数的整除问题

数的整除问题

一．基本概念和知识

1．整除——约数和倍数

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b = c，即整数a 除以整数b（b≠0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b︱a。否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数（或因数）。

2．数的整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

3．数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整

数。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3

（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）

整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）

整除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之

和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数

与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

二．例题

例1：已知45︱1993

x y，求所有满足条件的六位数1993

x y。解：∵45=5×9，

∴根据整除“性质2”可知

5︱____________

1993

x y，9︱____________ 1993

x y，

∴ y可取0或5。

当y=0时，根据9︱____________

x y及数的整除特征③可知x=5；

1993

当y=5时，根据9︱____________

x y及数的整除特征③可知x=9。

1993

∴满足条件的六位数是519930或919935。

例2：李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？

解：∵9□.2□元=9□2□分

28=4×7

∴根据整除“性质2”可知

4和7均可能整除9□2□。

4︱2□，可知□处只能填0或4或8。

因为7不能整除9020，7不能整除9424，所以□处不能填0和4；

因为7︱9828，所以□处应该填8。

又因为9828分=98.28元

所以98.28÷28=3.51（元）

答：每支钢笔3.51元。

例3：已知整数__________________

a a a a a能被11整除，求所有满足这个条件

12345

的整数。

解：∵11︱__________________

a a a a a，

12345

∴ 根据能被11整除的数的特征可知：

1＋2＋3＋4＋5的和与5a 之差应是11的倍数，即： 11︱（15－5a ），或11︱（5a －15）。

但是15－5a=5（3－a ），5a －15=5(a －3)，又（5，11）=1，因此11︱(3－a)或11︱(a －3).

又∵ a 是数位上的数字，∴ a 只能取0～9，

所以只有a=3才能11︱（3－a ）或11︱（a －3）。 即当a=3时，11︱15－5a 。

∴ 符合题意的整数只有1323334353。

例4：把三位数3ab 接连重复地写下去，共写1993个3ab ，所得的数33...3(19933)ab ab ab

ab 个恰是91的倍数，求 ab =？

解：∵ 91=7×13，且（7，13）=1，

∴ 7能整除33...3ab ab ab ，13能整除33...3ab ab ab 。 根据一个数能被7或13整除的特征可知： 原数33...3ab ab ab 能被7以及13整除， 当且仅当3...3ab ab （1992组3ab ）－3ab 能被7以及13整除， 也就是3...3000ab ab （1991组）能被7以及13整除。 因为（7，10）=1，（13，10）=1，所以7能整除3...3000ab ab （1991组），13能整除3...3000ab ab （1991组），也就是7能整除3...3ab ab （1991

组），13能整除3 (3)

ab ab（1991组），因此，用一次性质（特征），就去掉了两组3ab；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除当且仅当3ab能被7以及13整除。

又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3，∴3ab=364，∴ab=64。

例5：在865后面被上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

分析设补上数字后的六位数是___________

865abc，因为这个六位数能分别被3、4、5整除，所以它应该满足以下三个条件：

第一，数字和（8＋6＋5＋a＋b＋c）是3的倍数；

第二，末两位数字组成的两位数____bc是4的倍数；

第三，末位数字c是0或5。

因为能被4整除的数的个位数字不可能是5，所以，c只能取0，因而b只能取自0，2，4，6，8中之一。

又因为3︱___________

ab，且（8＋6＋5）除以3余1，

8650

所以a＋b除以3余2。

为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0,b=2.

所以，要求的六位数是865020。

例6：求能被26整除的六位数___________

x y。

1991