精选题11压杆稳定

压杆稳定1. 图示结构，AB 为刚性杆，其它杆均为直径10 mm d =的细长圆杆，弹性模量200 GPa E =, 屈服极限s 360 MPa σ=，试求此结构的破坏载荷F 值。

解：12.37 m, sin 26H α⎛⎫== ⎪⎝⎭,0.169()Cy Dy F F F =-=↓,由杆1，4，N11s 0.507F F A σ==，s 10.507AF σ==由杆2，3，2N2cr 2π0.673 kN EIF F l ===, cr 2 1.33 kN 0.507F ==结构破坏载荷 1.33 kN F =2. 图示桁架由5根圆截面杆组成。

已知各杆直径均为30 mm d =， 1 m l =。

各杆的弹性模量均为200 GPa E =，p 100λ=，061λ=，直线经验公式系数304 MPa a =， 1.12 MPa b =，许用应力[]160 MPa σ=，并规定稳定安全因数st []3n =，试求此结构的许可载荷[]F 。

解：由平衡条件可知杆1，2，3，4受压，其轴力为杆5受拉，其轴力为N5F F = 按杆5的强度条件：N5[], []113 kN F F A Aσσ≤≤= 按杆1，2，3，4的稳定条件 p 133λλ=> 由欧拉公式 cr 78.48 kN F =37.1 kN F ≤ ， []37.1 kN F =3. 钢杆和铜杆截面、长度均相同，都是细长杆。

将两杆的两端分别用铰链并联，如图，此时两杆都不受力。

试计算当温度升高多少度时，将会导致结构失稳？已知杆长 2 m l =，横截面积220 cm A =，惯性矩440 cm z I =；钢的弹性模量s 200 GPa E =，铜的弹性模量c 100 GPa E =，钢的线膨胀系数6s 12.510α-=⨯℃-1，铜的线膨系数6c 16.510α-=⨯℃-1。

解：铜杆受压，轴力为Nc F ，钢杆受拉，轴力为Ns F ，Nc Ns N F F F ==由协调条件 s c l l ∆=∆ 即 N N s c s c F l F ltl tl E A E Aαα∆+=∆- 铜杆为细长杆 2c cr 2π98.7 kN E IF l==m当 Nc cr F F =时失稳, 此时 185 C t ∆=o4. 图示矩形截面杆AC 与圆形截面杆CD 均用低碳钢制成，C ，D 两处均为球铰，材料的弹性模量200 GPa E =，强度极限b 400 MPa σ=，屈服极限s 240 MPa σ=，比例极限p 200 MPa σ=，直线公式系数304 MPa a =, 1.118 MPa b =。

p 100λ=，061λ=，强度安全因数[] 2.0n =，稳定安全因数st [] 3.0n =，试确定结构的最大许可载荷F 。

解：(1) 由梁AC 的强度 (2) 由杆CD 的稳定性5. 图示两端固定的工字钢梁，横截面积226.1 cm A =，惯性矩4,长度 6 m l =，材料的弹性模量200 GPa E =，比例极限s 240 MPa σ=，直线公式的系数304 MPa a =， 1.12 MPa b =，线膨胀系数712510/l α-=⨯℃，当工字钢的温度升高10t ∆=℃时，试求其工作安全因数。

解：p 158.799.3λλ=>=由欧拉公式，可得临界应力cr 78.2 MPa σ=温度应力 25 MPa l tE σα=∆= 工作安全因数 crst 3.13n σσ==6. 图示正方形平面桁架，杆AB ，BC ，CD ，DA 均为刚性杆。

杆AC ，BD 为弹性圆杆，其直径20 mm d =，杆长550 mm l =；两杆材料也相同，比例极限p 200 MPa σ=, 屈服极限s 240 MPa σ=，弹性模量200 GPa E =，直线公式系数304 MPa a =, 1.12 MPa b =，线膨胀系数612.510/l α-=⨯℃，当只有杆AC 温度升高，其他杆温度均不变时，试求极限的温度改变量cr t ∆。

解：由平衡方程可得：N N N AC BD F F F == (压) 由变形协调方程，并注意到小变形， 有AC BD ΔΔB即 N N AC BD l F l F ltl EA EAα∆-=又由 p 11099λλ=>=, 知2cr 2πEIF l=令 N cr F F =, 得 22cr 2π130.58d t l α∆==℃7. 图示结构，已知三根细长杆的弹性模量E ，杆长l ，横截面积A 及线膨胀系数α均相同。

问：当升温t ∆为多大时，该结构将失稳。

解：由 N l F ltl EA α∆=， 可得 N l F tEA α=∆细长杆： 2cr 2π EIF l =当 N cr F F =时失稳 22πl EItEA lα∆= 得 22πl I t Al α∆=8. 图示结构ABC 为矩形截面杆，60 mm, 100 mm, 4 m b h l ===，BD 为圆截面杆，直径60 mm d =，两杆材料均为低碳钢，弹性模量200 GPa E =, 比例极限p 200 MPa σ=,屈服极限s 240 MPa σ=，直线经验公式为cr (304 1.12) MPa σλ=-，均布载荷 1 kN/m q =，稳定安全因数st []3n =。

试校核杆BD 的稳定性。

解：(1) 由协调方程，Δcos45BDB l f =o得34N cos45(2)5(2)38448BD F l q l EI EI -o 解得 N 7.06 kN BD F = (2) 杆BD ：p 377100λλ=>= 由欧拉公式：cr 39 kN F = cr st st N 5.56[]BDFn n F ==>，安全。

BDAC9. 正方形截面杆，横截面边长a和杆长l成比例增加，它的长细比有4种答案：(A)成比例增加；(B)保持不变；(C)按2(/)l a变化；(D)按2(/)a l变化。

答：B10. 非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比该杆的实际临界力。

答：大。

11. 两根细长压杆，横截面面积相等，其中一个形状为正方形，另一个为圆形，其它条件均相同，则横截面为的柔度大，横截面为的临界力大。

答：圆形；正方形。

12. 在水平面ABC上用同材料的三根杆支持F。

A、B、C、D均为铰链节点。

铅直力F的作用线恰好通过等边三角形ABC的形心G。

已知DG AB h==。

三杆截面均为圆形，直径为d，材料的弹性模量为E。

适用欧拉公式的临界柔度是90。

已知20h d=，试确定最大力F。

解：2sin603BEBE h BG BD=︒=====13. 图示结构，由圆杆AB、AC通过铰链联结而成，若二杆的长度、直径及弹性模量均分别相等，BC间的距离保持不变，F为给定的集中力。

试按稳定条件确定用材最省的高度h 和相应的杆直径D。

（设给定条件已满足大柔度压杆的要求。

）解：杆达到临界状态时，cr22πEIFh l2=+，此时之F值为：4222πEIFh l23==+可求得：4D=(a)二杆之总体积为：V==(b)222d0, 5,d2V lh l h hh==+=得所以(c)将(c)式代入(a)式得， 1.303D=14. 长方形截面细长压杆，/1/2b h =；如果将b 改为h 后仍为细长杆，临界力cr F 是原来的多少倍？有4种答案：(A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。

答：C15. 压杆下端固定，上端与水平弹簧相连，如图所示，则压杆长度因数μ的范围有4种答案：(A)μ<0.5； (B)0.5μ<<0.7； (C)0.5μ<<2； (D)μ<2。

答：C16. 圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的 ；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的 。

答：1π;163。

17. 试导出具有初始挠度0sin(π/)y a x l =的图示压杆的挠度曲线方程()y x 。

证：2220() , , sin(π/)FEIy F y y k y k y k a x l EI''''=-+=+=-令 由0, 0; 0, , 0; 0x y B x l y A ======得 22sin(π/)πal F x l y EI l F2=-18. 某结构失稳时，挠曲线如图(a)所示，即上端可水平移动但不能转动，下端固定，试推导临界力欧拉公式及挠曲线方程。

证：2e cr cr , [], M F y F y k y EI EI -''''==+由 0,0, 0, 0, x y y A B '=====[1cos(/)], 2x l x l y y δπδ-==,=19. 的临界载荷。

解：给以微干扰，由其平衡状态求F 20. 1k 、2k ，试导出它的临界载荷。

解：由微干扰后的平衡状态21. 导出图示结构在图形平面内失稳的临界载荷。

已知：杆AB 、BC 均为刚性杆，杆CD 的弯曲刚度为EI 。

注：悬臂梁端部受有横向集中力F 时，端点的挠度公式为3/(3)y Fl EI =。

解：cr N 0: A M F F l δ∑==已知 3N cr 23, 3F l EI F EI lδ==得F22. 图示刚架，AB 为刚性杆，BC垂载荷F EI 为常值。

证：由微干扰后的平衡状态知梁BC 在 B 端的外力偶 e cr B M F a δδθ=,=23. 两根直径为d 细长杆考虑确定临界力cr F 。

解：压杆将首先在与两杆组成的平面相垂直的面内失稳。

此时，44cr 222πππ =, 64()128d EI Ed I F l l μμ23=2,==24. 图示压杆，AC 、CB 两杆均为细长压杆，问x 为多大时，承载能力最大？并求此时承载能力与C 处不加支撑时承载能力的比值。

解：(1) 由cr 2π, ()EIF l μ2=当0.7()x l x =-时承载能力最高， (2) 22cr 22cr 1()π/(0.412) 2.89()π/(0.7)F EI l F EI l 2==25. 图示结构，AB 和BC 是两端铰支的细长杆，弯曲刚度均为EI连结在B 、C 两铰点处，在点D 悬挂一重量为P 的重块。

试求： (1) 当3m h =时，能悬挂的P 最大值是多少？ (2) h 为何值时悬挂的重量最大？解：(1) 2tan 3α=钢丝绳受力 N 2cos PF α=杆受力 N N N N tan cos , sin 223AB BC P P P F F F F ααα=====由杆AB 求P ：2112π2π, 29AB P EI EI P l 2==由杆BC 求P ：22max 2π3π3π, , 31616BC P EI EI EIP P l 222===(2) 由杆AB π92EI P2=3NBCN AB由杆BC πtan 9, tan 16216EI P αα2==又由图知 32tan , 3.56 m 9h h α2===26.铰接桁架，由竖杆AB 和斜杆BC 组成，两杆均为弯曲刚度为EI 的细长杆，在节点B 处承受水平力F 作用。