第02章第五节蛛网模型的数学推导

第02章第五节蛛网模型的数学推导

假定供给和需求函数都是线性的，蛛网模型可由以下差分方程组表示：

Q st=-a+bP t-1（1）

Q dt=c-dP t（2）

Q s t=Q dt（3）

（1）式表示，第t年供给量取决于第t-1年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市场价格，（3）式表示市场必须是出清的，因此每年供给量均等于需求量。a、b、c、d为常数（参数），且都为正数。

将（1）式和（2）式代入（3）式可得：

c-dP t=-a+bP t-1（4）

从（4）式中解出P t：

P t=（-b

d

）P t-1+

a+c

d

（5）

在（5）式中假定t=1可得第1年价格为：

P1=（-b

d

）P0+

a+c

d

（6）

以此类推：

P 2=（

-b d ）P 1+a+c d （7） 将（6）式代入（7）式中：

P 2=（-b d ）2P 0+（-b d ）a+c d +a+c d

重复这一过程，可得到以初始价格P0来表示的第3年、第4年、……第n 年的价格：

P n =（

-b d ）n P 0+[∑（-b d ）k ]a+c d =（-b d ）n P 0+a+c b+d [1-（-b d

）n ] （8） 又因为达到均衡点后，价格不再变化，假定第t 年达到均衡，则

P t =P t+1=……=P E （9）

将（9）式代入（5）式可得均衡价格P E ：

P E =a+c b+d

（10） 将（10）式代入（8）式并整理：

P n =（-b d ）n P 0+P E [1-（-b d

）n ] =（P 0-P E ）（-b d

）n+P E （11） 从（11）式可得出下列结论：

（ⅰ）如果|-b d

|<1，则：limP n =P E ，即P n 趋近于P E ，市场价格将无限趋近均衡价格，蛛网周期是收敛的。而|-b d

|<1，说明d

（ⅱ）如果|-b d

|>1，则：limP n =∞，市场价格将振荡至无穷大，蛛网周期是发散的。此时，d

（ⅲ）如果|-b d

|=1，则P 2n =P 0，P 2n+1=2P E -P 0，价格在这两个值之间来回振荡，蛛网周期是循环的，此时d=b ，即供给曲线斜率与需求曲线斜率相等。