旋转复习学案

23章旋转复习学案

一、知识清单

1.旋转的定义

在平面内，将一个图形绕一个按某个方向（顺时针或逆时针）

转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，这个点称为，

转动的角度称为 .

、、称为旋转三要素.

2.旋转的性质

（1）旋转前后两图形全等.

（2）对应点到旋转中心的距离相等.（旋转出等腰、旋转出圆弧、对应点连线的垂直平分线经过旋转中心）

（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.（旋转出相似的等腰；旋转60°，出等边；旋转90°，出等腰直角）

3.特殊的旋转——中心对称和中心对称图形

（1）定义

中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，该点叫做 .

中心对称图形：一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，该点叫对称中心.

（2）性质

除具有旋转的所有性质外还有特殊的性质，具体如下：

①成中心对称的两图形全等；

②对称点到旋转中心的距离相等；旋转角是180°；

③对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.

二、精讲精练

例1．如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转

结束时，点D的坐标为（）

A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）

对应练习：如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（）

A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣）

例2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：

①△ACE≌△BCD；

②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；

③DE2＝2CF•CA；

④若AB＝3，AD＝2BD，则AF＝．

其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

对应练习：

1.如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC

绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是．

2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm．

例3.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；

（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

对应练习：

1.问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥BC

交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？

拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．

问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC 所在的直线垂直时BD的长．

2.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，

连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．

（1）问题发现当α＝0°时，＝；β＝°．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．

3.（1）问题发现

如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．

（2）类比探究

如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接

AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD ＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

4.（1）阅读理解

利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，P A＝1，PB＝，PC＝2．求∠BPC的度数．

为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为；

在△P AP′中，易证∠P AP′＝90°，且∠PP′A的度数为，综上可得∠BPC的度数为；

（2）类比迁移

如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，P A＝2，PB＝，PC＝1．求∠APC的度数；

（3）拓展应用

如图3，在四边形ABCD中，BC＝5，CD＝8，AB＝AC＝AD，∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．