二次函数与相似形综合

B C 第1题

二次函数与相似形综合

例题1 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不

含端点A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交AB 于E

（1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之

间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．

例题2 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． （1）求证：△DHQ ∽△ABC ；

（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？

例题3 已知：如图，⊙A 与y 轴交于C 、D 两点，圆心A 的坐标为（1，0），⊙A 的半径

为5，过点C 作⊙A 的切线交x 轴于点B （－4，0）． （1）求切线BC 的解析式；

（2）若点P 是第一象限内⊙A 上的一点，过点P 作⊙A 的切线与直线BC 相交于点G ，

且∠CGP=120°，求点G 的坐标；

（3）向左移动⊙A （圆心A 始终保持在x 轴上），与直线BC 交于E 、F ，在移动过程

中是否存在点A ，使△AEF 是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．

（第2题）

H

例题4 如图1、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为（－

2，0），点D 的坐标为（0，32），点B 在x 轴的正半轴上，点E 为线段AD 的中点，过点E 的直线l 与x 轴交于点F ，与射线DC 交于点G 。 （1）求DCB ∠的度数; （2）连结OE ，以OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△F OE '，记直线F E '

与射线DC 的交点为H 。

①如图2，当点G 在点H 的左侧时，求证：△DEG ∽△DHE;

②若△EHG 的面积为33，请直接写出点F 的坐标。

例题5 如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O

（0，0）、A （2，0）、B （6，3）． （1

）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；

（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线

OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，

分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C

1

的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示2x －1x ，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速

度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

（图1） （图2） （图3）

图1 图2

例题6 如图，已知抛物线y ＝

34

x 2

＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝3

4t

x －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个

动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1． （1）填空：点C 的坐标是_▲_，b ＝_▲_，c ＝_▲_； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；

（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．

例题7 已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线2

14

y x =

上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，

垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、． （1）求点A B F 、、的坐标； （2）求证：CF DF ⊥；

（3）点P 是抛物线2

14

y x =

对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，

是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

例题8 如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，

，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．

例题9 如图，在梯形ABCD 中，

AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题：

（1）当t 为何值时，PE AB ∥？

（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使2

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PEQ BCD S S =△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．

（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由． 例题10 已知24AB AD ==，，90DAB ∠=

，AD BC ∥（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．

（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式

（2）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．

B

A

D

M

E

C

B

A

D

C

备用图