高三第三次模拟考试数学试卷

高三第三次模拟考试数学试卷（word版）（2013.5.2）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知集合，，则▲．

2．设复数满足（是虚数单位），则复数的

模为▲．

3．右图是一个算法流程图，则输出的的值是▲．

4．“”是“”成立的▲条件．

（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）

5．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆

机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布

直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动

车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时

段内非正常行驶的机动车辆数为▲．

6．在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为▲．

7．从集合中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为▲．8．在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2 ，)

( )，则线段长度的最小值为▲．

9．函数，，在上

的部分图象如图所示，则的值为▲．

10．各项均为正数的等比数列中，．当取最小值时，数列的通项公式an= ▲．

11．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点，，，．若，则实数的值为▲．

12．过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，…，依次下去，得到第个切点．则点的坐标为▲．

13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB ，，CD ．

若，则的值为▲．

14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1 a2 a3 ，a1a42 a2a4 a2 ，且a1 a2 a3，则a4的取值范围是▲．

二、解答题

15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，四条侧棱长均相等．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

16．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．

（1）求角的大小；

（2）设，求T的取值范围．

17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm，中间留有厚度为的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，两侧的温度差为，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中为热传导系数．

假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为．）

（1）设室内，室外温度均分别为，，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为，且．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用，及表示）；

（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计的大小？

18．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线，的斜率之和为定值．

19．已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比数列．（1）若，，求数列的前项和；

（2）若存在正整数，使得．试比较与的大小，并说明理由．

20．设是定义在的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）．

（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；

（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“2阶负函数”？并说明理由．

数学附加题

21．【选做题】

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙的半径为3，两条弦，交于点，且，，．

求证：△≌△．

B．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵不存在逆矩阵，求实数的值及矩阵的特征值．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知，，，，其中．设直线与的交点为，求动点的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程．

D．选修4—5：不等式选讲

已知，，．求证：．

22．【必做题】

设且，证明：

．

23．【必做题】

下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的，，，．游戏规则如下：

①当指针指到Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；

②（ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；

（ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．

设某人参加该游戏一次所获积分为．

（1）求的概率；

（2）求的概率分布及数学期望．