运筹学 三章运输问题.ppt

5
3 19
9
10
6
19 0
22
13
12
13
3
0
0
0
2
0
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3.沃格尔法
方法：计算出每一行及每一列中单位运价最小和次小的两个元素之
间的差值，再从差值最大的行或列中找出单位运价最小者，优先满
足其供销关系。 1
2
3
4
行罚数
1
6
7
5
3 142 3 1
1
13
1 23 1 2 3
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4 4 4
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一. 初始基可行解的确定
西北角法 最小元素法 沃格尔法
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1.西北角法
方法：优先满足运输表中左上角空格的供销要求－
填一个数字只能划去一行或一列
1
2
3
4
6
7
5
1
2
6 1
14
7
5
8
4
28
13
5
9
3
3
5
5
4
3
7
14
2
6
7 27
10
6
6
13
19
22
13
12
13
σ14 =(c14-c34+ c33 - c23 + c21 -c11)=3-6+10-2+8-6=7
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1. 闭回路法(4)
1
2
6 1
14
7
5
8
4
28
2
5
0 80
6
2
3 A3
7
5
1 41
3
1
6
vj
1
5
6
3
1
4
0
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解： 2.用位势法求非基变量检验数（求检验数）
B1 4
A1 3
B2 1
5
B3 4
3
B4
ui
6 80 6
1 A2
6
意义：
以该非基变量充当基变量时单位运量运费的损失。当所 有的σij≥0，则已得运输问题的最优解。即单位物品由ij引起总运费的变化。
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1.闭回路法(1)
1
2
6 1
14
7
5
8
4
28
13
5
9
3
3
4
5
3
14
2
6
7 27
10
6
6
13
19
22
13
12
13
σ12 =c12-c22+c21-c11=7-4+8-6=5
12
13
σ32 =c32-c24+ c23-c33=9-4+2-10=-3
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1. 闭回路法(6)
1
2
6 1
14
7
5
8
4
28
13
5
9
3
-11
-3
22
13
3
5
5
4
3
7
14
2
6
7
9
27
10
6
6
13
19
12
13
σ31 =c31-c21+ c23-c32=5-8+2-10=-11
求非基变量的检验数
闭回路法
对偶变量法
得到新的基础可行解
确定进基变量
沿闭回路调整运量
确定离基变量
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单纯形法与表上作业法比较
单纯形法（Min）
表上作业法
确定初 始基变 量XB
检验数
调整
+松驰变量+（人工变量）
XB——系数矩阵为I，m个 其余XN
最小元素法、沃格尔法等
m
Σxij=bj j=1,…,n
i=1
xij≥0 i=1,…m,j=1,…,n
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4
2.例如：三个产地四个销地，用网络表示
产量
产地
运价
销地 销量
a1=14 a2=27 a3=19
6
17
5 3
8
2
4 2
7
5
9
3 10
6
1
b1=22
2
b2=13
3
b3=12
2
2
8
4
2
13
12
7 272 3 4
5 3
19
9
10
6 1 14
19
22
13
12
13
列
1
3
3
3
罚
*
*
*
数
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二. 最优性检验－求非基变量的检验数
闭回路法 位势法
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1.闭回路法
方法
求非基变量检验数σij,以该变量所在格为顶点，其他顶 点为基变量找一个闭回路，从该非基变量顶点为“＋”， “－”，“＋”，“－”依次加减其运价，即为检验数。
10
基在运输表中的表示
1 234
1 234
1
1
2
2
3
3
1 234
1 234
1
1
2
2
3
3
1 234
1 234
1
1
2
2
3
3
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运输表中同行同列组成回路的变量
1 234 1 2 3
1 234 1 2 3
1 234 1 2 3
1 23 1 2 3
1 23 1 2 3
总产量60吨
4
b4=13
产销平衡的运输问题
总销量60吨
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运输问题线性规划模型
min z = 6x11 +7x12 +5x13 +3x14 +8x21 +4x22 +2x23 +7x24 +5x31 +9x32 +10x33 +6x34
s.t. x11 + x12 + x13 + x14
6
5
9
- 10
6
13
6
19
22
13
12
13
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1.基变换－得新的基解
1
2
3
4
6
7
5
3
1
14
14
8
4
2
2
2
13
12
7 27
5
36
9
10
6
13
19
22
13
12
13
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表上作业法总结
确定初始基础可行解
西北角法 最小元素法 沃格尔法
13
5
9
3
22
13
3
5
5
4
3
7
14
2
6
7
9
27
10
6
6
13
19
12
13
σ12 =c24-c34+ c33-c23=7-6+10-2=9
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1. 闭回路法(5)
1
2
6 1
14
7
5
8
4
28
13
5
9
3
-3
22
13
3
5
5
4
3
7
14
wenku.baidu.com
2
6
7
9
27
10
6
6
13
19
XB——数字格，m+n-1个 XN ——空格
基变量j =0 非基变量j =cj-cBB-1pj
基变量ij=0 非基变量ij =cij-Ui-Vj
进基：min{j∣ j <0} 出基： θ＝min{bi/aik，aik ＞0}
进基：min{ij∣ ij<0} 出基： θ＝min{闭回路上 偶数点xij}
第三章 运输问题
3.1 运输问题及其数学模型 3.2 表上作业法 3.3 运输问题的进一步讨论
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本章学习要求
掌握表上作业法及其在产销平衡运输问题求 解中的应用 掌握产销不平衡运输问题的求解方法
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2
σij =Cij-CBB-1Pij＝ Cij-Y’Pij=Cij-(u1,u2,……,um,v1,v2,……,vn)Pij
= cij-(ui+vj) 对基变量而言： cij=(ui+vj) 由m+n-1个基变量对应m+n-1个线性方程
而LD的变量有m+n个，对偶问题有无穷多解，则可
设其中一个最优解为0，而推导出其他分量。从而求
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1.闭回路法(2)
1
2
6 1
14
7
5
8
4
28
13
5
9
3
22
13
3
5
5
4 3 14
2
6
7 27
10
6
6
13
19
12
13
σ13 =c13-c23+c21-c11=5-2+8-6=5
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1. 闭回路法(3)
x21 + x22 + x23 + x24
x31 + x32 + x33 + x34
= 14 产
=
27
地 约
= 19 束
x11
+ x21
+ x31
x12
+ x22
+ x32
x13
+ x23
+ x33
x14
+ x24
+ x34
= 22
=
13
销 地
= 12 约
= 13 束
x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33
i 1
j 1
2. 平衡运输问题有最优解
3. 平衡运输问题的约束方程组的系数矩阵的系数矩阵 A的秩为m+n-1
4. 运输问题的求解过程与单纯形法类似，只是更简单， 通常称表上作业法，而且是求解极小化问题。
运输问题的系数矩阵具有什么特点？
运输问题的LD是怎样的？
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B1
B2
B3
B4
4
1
4
6
A1
5
3
1
2
5
0
A2
6
2
3 A3
7
5
1
3
1
6
列罚数 2
*
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5
6
3
1
1
1
1
5
*
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行罚数
8 3 *0 2 8 1 1 5* 4 2 24
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解： 2.用位势法求非基变量检验数(求位势）
B1
B2
B3
4
1
4
A1
5
3
B4
ui
6 80
1 A2
8
3.2 表上作业法
初始基可行解的确定 最优性检验 基变换
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运输问题基的表示
m个产地、n个销地的运输问题，除了满足可行的条件 外，任何一个基要满足以下条件：
基变量的个数为m+n-1； 基变量不能形成闭回路；
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出非基变量的检验数。
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2. 位势法(1)
1
2
6
7
1
14
8
4
28
13
5
9
3
22
13
vj
6
2
3
4
ui
5
3 14 0
2
6
7 27 2
10
6
10
6
13
19
12
13
0
-4
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2. 位势法(2)
1
2
6 1
14
3.1 运输问题及其数学模型
1.运输问题的一般提法：假设有m个生产地点，可以供应某
种物资（以后称为产地），用Ai来表示，i=1,…,m,有n个销地， 用Bj来表示，j=1,…,n，产地的产量和销地的销量分别为ai,bj， 从产地Ai到销地Bj运输一个单位物资的运价为Cij，这些数据可 汇总于下表，在假设产销平衡的条件下，即∑ai= ∑bj，问该如 何调运物品使总运费最小？
lk min ij / ij 0
以xlk和基变量为顶点找一个闭回路，分别标号”+”,””,”+”,”_”；在标号为”-”的最小的运量为调整量，在 闭回路上进行调整，“＋”的加“-”的减，当存在xsf 为0时，为换出变量，得一新的基可行解，再求检验数。
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2. 位势法
该法也称对偶变量法，我们知道一般标准运输问题的对偶问题为：
m
n
MaxW ai ui b jv j
i 1
j 1
ui i1v, j ,
cij m

j
1,, n
Ui,Vj无约束
由LP中σij 的定义：
3
1
14
14
8
4
2
28
13
6
7 27
5
9
10
6
3
19
6
13
22
13
12
13
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2.最小元素法
方法：按单位运价的大小，决定供应的先后，优先
满足单位运价最小者的供销要求（就近供应）
1
2
3
4
6
7
5
3
1
1
14 1 0 13
8
4
2
22
13
12
7 27 15 2 0
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例（P104，3.7）：
B1
B2
B3
B4
4
1
4
6
A1
8
1
2
5
0
A2
8
3
7
5
1
A3
4
6
5
6
3
该问题是一个产销平衡问题，也是求极小化问题， 可用表上作业法求解。
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解： 1.用沃格尔法求初始基可行解
B1
B2
…
A1
C11
C12
…
A2
C21
C22
…
Bn
产量
C1n
a1
C2n
a2
…
…
……
…
…
Am
Cm1
Cm2 …
Cmn
am
销量 b1
b2
…
bn
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3
建模：设xij表示从Ai到Bj的运量，则所求的 数学模型为：
mn
min Ζn =ΣiΣ=1 cji=j1xij s.t. Σj=x1 ij=ai i=1,…m
x34
≥0
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6
运输问题的表格表示
1
2
3
4
6
7
5
3
1
14
x11
x12
x13
x14
8
4
2
7
2
27
x21
x22
x23
x24
5
9
10
6
3
19
x31
x32
x33
x34
22
13
12
13
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7
注意：
m
n
1. 运输问题有可行解的充要条件为： ai b j
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1.基变换-确定换入换出变量
1 6
1
14
2
-
8
8
3＋ 5
-11
22
2 7
5
4
13
9
-3
13
3
5
5
4
3
7
14
＋2
6
7
9
27
- 10
6
13
6
19
12
13
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1.基变换－得新的基解
1
2
3
4
6
7
5
1
14
2
-
82
8
4 ＋2
13
162
3 14
7 27
3
＋
7
5
8
4
28
13
5
9
3 -13
-3
22
13
vj
6
2
3
5
5
4
3
7
ui 14 0
2
6
9
7 27 2
10
6
10
6
13
19
12
13
0
-4
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三. 基变换－闭回路法
与单纯形法一样，如果所有非基变量检验数σij ≥0，则该基解 为最优解，否则不是最优解，需要进行基变换，换入变量的确 定方法一样，设换入变量xlk的检验数为σlk ，换出变量为xsf