中考数学讲义-切线长定理(1)

中考数学讲义

切线长定理

1 •掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.

2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.

3•学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.

D 如图，PA PB 分别与O 0相切于点A B,O O 的切线EF 分别交PA PB 于点

E 、

F , 切点C 在ABh .若PA 长为2,则厶PEF 的周长是 ______________ .

解析：因为PA PB 分别与O O 相切于点A 、B ,所以PA= PB 因为O O 的切线EF 分别交 PA PB 于点 E 、F ,切点为 C,所以 EA= EC CF= BF,所以△ PEF 的周长 PE + EF + PF = PE + EO CF + PF= (PE^ EC + (CF + PF ) = P 冊 PB= 2+ 2 = 4.

【类型二】利用切线长定理求角的大小

那么/ OPA 勺度数是 _________ 度.

解析：如图所示，连接 OA OB ••• PA PB 是 O O 的切线，切点分别为 A 、B,「.

OAL PA

一、情境导入

新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园, 筑方

案.

请你设计一个建 二、合作探究

探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长

PA PB 是O 0的切线, 切点分别为A 、B ,点C 在O 0上,

如果/ ACB=

70°,

如图,

OBL PBOA Q/ OB Q 90° .又•••/ AOB= 2/ACB= 140°,二 / APB= 360°— / PAO-

1

/ AO—/ OBP= 360 °—90° —140° —90° = 40° .又易证△ POA^A POB「./ OPA=㊁ / APB =20 ° .故答案为20.

方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形. 另外根据全等的判定，可得到PO平分/ APB

【类型三】切线长定理的实际应用

为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径•若测得PA=

5cm,则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的

.

解：过O作OQL AB于Q设铁环的圆心为O连接OP OA •/ AP AQ为O O的切线，二AO为/ PAQ勺平分线，即/ PAO=Z QAO又/ BAC= 60°, / PA Q/ QA Q-Z BA G 180°, • / PAO=/ QA G 60 ° .在Rt△ OPA中, PA= 5,/ PO G 30°,二OP= 5/5(cm)，即铁环的半径为5 '5cm.

探究点二：三角形的内切圆

【类型一】求三角形的内切圆的半径

®E

解析：如图，连接OD由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点•所以

1

/ OC G 30°, OD L BC 所以CD=尹6 OC= 2OD又由BC= 2,贝U CD= 1.在Rt△ OCD中，根

据勾股定理得OD+ C D= OC,所以OD+ 12= (2OD2，所以O*：3即O O的半径为¥

3 3

方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边

的距离相等.

如图，O O是边长为2的等边△ ABC的内切圆，则O O的半径为

□如图，Rt△ ABC勺内切圆O O与两直角边AB BC分别相切于点D E,过劣弧DE不包括端点D E）上任一点P作O O的切线MNW AB BC分别交于点M N.若O O的半径为r，则Rt△ MBN勺周长为（）

3 5

A. r

B. 2「C - 2r D.

解析：连接OD OE TO O是Rt △ ABC的内切圆，••• ODL AB OEL BC又T MD MP都是O O的切线，且D P是切点，••• M4 MP 同理可得NP= NE • Gt A MB^ M聊BN^ NM= MBb BN + NP+ PM= MBb MDF BN+ NE= BDF BE= 2r,故选C.

三、板书设计

和刖线民定山

求二刖形的1

切线长定堆

L J

「三筒形的内

WJ1

教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、是三角

形三条角平分线的交点，到三边的距离相等

周长的问题.明确三角形内切圆的圆心