高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和

【变式训练 1】 (1)[2016·全国卷Ⅰ]已知等差数列{an} 前 9 项的和为 27，a10＝8，则 a100＝( )
A．100 B．99 C．98 D．97
解析 设{an}的公差为 d，由等差数列前 n 项和公式及
通项公式，得S9＝9a1＋9×2 8d＝27， a10＝a1＋9d＝8，
解得ad1＝＝1－，1，
源自文库
3．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36， 则 a7＋a8＋a9 等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
解析 S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列，即 9,27，a7＋ a8＋a9 成等差数列，∴a7＋a8＋a9＝54－9＝45.故选 B.
4．若等差数列{an}的前 5 项之和 S5＝25，且 a2＝3，则 a7＝( )
解析 由 2an＋1＝2an＋1，得 an＋1－an＝12，故数列{an} 是首项为 2，公差为12的等差数列，所以 a101＝2＋100×12＝ 52.
6．[2018·苏北四市模拟]在等差数列{an}中，已知 a2＋ a8＝11，则 3a3＋a11 的值为____2_2___．
解析 设等差数列{an}的公差为 d，由题意可得 a2＋a8 ＝11＝2a5，则 a5＝121，所以 3a3＋a11＝3(a5－2d)＋a5＋6d ＝4a5＝4×121＝22.
解得ad1＝＝－3，1.
∴S16＝16×3＋16×2 15×(－1)＝－72.
考向 等差数列的性质
命题角度 1 等差数列项的性质
例 2 (1)等差数列{an}中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝
板块二 典例探究·考向突破
考向 等差数列的基本运算
例 1 (1)[2017·全国卷Ⅰ]记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析 设{an}的公差为 d，则
由Sa64＝＋4a85＝，24，
a1＋3d＋a1＋4d＝24， 得6a1＋6×2 5d＝48，
A．12 B．13 C．14 D．15
解析 由 S5＝a2＋2a4·5，得 25＝3＋2a4·5，解得 a4＝7， 所以 7＝3＋2d，即 d＝2，所以 a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13. 故选 B.
5．[课本改编]在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则 a101＝___5_2____.
第5章 数列
第2讲 等差数列及其前n项和
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 等差数列的有关概念 1．定义：如果一个数列从 第 2 项 起，每一项与它的 前一项的 差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列．符号表示为 an＋1－an＝d (n∈N*，d 为常数)．
2．等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝a＋2 b ，其中 A 叫做 a，b 的 等差中项 ．
an＝a1＋(n－1)d＝n－2，∴a100＝100－2＝98.故选 C.
(2)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a12＝－8，S9＝－ 9，则 S16＝___－__7_2__.
解析 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
a12＝a1＋11d＝－8， 由已知，得S9＝9a1＋9×2 8d＝－9，
(5)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( √ )
2．[课本改编]在等差数列{an}中，已知 a4＋a8＝16，则 该数列前 11 项和 S11＝( )
A．58 B．88 C．143 D．176
解析 因为{an}是等差数列，所以 a4＋a8＝2a6＝16⇒a6 ＝8，则该数列的前 11 项和为 S11＝11a12＋a11＝11a6＝88. 故选 B.
考点 2 等差数列的有关公式 1．通项公式：an＝ a1＋(n－1)d .
2．前 n 项和公式：Sn＝ na1＋nn－ 2 1d＝na12＋an .
[必会结论] 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则 ak＋al＝am＋an.若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 am＋an ＝2ap. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列， 公差为 2d.
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)等差数列的公差是相邻两项的差．( × ) (2)若一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差 都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函 数．( × )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都 有 2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
触类旁通 等差数列计算中的两个技巧
(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个 量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了 用方程的思想解决问题．
(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量 代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表 示已知和未知是常用方法．
解得 d＝4.故选 C.
(2)[2018·吉林模拟]已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 6a3＋2a4－3a2＝5，则 S7＝( )
A．28 B．21 C．14 D．7
解析 由 6a3＋2a4－3a2＝5，得 6(a1＋2d)＋2(a1＋3d) －3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即 5a4＝5，所以 a4 ＝1，所以 S7＝7×a21＋a7＝7×22a4＝7a4＝7.故选 D.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数 列．
(5)若{an}是等差数列，公差为 d, 则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k， m∈N*)是公差为 md 的等差数列．
(6)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn，S2n－Sn，S3n －S2n 仍成等差数列，其公差为 n2d.