高二数学教案：抛物线及其标准方程(1)

一．课题：抛物线及其标准方程（1）

二．教学目标：

1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．

3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．

三．教学重、难点：

1. 重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．

2. 难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．)

四、教学过程

(一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

(二)抛物线的定义

1．回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置

上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳

子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子

的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定

在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板

的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右

滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反

复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．

3．定义：

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线

的准线．

(三)抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于

0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，

才能使所得的方程取较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小

结建立直角坐标系的几种方案：

方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)

以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立

直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为

(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：

p={M||MF|=|MD|}．

化简后得：y2=2px p2(p＞0)．

方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)

以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．

化简得：y2=2px+p2(p＞0)．

方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．

抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

化简后得：y2=2px(p＞0)．

比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？

引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是

因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：

一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同

分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：

由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征

和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．

(四)四种标准方程的应用

例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．

方程是x2=-8y．

练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：

(1)焦点是F(3，0)；答案是：(1)y2=12x；

(2)y2=-x；

(3)焦点到准线的距离是2．(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．

由三名学生演板，教师予以订正．

这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．

(五)小结：

本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．五、作业：

到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？

2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；

(4)y2-6x=0．

3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：

(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；

(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．

4．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．

作业答案：

3．(1)y2=24x，y2=-2x，(2)x2=-12y(图略)