三视图可知，几何体是圆柱内挖去一个同底等
1 2 4 高的圆锥，V1＝π－ π＝ π，又 V2＝ π，∴V1 V2＝1 2. 3 3 3
Hale Waihona Puke Baidu
3．(文)(2014· 唐山模拟)某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为( )
A．6 C．2 3
B．3 3 D．3

1.(文)(2014· 豫东、 豫北十所名校阶段测试)如果一个几何体 的三视图如图所示(长度单位： cm)， 则此几何体的体积是( 8 3 A. cm 3 4 3 B． cm 3 2 3 C. cm 3 1 3 D． cm 3 )

[答案] B
[ 解析] 1 由三视图可知，该几何体为三棱锥，其体积 V＝ 3
[ 解析] 由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有 OA [答案 ] C
2．(文)(2013· 宁夏育才中学模拟)一个几何体的三视图及尺 寸如图所示，则该几何体的体积为( A．2π＋4 B．2π＋8 C．4π＋4 D．4π＋8 )

[答案] B
[ 解析] 由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面

[答案] D
[ 解析] 由题意可知，该几何体为一直六棱柱，∴底面六
边形的面积可以看成一个矩形与两个等腰直角三角形的面积 1 和，即 S＝1×2＋ ×2×1×2＝4，∴V＝Sh＝4. 2
4． (2014· 河南十所名校联考)已知正三棱锥 P－ABC 的四个 顶点均在球 O 上， 且 PA＝PB＝PC＝2 5， AB＝BC＝CA＝2 3， 则球 O 的表面积为( A．25π 5π C. 2 ) 125π B． 6 D．20π
10．(1)S 高)．
直棱柱侧
＝ch(其中 c、h 分别为直棱柱的底面周长、
1 1 (2)S 正棱锥侧＝ ch′＝ nah′(其中 a、c、n、h′分别为正棱 2 2 锥底面的边长、周长、边数和正棱锥的斜高)． (3)如果正棱台的上、下底面的周长分别是 c′、c，斜高是 1 h′，那么它的侧面积是 S 正棱台侧＝ (c＋c′)h′. 2
[答案] B
[ 解析] 由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底
面为侧视图，该侧视图是底边为 2，高为 3的三角形，正视图 1 的长为三棱柱的高，故 h＝3，所以几何体的体积 V＝S· h＝ ( 2 ×2× 3)×3＝3 3.
(理)(2015· 武汉市调研)若一个几何体的三视图如图所示， 则此几何体的体积为( 11 A. 2 B．5 9 C. 2 D．4 )
ABCD，∴A1O⊥BD，又∵BD⊥AC，A1O∩AC＝O， ∴BD⊥平面 A1AC，∴BD⊥A1C. 在 Rt△A1OA 中，A1O＝ A1A2－AO2＝1， 在 Rt△A1OC 中，A1C＝ A1O2＋CO2＝ 2， ∴A1A2＋A1C2＝AC2，∴A1A⊥A1C. 又∵A1A∥B1B，∴A1C⊥B1B，∵B1B∩BD＝B， B1B，BD⊂平面 B1BD1D，∴A1C⊥平面 B1BD1D. 1 (2)三棱柱的体积 V＝ AB· AD· A1O＝1. 2