2016-2017学年高中数学第二章平面向量2.1从位移速度力到向量学案北师大版必修4

§1 从位移、速度、力到向量

1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)

[基础·初探]

教材整理 向量的概念

阅读教材P 73～P75“练习”以上部分，完成下列问题． 1．向量的有关概念 名称 定义 表示方法

零向量 长度为零的向量

0 单位向量 长度为单位1的向量叫作单位向量

相等向量 长度相等且方向相同的向量 若a 等于b ，记作a ＝b

向量平行 或共线

表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合

a 与

b 平行或共线，记作a ∥b

或a ＝λb ，λ∈Z

(1)定义

既有大小，又有方向的量叫作向量． (2)有向线段

具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB →

|.

(3)向量的长度

|AB →|(或|a |)表示向量AB →

(或a )的大小，即长度(也称模)． (4)向量的表示法

①向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．

②向量也可以用黑体小写斜体字母如a ，b ，c ，…来表示，书写用a →

，b →

，c →

…来表示．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数量同向量一样可以比较大小．( ) (2)向量AB →与向量BA →

是相等向量．( )

(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (4)向量就是有向线段．( )

【解析】 (1)错误．向量不能比较大小． (2)错误.AB →与BA →

方向相反不是相等向量． (3)错误．两条直线平行或重合．

(4)错误．向量不能等同于有向线段，有向线段只是向量的一种直观表示． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________

[小组合作型]

向量的有关概念

①温度、速度、位移这些物理量都是向量； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ③向量的模一定是正数；

④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量． 其中说法正确的是________．(填序号)

【精彩点拨】 解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错．

【自主解答】 ①错误，只有速度、位移是向量．

②错误．|a|＝|b|仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． ③错误.0的模|0|＝0.

④正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关． 【答案】 ④

1．零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联系和区别．

2．理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．

[再练一题]

1．判断下列说法是否正确，并说明理由．

(1)若向量AB →与CD →

是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一直线上； (2)若向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (3)向量AB →的长度与向量BA →

的长度相等； (4)单位向量都相等．

【解】 对于(1)，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一条直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上，所以(1)错；

对于(2)，由于零向量与任一向量平行，因此若a ，b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的，所以(2)错；

对于(3)，向量AB →与BA →

方向相反，但长度相等．所以(3)对；

对于(4)，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同，所以(4)错.

向量表示

(1)已知B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多

可以写出________个互不相等的非零向量．

(2)一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．

①作出向量AB →，BC →，CD →

； ②求|AD →|.

【精彩点拨】 (1)根据向量的表示方法求解．

(2)先作出表示东南西北的方位图及100 km 长度的线段，然后解答问题．

【自主解答】 (1)设线段AD 的长度是3，则长度为1的向量有AB →＝BC →＝CD →，BA →＝CB →

＝DC →

，共2个互不相等的非零向量；长度为2的向量有AC →＝BD →，CA →＝DB →

共有2个互不相等的非

零向量，长度为3的向量有AD →，DA →

，共2个互不相等的非零向量，综上知共6个互不相等的非零向量．

【答案】 6

(2)①向量AB →，BC →，CD →

如图所示．

②由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →

共线， 又|AB →|＝|CD →|，

∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →

|＝200(km)．

1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．

2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心，向量长度为半径的圆．

[再练一题]

2．小李离家从A 点出发向东走2 km 到达B 点，然后从B 点沿南偏西60°走4 km ，到