平面向量公式

平面向量

向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度.零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量.

平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量加法运算:

⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶

三

角

形

不

等

式:a b a b a b -≤+≤+r r r r r r .

⑷运算性质:

①交换律:a b b a +=+r r r r

;

②结合律:()()

a b c a b c ++=++r r r r r

r ;③00a a a +=+=r r r r r .

⑸坐标运算:设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则()1212,a b x x y y +=++r

r . 向量减法运算:

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.

⑵坐标运算:设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则()1212,a b x x y y -=--r

r . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--u u u r

. 向量数乘运算:

⑴实数λ与向量a r 的积就是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λr

.

b r

a r

C B

A

a b C C -=A -AB =B u u u

r u u u r u u u r r r

①a a λλ=r r ;

②当0λ>时,a λr 的方向与a r

的方向相同; 当0λ<时,a λr 的方向与a r

的方向相反;

当0λ=时,0a λ=r

r .

⑵运算律:①()()a a λμλμ=r r ;②()a a a λμλμ+=+r r r

;③()

a b a b λλλ+=+r r r r .

⑶坐标运算:设(),a x y =r ,则()(),,a x y x y λλλλ==r

.

向量共线定理:向量()

0a a ≠r

r r 与b r 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=r r .

设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,其中0b ≠r r ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a r 、()

0b b ≠r r r

共线.

平面向量基本定理:如果1e u r 、2e u u r

就是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a r

,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+u r u u r r .(不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底)

分点坐标公式:设点P 就是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别就是()11,x y ,()22,x y ,当

12λP P =PP u u u r u u u r 时,点P 的坐标就是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫

⎪++⎝⎭.(当1=λ时,为中点公式。) 平面向量的数量积:

⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤o

o r r r r r r r r .零向量与任一向量的数量积为0.

⑵性质:设a r 与b r 都就是非零向量,则①0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r .②当a r 与b r 同向时,a b a b ⋅=r r r r ;当a r 与b

r

反向时,a b a b ⋅=-r r r r

;22a a a a ⋅==r r r r 或a =r .③a b a b ⋅≤r r r r .

⑶运算律:①a b b a ⋅=⋅r r r r ;②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ;③()

a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r

.

⑷坐标运算:设两个非零向量()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则1212a b x x y y ⋅=+r

r .

若(),a x y =r ,则222

a x y =+r ,或a =r . 设()11,a x y =r ,()22,

b x y =r ,则

12120a b x x y y ⊥⇔+=r

r .

设a r

、b r 都就是非零向量,()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,θ就是a r 与b r 的夹角,则

cos

a b

a b

θ

⋅

==

r

r

r

r.