圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢什么叫圆在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢如果能，这个方程又有什么特征呢

探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},

由两点间的距离公式让学生写出点M r

=①

化简可得：222

-+-=②

()()

x a y b r

引导学生自己证明

222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点

12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内

例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接

圆的方程

师生共同分析：从圆的标准方程222

-+-=可知，要确

()()

x a y b r

定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r

、、三个参数.（学生自己运算解决）

例(3):已知圆心为C的圆:10

A和(2,2)

-+=经过点(1,1)

l x y

B-,且圆心在:10

-+=上,求圆心为C的圆的标准方程.

l x y

师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点(1,1)

A和(2,2)

B-,由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。

（教师板书解题过程）

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)

可得出ABC 外接圆的标准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得

值，写出圆的标准方程.

根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 课堂练习：课本127p 第1、3、4题 4.提炼小结：

1、 圆的标准方程。

2、 点与圆的位置关系的判断方法。

3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

圆的一般方程

课题引入

问题：求过三点A(0，0)，

B (1，1)，

C (4，2)的圆的方

程.

利用圆的标准方程解决此

问题显然有些麻烦，得用直线

的知识解决又有其简单的局限

性，那么这个问题有没有其它

的解决方法呢带着这个问题我

们来共同研究圆的方程的另一

种形式——圆的一般方程.

让学生带着问题进行

思考

设疑激

趣导入

课题.

概念形成与深化

请同学们写出圆的标准方

程：(x–a)2+ (y –b)2= r2，

圆心(a，b)，半径r.

把圆的标准方程展开，并

整理：

x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2

–r2=0.

取D = –2a，E = –2b，

F= a2+ b2–r2得x2+ y2+ Dx

整个探索过程由

学生完成，教师只做

引导，得出圆的一般

方程后再启发学生归

纳.

圆的一般方程的

特点：

（1）①x2和y2

的系数相同，不等于

通

过学生

对圆的

一般方

程的探

究，使

学生亲

身体会

圆的一

般方程

+ Ey +F = 0①

这个方程是圆的方程.

反过来给出一个形如x 2

+

y 2 + Dx + Ey + F = 0的方程，

它表示的曲线一定是圆吗

把x 2

+ y 2

+ Dx + Ey + F = 0配方得

22224()()224

D E D E F

x y +-+++=

②(配

方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆

（1）当D 2 + E 2 – 4F ＞0时，方程②表示以(,)22D E --为圆心，

221

42

D E F +-为半径的圆；

（2）当D 2 + E 2 – 4F = 0时，方程只有实数解

,22

D E x y =-=-，即只表示一个点

(,)22

D E

-

-；0.

②没有xy 这样

的二次项.

（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.

（3）与圆的标准方程相比较，它是一

种特殊的二元二次方

程，代数特征明显，圆的标准方程则指出

了圆心坐标与半径大

小，几何特征较明显.

的

特

点，及二元二

次方程

表示圆所满足的条

件.